Avanzado-Práctica 10 - Espacios Métricos VI

Tue-24-09-2024 11:36 profe: Mauro status: tags: Espacios métricos

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Consideremos $R^n$ con la métrica 2. Sean $(a_{m})\subseteq \mathbb{R}^n$ y $x \in \mathbb{R}^n$ Probar que $a_{m}\to x$ cuando $m$ tiende a infinito si y solo si para todo$j=1,\dots,m$ sucede que
$a_{m}^{(j)}\to x^j$ cuando $m$ tiende a infinito. En el espacio $\mathbb{R}$.

$Dem:$ Recordemos la definición de convergencia

$$\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:n_{0}\quad a_{m} \in B(l,\mathcal{E})\quad \forall n\geq n_{0}$$

Supongo $a_{m}\to x$ en $d_{\infty}$. Luego sea $1\leq j\leq n,\mathcal{E}>0$ $\:\exists\:n_{0} \in \mathbb{N}\:|\:\forall n\geq n_{0},a_{m} \in B(l,\mathcal{E}) \subseteq \mathbb{R}^n$

Este es el $n_{0}$ que nos sirve.

$$d(a_{m}^{(j)},x^{(j)})\leq max\quad d(a_{m}^{(k)},x^{(k)})=d_{\infty}(a_{m},x)<\mathcal{E}\quad \text{por hip. } \forall n\geq n_{0}$$

Para la vuelta: Suponemos que converge a cada coordenada. Sea $\mathcal{E}>0$ para cada $j$:

$$\:\exists\: m_{0}^j\:|\: d(a_{m}^{(j)},x^{(j)})<\mathcal{E}\quad \forall m\geq m_{0}^{j}$$

Luego, si $m\geq max\:m_{0}^j$, resulta

$$d_{\infty}(a_{m},x)=max\:d(a_{m}^{(j)},x^{(j)})<\mathcal{E}$$

Así, queda probado que $a_{m}\to x$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

Tarea: usar la equivalencia de $d_{\infty}$ con $d_{1}$ y $d_{2}$ para probar lo mismo con estas métricas. En $\mathbb{R}^n$, para toda norma $d_{1},d_{2},d_{\infty}$, converger en cada coordenada significa converger en $\mathbb{R}^n$.

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2. Teorema de la intersección de cantor. Sea $E$ un espacio métrico completo. Sea $(A_{n})$ una sucesión de subconjuntos cerrados acotados y no vacíos tales que $A_{n+1}\subseteq A_{n} \forall n,\lim_{ n \to \infty }diam(A_{n})=0$ probar que existe un único elemento $x \in \bigcap_{n} A_{n}$

-->19.18

Sea $a_{n} \in A_{n}$. Esto proporciona una sucesión $(a_{n})_{n}\subseteq E$

Veamos que $(a_{n})_{n}$ es de Cauchy. Fijemos un $\mathcal{E}>0.$ Como $\lim_{ n \to \infty }diam(A_{n})=0:$

$$\:\exists\:n_{0}\:|\: |diam(A_{n})-0|=diam(A_{n})<\mathcal{E}\quad si\:n\geq n_{0}$$

si $n,m\geq n_{0}$, entonces

$$a_{n} \in A_{n} \subseteq A_{n_{0}}\implies a_{n} \in A_{n_{0}}$$

Por las mismas razones $a_{m}\in A_{n_{0}}$

$$d(a_{m},a_{n})\underset{\text{Por def. de }diam(A_{n})}{<}diam(A_{n})<\mathcal{E}$$

Entonces es de Cauchy.

Y por completitud de $E,\:\exists\:l \in E$ que es límite de la sucesión. $\forall n$, la sucesión "cae" en $A_{n}$ a partir de $n_{0}$. Como es cerrado, el límite debe estar en $A_{n}$, es decir, $l \in A_{n} \: \forall n, l \in \bigcap A_{n}$

Resta ver la unicidad: Sea $M \in \bigcap A_{n}$ Dado $\mathcal{E}>0, \:\exists\:n_{0}\:|\:diam(A_{n_{0}})<\mathcal{E}$ Pero $L,M \in A_{n_{0}}:d(L,M)\leq diam(A_{n_{0}})<\mathcal{E}$ Como $d(L,M)<\mathcal{E}\quad\forall\mathcal{E}>0$ necesariamente (ej.1 P1), $d(L,M)\leq0\to$ es cero.

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