#9Espacios métricos

9 - Espacios métricos V

18 min de lectura

Thu-19-09-2024 09:08 profe: Ignacio status: tags: Espacios métricos

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

Dadas meˊtricas d y d′ equivalentes, entonces:B(x,r;d)={y ∣ d(x,y)<r}⊆{y ∣ c.d′(x,y)<r}=B(x,rc,d′)B(x,r;d′)={y ∣ d′(x,y)<r}⊆{y ∣ d(x,y)<c′.r}=B(x,c′.r;d)\begin{array}{l} \text{Dadas métricas $d$ y $d'$ equivalentes, entonces:}\\ B(x,r;d)=\{ y\:|\:d(x,y)<r \}\subseteq \{ y\:|\:c.d'(x,y)<r \}=B\left( x, \frac{r}{c},d' \right)\\ B(x,r;d')=\{ y\:|\: d'(x,y)<r \}\subseteq \{ y\:|\: d(x,y)<c'.r \}=B(x,c'.r;d) \end{array}

draw-metricosV-1

Mas aún, dado A⊆EA\subseteq E: A°,A‾,A′,∂AA°,\overline{A},A',\partial A son los mismos con dd y con d′d'.

  • En (E,δ) ∂B(x,1)≠S(x,1)(E,\delta)\: \partial B(x,1)\neq S(x,1)

Ejemplos:

  1. Qn\mathbb{Q}^n es denso en (Rn,d2)(\mathbb{R}^n,d_{2}) qvq. Qn‾=Rn\overline{\mathbb{Q}^n}=\mathbb{R}^n en d∞d_{\infty} pues d2d_{2} y d∞d_{\infty} son equivalentes. Dado x∈Rnx \in \mathbb{R}^n, B(x,r;d∞)∩QnB(x,r;d_{\infty})\cap \mathbb{Q}^n?

Quiero probar que esa intersección es no vacía.

Elijo yi∈Q ∣ ∣xi−yi∣<ry_{i} \in \mathbb{Q}\:|\:|x_{i}-y_{i}|<r (Elijo un racional tan cerca de xix_{i} como yo quiera). Lo puedo hacer pues Q‾=R\overline{\mathbb{Q}}=R. y=(y1,…,yn),d∞(x,y)=max∣xi−yi∣  ⟹  y∈B(x,r,;d∞)∩Qny=(y_{1},\dots,y_{n}),d_{\infty}(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|\implies y \in B(x,r,;d_{\infty})\cap \mathbb{Q}^n   ⟹  Qn‾=Rn\implies\overline{\mathbb{Q}^n}=\mathbb{R}^n

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Una sucesioˊn en E es una funcioˊn a:N→E, y notamos an=a(n)\begin{array}{l} \text{Una sucesión en $E$ es una función $a:\mathbb{N}\to E$, y notamos $a_{n}=a(n)$} \end{array}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Sea (an) sucesioˊn en E, l∈E. Decimos que (an) converge a l si(∀E>0)( ∃ n0∈N) d(an,l)<E∀n≥n0Notamos lim⁡n→∞an=l\begin{array}{l} \text{Sea $(a_{n})$ sucesión en $E$, $l \in E$. Decimos que $(a_{n})$ converge a $l$ si}\\ (\forall \mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:d(a_{n},l)<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0}\\ \text{Notamos $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l$} \end{array}

an⊆B(l,E)a_{n}\subseteq B(l,\mathcal{E})

Obs:Obs:

lim⁡n→∞an=l  ⟺  lim⁡n→∞d(an,l)=0\lim_{ n \to \infty } a_{n}=l \iff \lim_{ n \to \infty } d(a_{n},l)=0

La primera es una sucesión en EE, la segunda en R\mathbb{R}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

lim⁡n→∞an=l  ⟺  ∀G abierto con l∈GSe tiene que ( ∃ n0)an∈G ∀n≥n0 \begin{array}{l} \text{$\lim_{ n \to \infty } a_{n}=l\iff \forall G\:abierto\:con\:l \in G$}\\ \text{Se tiene que $(\:\exists\:n_{0})a_{n}\in G\:\forall n\geq n_{0}$ } \end{array}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

A⊆E,l∈A‾  ⟺   ∃ (an)⊆A con lim⁡n→∞an=l \begin{array}{l} \text{$A\subseteq E,l \in \overline{A}\iff \:\exists\:(a_{n})\subseteq A$ con $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ⇒)\Rightarrow) l∈A‾  ⟹  l \in \overline{A}\implies :∀n ∃ an∈B(l,1n)∩A  ⟹  :\forall n \:\exists\:a_{n} \in B\left( l, \frac{1}{n} \right) \cap A \implies (an)⊆A(a_{n})\subseteq A, y lim⁡n→∞an=l\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l

⇐)\Leftarrow) lim⁡n→∞an=l  ⟹  ∀E>0B(l,E)∩A≠∅  ⟹  l∈A‾\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l \implies \forall\mathcal{E}>0B(l,\mathcal{E})\cap A\neq \emptyset \implies l \in \overline{A}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

A cerrado   ⟺  ∀(an)⊆A convergente se tiene que lim⁡n→∞an=l∈A \begin{array}{l} \text{$A$ cerrado $\iff \forall(a_{n})\subseteq A$ convergente se tiene que $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l \in A$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

