Thu-05-09-2024 09:05 status: tags: Espacios métricos

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$Def:$ $A \subseteq E$ es abierto si $A=A^0$. Es decir si:

$$\forall x \in A\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq A$$

Ejemplos: 1.

$$\text{$A=(a,b)$ es abierto; vimos que $A=A^0$(teórica pasada)}$$

$$A=\{ x,y \in \mathbb{R}^{2}:0\leq x,y<1 \}$$

$A$ no es abierto.

$(0,0)\not\in A{^0}:\forall r>0$ $\left( - \frac{r}{2}, -\frac{r}{2} \right)\in B_{r}(0,0) \setminus A$ De hecho, $A^0=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:0<x,y<1 \}$

$$(C([0,1]),d_{\infty})$$

Recordar que $d_{\infty}(f,g)=\underset{a\leq t\leq b}{max}|f(t-g(t))|$

En $A=\{ f\in C([0,1]):f(0)>0 \}$. Veamos que es abierto.

Debemos mostrar que para cualquier función $f \in A$, existe una bola abierta centrada en $f$ completamente contenida en $A$.

Sea $f \in A$ Tomo $r=f(0)$. Es un $r$ válido pues $r=f(0)>0$.

Quiero mostrar que si $g\in B(f,r)\implies g\in A$

Afirmo: $g \in B(f,r)\implies g(0)>0\quad(\implies g \in A)$ Tengo que

$$B(f,r)=\{ g\in C([0,1])\:|\: d_{\infty}(f,g)<r \}$$

Dada $g \in B(f,r):$

$$\begin{aligned} &r>d_{\infty}(f,g)=max_{0\leq t\leq 1} |f(t)-g(t)|\geq |f(0)-g(0)|=|r-g(0)|\\ &\implies r>r-g(0)\implies g(0)>0 \end{aligned}$$

¿Se puede asegurar $g(0)>0$ cuando $g(0)>r$? En realidad si, pues:

$$g(0)>r=f(0)>0\implies g(0)>0$$ $$\therefore\: B(f,r)\subseteq A\implies \text{A es abierto}$$

Otra demo porque no estaba seguro de que lo anterior funcionaba (ahora si) Tenemos que

$$\begin{array}{c} f(0)=r>|f(0)-g(0)| \\ |f(0)-g(0)|<f(0) \\ -f(0)<f(0)-g(0)<f(0) \\ \implies f(0)-f(0)<g(0) \\ \implies0<g(0)\implies g \in A \end{array}$$

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$Prop:$

$$\text{$B(x,r)$ es abierta}$$

$Dem:$

El tema es elegir un buen $r$.

Sea $y \in B(x,r)$ Sea $\mathcal{E}=r-d(x,y)>0$ Afirmo: $B(y,\mathcal{E})\subseteq B(x,r)$ Si $z\in B(y,\mathcal{E}),d(z,x)\leq \underset{<\mathcal{E}}{d(y,z)}+\underset{=r-\mathcal{E}}{d(y,x})<r$

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$Prop:$

$$\text{Sea $A\subseteq E$}$$

1. $A^0\subseteq A$
2. $B\subseteq A\implies B^0\subseteq A^0$
3. $G\subseteq A, G$ Abierto $\implies G\subseteq A^0$
4. $A^0=\{ x \in A: \exists\: G\subseteq A,G \text{ abierto tq }x \in G\}$

$Dem:$ de 4. $\subseteq)$ $x \in B(x,r)$

$$x \in A^0\implies \exists\:r>0:B(x,r) \subseteq A$$

Tomo $G=B(x,r)$ y vimos que las bolas abiertas son abiertas y que $x \in B(x,r)$ $\supseteq)$ Si $x \in G \subseteq A$ abierto $\implies x \in G°$, $\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq G\subseteq A$

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$Corolario:$

$$A^0=\bigcup_{G\subseteq A,G\: abierto}G$$

Por 3. y 4.

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$Prop:$

$$\text{Sean $G_{i}(i \in I)$ abiertos de $E$. Entonces $G=\bigcup_{i \in I}G_{i}$ es abierto.}$$

Es decir, la union de abiertos es abierto.

$Dem:$ Algo que vive en la union también vive en alguno de la union. Sea $x \in G, \exists\:i \in I:x \in G_{i}$

$$G_{i}\: abierto\implies si\:x \in G_{i}\:,\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq G_{i}\subseteq G$$

Hemos mostrado que para cada punto $x∈G_i$, existe una bola abierta $B(x, r)$ centrada en $x$ que está completamente contenida en $G$. Esto cumple con la definición de un conjunto abierto en un espacio métrico. Por lo tanto, la unión de los conjuntos abiertos $G_{i}$ es abierta.

