Tue-03-09-2024 09:15 status: tags: Espacios métricos

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Definición de espacio métrico

Un espacio métrico es un conjunto $E$ con una function $d:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq0}$ tal que:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x) \forall x,y\in E$
3. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\quad\forall x,y,z\in E$. Por desigualdad triangular.

Ejemplos

1. $E=\mathbb{R}^n$

$$\text{- }d_{2}(x,y)=\left( \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-y_{i})^{2} \right)^{1/2} \\$$ $$\text{- }d_{1}(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}| \\$$ $$\text{- }d_{\infty}(x,y)=\underset{\text{i<=i<=n}}{max}\{ |x_{i}-y_{i}| \}$$

$Obs:$ Coinciden si $n=1$

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Veamos que $d_{2}$ es una distancia. Verifica i),ii),iii):

Cumple $i)$

$$d(\times,y)=\left( \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-y_{i})^{2} \right)^{1/2}=0\underset{\text{pues tengo sumandos tods >= 0}}{\implies} |x_{i}-y_{i}|=0\quad\forall i\implies x=y$$

Cumple $ii)$

pues $|x_{i}-y_{i}|=|y_{i}-x_{i}|$

Cumple $iii)$

$$d_{2}(x,y)^{2}=\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}=\sum |x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i}|\underset{\text{Por desigualdad trig. del mod en R}}{\leq}|x_{i}-z_{i}|+|z_{i}-y_{i}|$$ $$\leq \sum |x_{i}-y_{i}|^{2}+|z_{i}-y_{i}|^{2}+2|x_{i}-z_{i}||z_{i}-y_{i}|$$ $$=d_{2}(x,z)^{2}+d_{2}(z,y)^{2}+\sum\dots$$

Por otro lado

$$(d_{2}(x,z)+d_{2}(z,y))^{2}=d_{2}(x,z)^{2}+2\cdot d_{2}(x,z)\cdot d_{2}(z,y)+d_{2}(z,y)^{2}$$

basta ver que

$$\sum |x_{i}-z_{i}|.|z_{i}-y_{i}|\leq \left( \sum |x_{i}-z_{i}|^{2} \right)^{1/2}.\left( \sum |y_{i}-z_{i}|^{2} \right)^{1/2}$$

Por cauchy-schwarz:

$$\sum a_{i}.b_{i}\leq \left( \sum a_{i}^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left( \sum b_{i}^{2} \right)^{\frac{1}{2}}$$

Tomo $a_{i}=|x_{i}-z_{i}|$ y $b_{i}=|z_{i}-y_{i}|$ y finalmente me queda que:

$$d_{2}(x,y)^{2}\leq (d_{2}(x,z)+d_{2}(z,y))^{2}$$ $$d_{2}(x,y)\leq d_{2}(x,z)+d_{2}(z,y)$$

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$$E=C([a,b])=\{ f:[a,b]\to \mathbb{R}:f\: continua \}$$ $$\begin{array}{l} d_{1}(f,g)=\int_{a}^{b} |f-g| \\ d_{\infty}(f,g)=\underset{\text{a<=t<=b}}{max}|f(t-g(t))| \end{array}$$

Veamos que $d_{1}(f,g)=0\implies f=g$ Por absurdo, suponemos que $\exists\:t_{0}\in[a,b]\:|\:f(t_{0})\neq g(t_{0})$, es decir: $(f-g)(t_{0})\neq0$ Como f, g son continuas, podemos encontrar un entorno pequeño alrededor de $t_0$​ donde $|f(t) - g(t)|$ sigue siendo diferente de 0. $\exists\: \mathcal{E}>0,\delta>0$ tal que para todo los $t$ cercanos a $t_{0}:t \in[t_{0}-\delta;t_{0}+\delta]$

$$|f(t)-g(t)|\geq \mathcal{E>0}\quad si \: |t-t_{0}|\leq \delta$$

En ese pequeño intervalo la diferencia es al menos $\mathcal{E}$

Así

$$d_{1}(f,g)=\int_{a}^{b} |f(t)-g(t)|.dt\geq \int_{t_{0}-\delta}^{t_{0}+\delta}|f(t)-g(t)|.dt\geq \int_{t_{0}-\delta}^{t_{0}+\delta} \mathcal{E} \, dx \geq \mathcal{E}.2\delta>0$$ $$\implies d_{1}(f,g)>0\quad \text{Absurdo pues}\quad d_{1}(f,g)=0$$

El $2\delta$ sale de que la longitud del intervalo de integración de la derecha.

