Espacios métricos

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Mon-02-09-2024 21:41 status: tags: Análisis Avanzado

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Un espacio meˊtrico es un conjunto E con una function d:E×E→R≥0 tal que:\text{Un espacio métrico es un conjunto $E$ con una function $d:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq0}$ tal que:}
  1. d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y)=0\iff x=y
  2. d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈Ed(x,y)=d(y,x) \forall x,y\in E
  3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)∀x,y,z∈Ed(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\quad\forall x,y,z\in E. Por desigualdad triangular.

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

E=C([a,b])={f:[a,b]→R:f continua}E=C([a,b])=\{ f:[a,b]\to \mathbb{R}:f\: continua \}
  • d1(f,g)=∫ab∣f−g∣d_{1}(f,g)=\int_{a}^{b} |f-g|
  • d∞(f,g)=maxa<=t<=b∣f(t−g(t))∣d_{\infty}(f,g)=\underset{\text{a<=t<=b}}{max}|f(t-g(t))|

Def. 3:{\color{Cyan} \text{Def. 3:} } Dado EE un conjunto cualquiera. Defino la métrica discreta en EE , δ:E×E→R≥0\delta:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq 0}

δ(x,y)={0x=y1x≠y\delta (x,y)=\begin{cases} 0&x=y \\ 1&x\neq y \end{cases}

Esto nos sirve en ejercicios donde la intuición nos dice que tenemos que buscar algún contraejemplo

Def. 4:{\color{Cyan} \text{Def. 4:} }

Sea (E,d)(E,d) un espacio métrico. Sean x∈E,r≥0x \in E,r\geq0

  • B(x,r)={y∈E:d(x,y)<r}B(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)<r \}, la bola abierta de centro x y radio r.
  • B‾(x,r)={y∈E:d(x,y)≤r}\overline{B}(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)\leq r \}, bola cerrada de centro xx y radio rr.
  • S(x,r)={y∈E:d(x,y)=r}S(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)=r \} esfera de centro xx y radio rr.

Def. 5:{\color{Cyan} \text{Def. 5:} }

Un conjunto A⊆E es acotado siD={d(x,y):x,y∈A}⊆[0,+∞] es acotado (sup) ∃ M≥0 ∣ d(x,y)≤M∀x,y∈A\begin{array}{c} \text{Un conjunto $A\subseteq E$ es acotado si}\\ D=\{ d(x,y):x,y \in A \}\subseteq [0,+\infty]\:es \: acotado\: (sup)\\ \:\exists\:M\geq 0\:|\: d(x,y)\leq M\quad \forall x,y \in A \end{array}

En tal caso, su diámetro es diam(A)=sup(D)diam(A)=sup(D)

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

A⊆E es acotado   ⟺  ∃ B⊆E bola abierta con A⊆B \text{$A\subseteq E$ es acotado $\iff \exists\:B\subseteq E$ bola abierta con $A \subseteq B$ }

Def. 6:{\color{Cyan} \text{Def. 6:} }

x∈E es punto interior de A si ∃ r>0:B(x,r)⊆A\text{$x \in E$ es punto interior de $A$ si $\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq A$}

Def. 7:{\color{Cyan} \text{Def. 7:} }

El interior de A es A0={x∈E:x punto interior de A}⊆A\text{El interior de $A$ es $A^{0}=\{ x \in E:x\text{ punto interior de }A \}$}\subseteq A

Def. 8:{\color{Cyan} \text{Def. 8:} } A⊆EA \subseteq E es abierto si A=A0A=A^0. Es decir si:

∀x∈A,∃ r>0:B(x,r)⊆A\forall x \in A,\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq A

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} }

B(x,r) es abierta\text{$B(x,r)$ es abierta}

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} }

Sea A⊆E\text{Sea $A\subseteq E$}
  1. A0⊆AA^0\subseteq A
  2. B⊆A  ⟹  B0⊆A0B\subseteq A\implies B^0\subseteq A^0
  3. G⊆A,GG\subseteq A, G Abierto   ⟹  G⊆A0\implies G\subseteq A^0
  4. A0={x∈A:∃ G⊆A,G abierto tq x∈G}A^0=\{ x \in A: \exists\: G\subseteq A,G \text{ abierto tq }x \in G\}