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$Corolario:$

$$\text{$A^0$ es abierto.}$$

Tambien sale con las definiciones de abierto. $(A^0)^0=A^0$

Mas aún, es el subconjunto abierto de $A$ más grande(con respecto a la inclusión). Si $B\subseteq A$ es abierto, $B\subseteq A^0$

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$Prop:$

$$\text{$A,B$ abiertos $\implies A\cap B$ abierto}$$

$Dem:$ Sea $x \in A \cap B$

• $\exists\: r_{A}>0:B(x,r_{A})\subseteq A$
• $\exists\: r_{B}>0:B(x,r_{B})\subseteq A$ Sea $r=min\{ r_{A},r_{B} \}>0$

Quiero mostrar que la bola abierta $B(x,r)$ está contenida en $A\cap B$

$$\begin{array}{c} B(x,r)\subseteq B(x,r_{A})\quad \text{Pues }r\leq r_{A} \\ B(x,r)\subseteq B(x,r_{B})\quad \text{Pues }r\leq r_{B} \end{array}$$

Como $B(x,r_{A})\subseteq A$ y $B(x,r_{B})\subseteq B$ entonces $B(x,r)\subseteq A$ y $B(x,r)\subseteq B$. Así, $B(x,r)\subseteq A\cap B$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Corolario:$

$$A_{1},\dots,A_{n}\:abiertos \implies \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\: abierto$$

La intersección finita de abiertos es abierto.

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$Obs:$ No vale para infinitos conjuntos. Un contraejemplo: en $(\mathbb{R},d_{2})$

$$A_{n}=\left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right),n \in \mathbb{N}$$

Se tiene

$$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_{n}=\{ 0 \}\quad \quad \{ 0 \}^0=\emptyset\neq \{ 0 \}$$

Ver que para métrica discreta es distinto.

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Abiertos de $(\mathbb{R},d_{2})$

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$Teorema:$

$$\begin{aligned} \text{$G\subseteq \mathbb{R}$ es abierto }&\text{$\iff \exists\:\hat{F}\subseteq P(G)$ familia contable (se demuestra en la guía 2) } \\ \text{de }&\text{intervalos abiertos, disjuntos dos a dos, con }\\ &G=\bigcup_{I \in \hat{F}}I \end{aligned}$$

$\hat{F}$ es el conjunto de los intervalos, y además $\#\hat{F}\leq\aleph_{0}$ Un conjunto $G\subseteq \mathbb{R}$ es abierto si y solo si puede ser representado como una unión contable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos.

$Dem:$ Sea $x \in G$. Definimos

$b_{x}=sup \{ t \in \mathbb{R}:[x,t)\subseteq G \} \in[x,+\infty]$ Está el caso particular de que pueda ser $+\infty$ Ahora veamos que es no vacío,

$$A_{x}\neq \emptyset$$

pues $G$ es abierto

$$A_{x}=\{ t \in \mathbb{R}:[x,t)\subseteq G \}$$

y

$$x \in G \implies \exists\:r>0:(x-r,x+r)\subseteq G \implies x+r \in A_{x}$$

Podría no estar acotado superiormente, en tal caso, $b_{x}=+\infty$

• $a_{x}=inf\{ a:(a,x]\subseteq G \} \in[-\infty,a]$ Tengo que ver que cada intervalo es disjunto dos a dos con otro cualquiera que arme.

$$I_{x}=(a_{x},b_{x})$$

Afirmo

$$I_{x}\subseteq G$$

Sea $y \in(a_{x},b_{x})=I_{x}$ Supongo $y\geq x$ el otro caso es análogo. Como $y<b_{x}, \exists\:b \in A_{x}$ con $y<b$. Así, $y \in G$. $[x,b)\subseteq G$ Si $y\leq x$, es similar

así, como $\forall x \in G:x \in I_{x}{\color{Yellow} \text{(Ver porque, ej.. Sale con algo de lo primero de la dem)} }$

$$G=\bigcup_{x \in G}I_{x}$$

Lo que vamos a hacer, es ver que o son disjuntos o son iguales

Afirmo: $a_{x},b_{x} \not\in G$ Si $b_{x}\in G$, como $G$ abierto, $\exists\:r>0:(b_{x}-r,b_{x}+r)\subseteq G$ Como antes, $\exists\:b>b_{x}-r \:|\:[x,b)\subseteq G$ Así, $[x,b_{x}+r)\subseteq G$ Absurdo pues $b_{x}=sup(A_{x})$ y pasó que en realidad era $b_{x}+r$, abs.

Ahora si veo que son disjuntos Afirmo:

$$I_{x}\bigcap I_{y}\neq \emptyset \implies I_{x}=I_{y}$$

dem: s.p.d.g. $a_{x}\leq a_{y}$

Como $I_{x}\bigcap I_{y}\neq \emptyset$, $a_{y}<b_{x}$. Como $I_{x}\subseteq G,I_{x}=(a_{x},b_{x}),a_{y} \in (a_{x},b_{x}),a_{y} \in G$. Absurdo.

Usamos que los extremos no pertenecen a $G$

Tomo $\hat{F}=\{ I_{x}:x \in G \}$ Así, $I,J \in \hat{F},I\neq J\implies I\bigcap J=\emptyset$

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Citas y Comentarios

• Todo Abierto no necesariamente es una bola.
• Para la próxima leer sección 3.4 del Lages Lima. tags: Espacios métricos