En conclusión, como llegamos a un absurdo. Necesariamente pasa que $f=g$ en todo el intervalo $[a,b]$

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Dado $E$ un conjunto cualquiera. Defino la métrica discreta en $E$ , $\delta:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq 0}$

$$\delta (x,y)=\begin{cases} 0&x=y \\ 1&x\neq y \end{cases}$$

Esto nos sirve en ejercicios donde la intuición nos dice que tenemos que buscar algún contraejemplo

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$Def:$ Sea $(E,d)$ un espacio métrico. Sean $x \in E,r\geq0$

• $B(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)<r \}$, la bola abierta de centro x y radio r.
• $\overline{B}(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)\leq r \}$, bola cerrada de centro $x$ y radio $r$.
• $S(x,r)=\{ y \in E:d(x,y)=r \}$ esfera de centro $x$ y radio $r$.

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$$Ejemplos:$$

$$(\mathbb{R},d_{1})$$ $$\begin{array}{l} B(x,r)=\{ y \in E:|y-x|<r \})=(x-r,x+r) \\ \bar{B}(x,r)=\{ y \in E:|x-y|\leq r \}=[x-r,x+r] \\ S(x,r)=\{ x-r,x+r \} \end{array}$$

$$(\mathbb{R}^{2},d)$$

Veamos los $3$ espacios métricos dados por las 3 distancias dadas.

$$\begin{array}{l} B((0,0),r;d_{1})=\{ y \in \mathbb{R}^{2}:|y_{1}|+|y_{2}|<r \} \\ B(x,r;d_{2}) \\ B(x,r;d_{\infty}) \end{array}$$

$$(C[a,b],d_{\infty})$$

$$\begin{array}{l} g \in B(f,r) \\ h \not\in B(f,r) \end{array}$$

$(E,\delta)$ con medida discreta

$$B(x,r)=\begin{cases} E&r>1 \\ \{ x \}&r\leq 1 \end{cases}$$ $$\bar{B}(x,r)=\begin{cases} E&r\geq 1 \\ \{ x \}&r< 1 \end{cases}$$ $$S(x,r)=\begin{cases} \emptyset&r \not\in \{ 0,1 \} \\ \{ x \}&r= 0 \\ E \setminus \{ x \}&r=1 \end{cases}$$

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$Def:$

$$\begin{array}{c} \text{Un conjunto $A\subseteq E$ es acotado si}\\ D=\{ d(x,y):x,y \in A \}\subseteq [0,+\infty]\:es \: acotado\: (sup) \end{array}$$

En tal caso, su diámetro es $diam(A)=sup(D)$

Ejemplos:

1. $A=B(x,r)$ Si $y,z \in A,d(y,z)\leq \underset{<r}{d(y,x)}+\underset{\text{<r}}{d(x,z)}<2r$ Así $D\subseteq[0,2r]$. Por lo tanto, $A$ está acotado, $diam(A)\leq 2r$

En el caso discreto:

• Si $r\leq 1,B(x,r)=\{ x \}$, así $diam(A)=0$
• Si $r> 1, B(x,r)=E$, así $diam(A)=1$

3. $E=\mathbb{R}^{n},d=d_{2},d_{1}\: ó \:\infty, diam(A)=2r$ pues: sea $\lambda\geq 0$

$$d(x-\lambda \cdot (1,0,0,\dots,0),\underset{\in A, si \:\lambda<r}{x+\lambda \cdot(1,0,0,\dots,0)})=2.|\lambda|$$

$Prop:$

$$\text{$A\subseteq E$ es acotado $\iff \exists\:B\subseteq E$ bola abierta con $A \subseteq B$ }$$