Corolario 1:{\color{Red} \text{Corolario 1}:}

A0=⋃G⊆A,G abiertoGA^0=\bigcup_{G\subseteq A,G\: abierto}G

Prop. 4:{\color{Orange} \text{Prop. 4:} }

Sean Gi(i∈I) abiertos de E. Entonces G=⋃i∈IGi es abierto.\text{Sean $G_{i}(i \in I)$ abiertos de $E$. Entonces $G=\bigcup_{i \in I}G_{i}$ es abierto.}

Es decir, la unión de abiertos es abierto.

Corolario 2:{\color{Red} \text{Corolario 2}:}

A0 es abierto.\text{$A^0$ es abierto.}

También sale con las definiciones de abierto. (A0)0=A0(A^0)^0=A^0

Mas aún, es el subconjunto abierto de AA más grande(con respecto a la inclusión). Si B⊆AB\subseteq A es abierto, B⊆A0B\subseteq A^0

Prop. 5:{\color{Orange} \text{Prop. 5:} }

A,B abiertos   ⟹  A∩B abierto\text{$A,B$ abiertos $\implies A\cap B$ abierto}

Corolario 3:{\color{Red} \text{Corolario 3}:}

A1,…,An abiertos  ⟹  ⋂i=1nAi abiertoA_{1},\dots,A_{n}\:abiertos \implies \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\: abierto

La intersección finita de abiertos es abierto.

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

G⊆R es abierto   ⟺  ∃ F^⊆P(G) familia contable (se demuestra en la guıˊa 2) de intervalos abiertos, disjuntos dos a dos, con G=⋃I∈F^I\begin{aligned} \text{$G\subseteq \mathbb{R}$ es abierto }&\text{$\iff \exists\:\hat{F}\subseteq P(G)$ familia contable (se demuestra en la guía 2) } \\ \text{de }&\text{intervalos abiertos, disjuntos dos a dos, con }\\ &G=\bigcup_{I \in \hat{F}}I \end{aligned}

F^\hat{F} es el conjunto de los intervalos, y además #F^≤ℵ0\#\hat{F}\leq\aleph_{0} Un conjunto G⊆RG\subseteq \mathbb{R} es abierto si y solo si puede ser representado como una unión contable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos.

Def. 9:{\color{Cyan} \text{Def. 9:} }

Dado A⊆E. x∈E es un punto de adherencia de A si ∀r>0:B(x,r)∩A≠∅\begin{array}{l} \text{Dado $A\subseteq E$. $x \in E$ es un punto de adherencia de $A$ si $\forall r>0:B(x,r)\cap A\neq \emptyset$} \end{array}

Def. 10:{\color{Cyan} \text{Def. 10:} }

Dado A⊆E, la clausura de A es: A‾:{x∈E ∣  x es un punto de adherencia de A}\begin{array}{l} \text{Dado $A\subseteq E$, la clausura de $A$ es: }\\ \overline{A}:\{ x \in E\:|\: \text{ x es un punto de adherencia de A} \} \end{array}

Def. 11:{\color{Cyan} \text{Def. 11:} }

A cerrado si A‾=A\begin{array}{l} \text{$A$ cerrado si $\overline{A}=A$} \end{array}

Prop. 6:{\color{Orange} \text{Prop. 6:} } A⊆EA\subseteq E

  1. A⊆AˉA\subseteq \bar{A}
  2. B⊆A  ⟹  B‾⊆A‾B\subseteq A\implies \overline{B}\subseteq \overline{A}
  3. F⊆E,FF\subseteq E,F cerrado tal que A⊆F  ⟹  Aˉ⊆FA\subseteq F\implies \bar{A}\subseteq F
  1. Cualquier conjunto está contenido en su clausura.
  2. La clausura de un subconjunto está contenida en la clausura del conjunto.
  3. La clausura de un conjunto AA está contenida en un conjunto que contenga a AA.

