Thu-05-09-2024 11:28 status: tags: Espacios métricos

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Ej. 1

Probar que

$$[0,1]^0=(0,1)$$

• Probado en la teórica

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Ej. 2

hallar

$$\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x\geq 0,y\geq 0 \}^0$$

$Dem:$ Primero veamos que

$$\{ (x,y):x>0,y>0 \}\text{ es abierto}$$

Sabemos que esta contenido en el abierto.

Sea $(x,y)$ en este conjunto. Cumple $(x>0 \land y>0)$ Definimos $r=min \{ x,y \}>0$ Luego afirmamos que $B((x,y),r)$ está metida en el conjunto.

Al decir que afirmamos, enunciamos un hecho que inmediatamente vamos a probar.

Sea $(w,z)\in B((x,y),r)$. Notemos que

$$r>|(x,y)-(w,z)|=d((x,y),(w,z))=\sqrt{ (x-w)^{2}+(y-z)^{2} }\geq \sqrt{ (x-w)^{2} }=|x-w|$$

Luego

$$w=x+w-x\geq x-|w-x|>x-r\geq 0$$

lo del modulo es porque si es negativo queda un igual, si es $\geq 0$ estoy restando y es menor. Y lo ultimo es por como se define $r$

Entonces $w>0$ . De forma análoga, $z>0$ . Luego probamos que la bola está contenida

Recapitulando

$$\{ (x,y):x>0,y>0 \}\subseteq \{ (x,y):x\geq 0,y\geq 0 \}^0\subseteq \{ (x,y):x\geq 0,y\geq 0 \}$$

Para forzar la igualdad en la primera y segunda. Tengo que ver que no existe elemento de la segunda que no esté en el primero.

Para ver que el interior es $\{ (x,y):x>0,y>0 \}$ basta ver que ningún elemento de $\{ (x,y):x\geq_{0},y\geq0 \}\setminus \{ (x,y):x>0,y>0 \}=\{ (x,y):(x=0\land y\geq 0)\lor(x\geq 0\land y=0) \}$ está en el interior.

Sea $(0,y)$ con $y\geq0$ y $r>0$. Veamos $B((0,y),r)$ no está contenida en nuestro conjunto original. El elemento $\left( -\frac{r}{2},y \right)$ está en la bola, pero no está en el conjunto original. Pues $-\frac{r}{2}<0$

Está en la bola pues

$$|(0,y)-\left( -\frac{r}{2},y \right)|=\sqrt{ \left( 0-\left( -\frac{r}{2} \right) \right)^{2}+(y-y)^{2} }=\sqrt{ \left( \frac{r}{2}^{2} \right) }=\frac{r}{2}<r$$

Análogo para $(x,0)$ con $x\geq0$. Finalmente está probado

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ej. 3

Ahora trabajemos con un espacio métrico donde los elementos son funciones. Estas tienen dominio cerrado y acotado $D\subseteq \mathbb{R}$ y definimos la métrica.

$$d(f,g)=\lvert f-g \rvert _{\infty}=max_{x \in D}|f(x)-g(x)|$$

Donde $f,g:D\to \mathbb{R}$ continuas.

2 funciones son iguales si para todo elemento del dominio, sus imágenes son iguales.

Probemos que

$$\{ f \in C([0,1]): f(0)\leq 2\}^0 =\{ f\in C([0,1]):f(0)<2 \}$$

Misma estrategia que el ejercicio anterior.

Veamos que es abierto. Sea $f$ con $f(0)<2$ Sea $r=2-f(0)$ Veamos que $B(f,r)$ está contenida en el conjunto original. sea $g \in B(f,r),g:[0,1]\to \mathbb{R}$ continua. Tenemos que ver que $g(0)<2$

$$g(0)=g(0)-f(0)+f(0)\leq f(0)+|g(0)-f(0)|\leq f(0)+ max_{x \in[0,1]}| g(x)-f(x) |=$$ $$=f(0)+d(f,g)<f(0)+r=f(0)+2-f(0)=2$$ $$\implies g(0)<2\implies g \in \{ f\in C([0,1]): f(0)<2\}$$

y $\{ f\in C([0,1]): f(0)<2\}$ es abierto.

Resta ver que $\{ f:f(0)\leq2 \}\setminus \{ f:f(0)<2 \}=\{ f\in C:f(0)=2 \}$ no toca al interior. Sea $f$ tal que $f(0)=2$ Consideremos una bola cualquiera centrada en $f,B(f,r)\quad r\in \mathbb{R}_{>0}$

Sea $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ continua tal que $g(x)=f(x)+\frac{r}{2}$ que es continua.

$$\implies g(0)=f(0)+\frac{r}{2}=2+\frac{r}{2}>2\implies$$

$g$ no está en el conjunto original. Resta ver que sí está en $B(f,r)$

$$d(f,g)=max_{x \in[0,1]}\quad |f(x)-g(x)|=max |\frac{r}{2}|=\frac{r}{2}<r\implies g \in B(f,r)$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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