$Dem:$ $\Rightarrow)$ $E$ no pincha ni corta. Es un espacio ambiente. Tengo que $A$ es acotado, entonces:

$$\text{$\exists\:M\geq 0$ con $d(x,y) \in[0,M]\quad\forall x,y \in A$.}$$

Tomo un $a \in A$, fijo. Cualquiera. Así, si $x \in A,d(x,a)\leq M$ Luego, tomo $r>M$ tengo que $\forall x \in A:d(x,a)\leq M<r\implies d(x,a)<r$

$$\implies \:\exists\: \text{bola abierta }B=(B(a,r)):A\subseteq B(a,r)$$

$\Leftarrow)$ Quiero mostrar que $A$ está acotado. Sé que $\:\exists\:B\subseteq E$ bola abierta con $A\subseteq B$ Supongamos que es $B(a,r)$ para algún $a \in E$ Esto significa que $\forall x \in A:d(a,x)<r$ Entonces tomamos dos puntos $x,y \in A$ y por desigualdad triangular:

$$\begin{array}{c} d(x,y)\leq d(a,x)+d(a,y)<r+r=2r \\ d(x,y)<2r\quad \quad \forall x,y \in A \end{array}$$

Finalmente, tengo que $M=2r$ es una cota superior para cualquier $d(x,y)\quad x,y \in A$. Concluimos que $A$ es acotado.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Def:$

$$\text{$x \in E$ es punto interior de $A$ si $\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq A$}$$

También podría poner que $x \in A$

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$Def:$

$$\text{El interior de $A$ es $A^{0}=\{ x \in E:x\text{ punto interior de }A \}$}\subseteq A$$

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Ejemplos: En $(\mathbb{R},d_{2})$

$$[a,b]^{0}=(a,b)$$

$Dem:$ $\supseteq)$

Si $x \in(a,b)$ tomo $r=min\{ \underset{\text{>0}}{b-x},\underset{\text{>0}}{x-a} \}>0$

Así, como $a<x<b$ se cumple que $b-x>0$ y $x-a>0\implies r>0$ La bola centrada en $x$ y radio $r$ es el intervalo $(x-r,x+r)$ y como $r$ fue elegido de forma que

$$a\leq x-r\land x+r\leq b$$

Entonces

$$(x-r,x+r)=B(x,r)\subseteq[a,b]\quad$$

$\subseteq)$ Basta ver que $a,b\not\in [a,b]^{0}$. Es decir, no existe bola abierta con centro en $a$ o $b$ tal que está contenida en $[a,b]$:

$$\forall r>0:(a-r,a+r)=B(a,r)\not\subseteq A$$

En efecto, $a- \frac{r}{2} <a\implies a-\frac{r}{2} \not\in[a,b]\implies B(a,r)\not\subseteq[a,b]$ Es decir encontré un elemento $e=a-\frac{r}{2}$ de $B(x,r)$ tal que no está en el intervalo $(a,b)$. Por lo tanto, la bola no está totalmente contenida en $A$. Más aún, esto se cumple para cualquier $r>0$.
Por lo tanto, $a$ no es punto interior de $[a,b]$. Análogamente el caso para $b$.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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En $(\mathbb{R},d_{2})$:

1. $\mathbb{Z}^{0}=\emptyset$

$$\forall r>0:B(x,r) \not\subseteq \mathbb{Z}$$

Pues cualquier intervalo que formemos tiene al menos un racional(Guía 1.Ej.2,b), y estos no pertenecen a $\mathbb{Z}$ 2. $\mathbb{Q}^{0}=\emptyset$, por ejercicio de la guía 1 (Ej.2,d) todo intervalo no vacío tiene un irracional y la bola es un intervalo. Entonces existen irracionales en cualquier bola que no pertenecen a $\mathbb{Q}$

$$\forall r>0:B(x,r) \not\subseteq \mathbb{Q}$$

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En $(E,\delta)$: $A^{0}=A$

$$\forall x \in A:B(x,1)=\{ x \}\subseteq A$$

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En $(E,d),E^{0}=E$ (una tautología)

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Citas y Comentarios

Leer 3.1 del Lages Lima.