Prop. 7:{\color{Orange} \text{Prop. 7:} } A⊆E:A\subseteq E:

  1. E∖A‾=(E∖A)°E\setminus \overline{A}=(E\setminus A)°
  2. E∖A°=E∖A‾E\setminus A°=\overline{E\setminus A}
  1. El complemento de la clausura es el interior del complemento.
(A‾)c=(Ac)°(\overline{A})^c=(A^c)°
  1. El complemento del interior es la clausura del complemento.
(A°)c=(Ac)‾(A°)^c=\overline{(A^c)}

Un conjunto AA es cerrado si su complemento, E∖AE \setminus A, es abierto.

Corolario 4:{\color{Red} \text{Corolario 4}:}

A⊆E cerrado   ⟺  E∖A es abierto\text{$A\subseteq E$ cerrado $\iff E\setminus A$ es abierto}

Prop. 8:{\color{Orange} \text{Prop. 8:} }

{Ai}i∈I conjuntos , E∖⋃i∈IAi=⋂i∈I(E∖Ai)\begin{array}{l} \text{$\{ A_{i} \}_{i \in I}$ conjuntos , $E \setminus \bigcup_{i \in I} A_{i}=\bigcap_{i \in I} (E\setminus A_{i})$} \end{array}

Corolario 5:{\color{Red} \text{Corolario 5}:}

  1. {Gi}\{ G_{i} \} abiertos   ⟹  ⋃Gi\implies \bigcup G_{i} es abierto.
  2. {Gi}i∈I\{ G_{i} \}_{i \in I} abiertos, II finito   ⟹  ⋂Gi\implies\bigcap G_{i} es abierto

La unión de abiertos es abierto. La intersección finita de abiertos es abierto.

Prop. 9:{\color{Orange} \text{Prop. 9:} }

  1. {Fi}i∈I\{ F_{i} \}_{i \in I} cerrados   ⟹  ⋂Fi\implies\bigcap F_{i} es cerrado
  2. {Fi}i∈I\{ F_{i} \}_{i \in I} cerrados II finito   ⟹  ⋃Fi\implies\bigcup F_{i} es cerrado

La intersección de cerrados es cerrado. La unión finita de cerrados es cerrado.

Prop. 10:{\color{Orange} \text{Prop. 10:} }

A‾=⋂F cerrado:A⊆FF\begin{array}{l} \overline{A}=\bigcap_{F\:cerrado:A\subseteq F} F \end{array}

Corolario 6:{\color{Red} \text{Corolario 6}:}

Aˉ es el menor de los cerrados que contienen a A\text{$\bar{A}$ es el menor de los cerrados que contienen a $A$}

Def. 12:{\color{Cyan} \text{Def. 12:} }

A⊆E se dice denso en E si Aˉ=E\begin{array}{l} \text{$A\subseteq E$ se dice denso en $E$ si $\bar{A}=E$} \end{array}

Prop. 11:{\color{Orange} \text{Prop. 11:} } Son equivalentes:

  1. AA es denso en EE
  2. (E∖A)°=∅(E\setminus A)°=\emptyset
  3. (∀B⊆Ebola abierta):A∩B≠∅(\forall B\subseteq E\text{bola abierta} ):A\cap B\neq \emptyset
  4. ∀G⊆E abierto:A∩G≠∅\forall G\subseteq E\text{ abierto:}A\cap G\neq\emptyset

Teórica 8

Def. 13:{\color{Cyan} \text{Def. 13:} }

Sea A⊆E, x∈A es un punto aislado de A si  ∃ r>0:B(x,r)∩A={x}\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq E$, $x \in A$ es un punto aislado de $A$ si $\:\exists\:r>0:B(x,r)\cap A=\{ x \}$} \end{array}

Def. 14:{\color{Cyan} \text{Def. 14:} }

E es discreto si todo x∈E es un punto aislado de E.\begin{array}{l} \text{$E$ es discreto si todo $x \in E$ es un punto aislado de $E$.} \end{array}

Prop. 12:{\color{Orange} \text{Prop. 12:} }

E es discreto   ⟺   todo subconjunto de E es abierto y cerrado al mismo tiempo.\begin{array}{l} \text{$E$ es discreto $\iff$ todo subconjunto de $E$ es abierto y cerrado al mismo tiempo.} \end{array}

Dado un espacio métrico cualquiera, es abierto y cerrado al mismo tiempo.

Def. 15:{\color{Cyan} \text{Def. 15:} }

A⊆E, x∈E es un punto de acumulacioˊn de A si ∀r>0:B(x,r)∩A∖{x}≠∅\begin{array}{l} \text{$A \subseteq E$, $x \in E$ es un punto de acumulación de $A$ si }\\ \forall r>0:B(x,r)\cap A\setminus \{ x \}\neq \emptyset \end{array}

Son los de adherencia que no son aislados. xx no necesariamente es parte de AA en la def.

Def. 16:{\color{Cyan} \text{Def. 16:} }

Notamos A′ conjunto derivado de A. Es el conjunto de los puntos de acumulacioˊn de A.\begin{array}{l} \text{Notamos $A'$ conjunto derivado de $A$. Es el conjunto de los puntos de acumulación de $A$.} \end{array}

Prop. 13:{\color{Orange} \text{Prop. 13:} }

Sea A⊆E,x∈A′  ⟺  ∀r>0:B(x,r)∩A es infinito.\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq E, x \in A'\iff \forall r>0:B(x,r)\cap A$ es infinito.} \end{array}

La def. te dice hay al menos 2. Acá es mas fuerte.

Prop. 14:{\color{Orange} \text{Prop. 14:} }

Sea A⊆EA\subseteq E, entonces:

  1. A′⊆A‾A'\subseteq \overline{A}
  2. A‾∖A⊆A′\overline{A}\setminus A\subseteq A'
  3. A‾=A∪A′\overline{A}=A\cup A'

Corolario 7:{\color{Red} \text{Corolario 7}:}

A es cerrado   ⟺  A′⊆A\begin{array}{l} \text{$A$ es cerrado $\iff A'\subseteq A$} \end{array}

Def. 17:{\color{Cyan} \text{Def. 17:} }

x es punto frontera de A si y solo si:\begin{array}{l} \text{$x$ es punto frontera de $A$ si y solo si:} \end{array} B(x,r)∩A≠∅B(x,r)∩(E∖A)≠∅\begin{array}{c} B(x,r)\cap A\neq \emptyset \\ B(x,r)\cap (E\setminus A)\neq \emptyset \end{array}

Obs:Obs:

∂A=A‾∩E∖A‾\partial A=\overline{A}\cap \overline{E\setminus A}

Prop. 15:{\color{Orange} \text{Prop. 15:} }

A‾=A∪∂A\begin{array}{l} \overline{A}=A\cup\partial A \end{array}

Def. 18:{\color{Cyan} \text{Def. 18:} }

d y d′ meˊtricas sobre E. Se dice que son equivalentes si existen constantes postivas c y c′ de manera quec.d′(x,y)≤d(x,y)≤c′.d′(x,y)\begin{array}{l} \text{$d$ y $d'$ métricas sobre $E$. Se dice que son equivalentes si existen constantes postivas $c$ y $c'$ de manera que}\\ c.d'(x,y)\leq d(x,y)\leq c'.d'(x,y) \end{array}

Teórica 9

Prop. 16:{\color{Orange} \text{Prop. 16:} }

d,d′ equivalentes, entonces:B(x,r;d)={y ∣ d(x,y)<r}⊆{y ∣ c.d′(x,y)<r}=B(x,rc,d′)B(x,r;d′)={y ∣ d′(x,y)<r}⊆{y ∣ d(x,y)<c′.r}=B(x,c′.r;d)\begin{array}{l} \text{$d,d'$ equivalentes, entonces:}\\ B(x,r;d)=\{ y\:|\:d(x,y)<r \}\subseteq \{ y\:|\:c.d'(x,y)<r \}=B\left( x, \frac{r}{c},d' \right)\\ B(x,r;d')=\{ y\:|\: d'(x,y)<r \}\subseteq \{ y\:|\: d(x,y)<c'.r \}=B(x,c'.r;d) \end{array}

Def. 19:{\color{Cyan} \text{Def. 19:} }

Una sucesioˊn en E es una funcioˊn a:N→E, y notamos an=a(n)\begin{array}{l} \text{Una sucesión en $E$ es una función $a:\mathbb{N}\to E$, y notamos $a_{n}=a(n)$} \end{array}

Def. 20:{\color{Cyan} \text{Def. 20:} }

Sea (an) sucesioˊn en E, l∈E. Decimos que (an) converge a l si(∀E>0)( ∃ n0∈N) d(an,l)<E∀n≥n0Notamos lim⁡n→∞an=l\begin{array}{l} \text{Sea $(a_{n})$ sucesión en $E$, $l \in E$. Decimos que $(a_{n})$ converge a $l$ si}\\ (\forall \mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:d(a_{n},l)<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0}\\ \text{Notamos $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l$} \end{array}

Obs:Obs:

lim⁡n→∞an=l  ⟺  lim⁡n→∞d(an,l)=0\lim_{ n \to \infty } a_{n}=l \iff \lim_{ n \to \infty } d(a_{n},l)=0

Prop. 17:{\color{Orange} \text{Prop. 17:} }

lim⁡n→∞an=l  ⟺  ∀G abierto con l∈GSe tiene que ( ∃ n0)an∈G ∀n≥n0 \begin{array}{l} \text{$\lim_{ n \to \infty } a_{n}=l\iff \forall G\:abierto\:con\:l \in G$}\\ \text{Se tiene que $(\:\exists\:n_{0})a_{n}\in G\:\forall n\geq n_{0}$ } \end{array}

Prop. 18:{\color{Orange} \text{Prop. 18:} }

A⊆E,l∈A‾  ⟺   ∃ (an)⊆A con lim⁡n→∞an=l \begin{array}{l} \text{$A\subseteq E,l \in \overline{A}\iff \:\exists\:(a_{n})\subseteq A$ con $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l$ } \end{array}

Prop. 19:{\color{Orange} \text{Prop. 19:} }

A cerrado   ⟺  ∀(an)⊆A convergente en E se tiene que lim⁡n→∞an=l∈A \begin{array}{l} \text{$A$ cerrado $\iff \forall(a_{n})\subseteq A$ convergente en $E$ se tiene que $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l \in A$ } \end{array}

Def. 21:{\color{Cyan} \text{Def. 21:} }

(an)⊂E se dice de Cauchy si (∀E>0)( ∃ n0∈N) d(an,am)<E∀n,m≥n0 \begin{array}{l} \text{$(a_{n})\subset E$ se dice de Cauchy si $(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:d(a_{n},a_{m})<\mathcal{E}\quad\forall n,m\geq n_{0}$ } \end{array}

Prop. 20:{\color{Orange} \text{Prop. 20:} }

(an) convergente   ⟹  (an) es de Cauchy. \begin{array}{l} \text{$(a_{n})$ convergente $\implies(a_{n})$ es de Cauchy. } \end{array}

Teórica 10

Def. 22:{\color{Cyan} \text{Def. 22:} }

(an)⊆E es acotada si {an}⊆E es acotado.\begin{array}{l} \text{$(a_{n})\subseteq E$ es acotada si $\{ a_{n} \}\subseteq E$ es acotado.} \end{array}

Prop. 21:{\color{Orange} \text{Prop. 21:} }

Cauchy   ⟹   acotada.\text{Cauchy $\implies$ acotada.}

Prop. 22:{\color{Orange} \text{Prop. 22:} }

Sea (an)⊆E de Cauchy. Si ( ∃ l)( ∃ (ank)) con ank→l entonces an→l\begin{array}{l} \text{Sea $(a_{n})\subseteq E$ de Cauchy. }\\ \text{Si $(\:\exists\:l)(\:\exists\:(a_{n_{k}}))$ con $a_{n_{k}}\to l$ entonces $a_{n}\to l$} \end{array}

Prop. 23 :{\color{Orange} \text{Prop. 23 :} }

E es completo si toda sucesioˊn de Cauchy en E converge.\begin{array}{l} \text{$E$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $E$ converge.} \end{array}

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