Es corolario de la anterior

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

(an)⊂E se dice de Cauchy si (∀E>0)( ∃ n0∈N) d(an,am)<E∀n,m≥n0 \begin{array}{l} \text{$(a_{n})\subset E$ se dice de Cauchy si $(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:d(a_{n},a_{m})<\mathcal{E}\quad\forall n,m\geq n_{0}$ } \end{array}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(an) convergente   ⟹  (an) es de Cauchy. \begin{array}{l} \text{$(a_{n})$ convergente $\implies(a_{n})$ es de Cauchy. } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

 ∃ l∈E ∣ lim⁡n→∞an=l\:\exists\:l \in E\:|\:\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l

∀E>0 ∃ n0d(an,l)<E\forall\mathcal{E}>0 \:\exists\:n_{0}d(a_{n},l)<\mathcal{E} Para E>0\mathcal{E}>0 arbitrario d(an,am)≤d(an,l)+d(l,am)d(a_{n},a_{m})\leq d(a_{n},l)+d(l,a_{m}) Elijo n0 ∣ d(an,l)<E2∀n≥n0n_{0}\:|\:d(a_{n},l)< \frac{\mathcal{E}}{2}\quad\forall n\geq n_{0}

Obs:Obs: No vale la vuelta.

Ejemplos:Ejemplos:
  1. Q‾=R\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} A=Q,E=RA=\mathbb{Q},E=\mathbb{R} Esto implica que  ∃ (an∈Q ∣ lim⁡n→∞an=2)\:\exists\:(a_{n} \in \mathbb{Q}\:|\:\lim_{ n \to \infty }a_{n}=\sqrt{ 2 }) en R\mathbb{R}

->

(an)(a_{n}) convergente   ⟹  \implies es de Cauchy. Ahora pienso Q\mathbb{Q} como espacio métrico con la métrica usual. Entonces (an)(a_{n}) es de Cauchy en Q\mathbb{Q}. Supongamos que  ∃ l∈Q ∣ lim⁡n→∞an=l\:\exists\:l \in \mathbb{Q}\:|\:\lim_{ n \to \infty }a_{n}=l Por álgebra de límites: lim⁡n→∞an2=l2\lim_{ n \to \infty }a_{n}^{2}=l^{2}   ⟹  l2=2\implies l^{2}=2, absurdo. pues no existe l∈Q ∣ l2=2l \in \mathbb{Q}\:|\:l^{2}=2

  1. En (E,δ)(E,\delta) (an)(a_{n}) es de Cauchy   ⟺   ∃ n0 ∣ an\iff \:\exists\:n_{0}\:|\:a_{n} es constante ∀n≥n0  ⟺  (an)\forall n\geq n_{0}\iff(a_{n}) es convergente.

En el espacio discreto, ser de Cauchy implica convergencia.

  1. E=C([−1,1])E=C([-1,1]) Con fn:f_{n}: draw-metricosV-2

Tengo la sucesión de funciones (fn)(f_{n}). Mirando el gráfico puedo intuir que a nn grande las funciones empiezan a ser discontinuas, es decir, salen del espacio métrico tomado.

Veamos:

E=C([−1,1],d1)E=C([-1,1],d_{1})

recordar que

d1(f,g)=∫−11∣f−g∣d_{1}(f,g)=\int_{-1}^1 |f-g|

Veamos si la sucesión es de Cauchy: tomo una función fmf_{m}. nn es fijo, vario el mm.

d1(fn,fm)<1nd_{1}(f_{n},f_{m})< \frac{1}{n}

El 1n\frac{1}{n} es porque el área que encierran a medida que mm crece a lo sumo va a ser el triángulo del gráfico.

Luego (fn)(f_{n}) es de Cauchy.

Veremos que no converge a alguna función continua.

Supongamos que

 ∃ f∈C([−1,1]) ∣ lim⁡n→∞fn=f\:\exists\:f \in C([-1,1])\:|\: \lim_{ n \to \infty } f_{n}=f

-> 19.00 Supongamos que f(0)>0f(0)>0, por absurdo pues f(0)f(0)

draw-metricosV-3 Como ff es continua

 ∃ δ>0 ∣ f(x)>f(0)2∀x∈(−δ,δ)\:\exists\:\delta>0\:|\: f(x)> \frac{f(0)}{2}\quad \forall x \in(-\delta,\delta)

Luego

d1(fn,f)=∫−11∣fn−f∣≥∫−δ0∣fn−f∣≥δ.f(0)2>0d_{1}(f_{n},f)=\int_{-1}^1 |f_{n}-f|\geq \int_{-\delta}^0|f_{n}-f|\geq \delta.\frac{ f(0)}{2}>0

  ⟹  d1(fn,f)\implies d_{1}(f_{n},f) no tiende a 0, fnf_{n} no converge a ff Absurdo, por suponer que f(0)>0f(0)>0 Todavía no podemos descartar que el límite existe. Por ahora sabemos que si existe, no puede pasar que f(0)>0f(0)>0. Análogamente también descarto la idea de que f(0)<0f(0)<0

∴ \therefore\: si existe f  ⟹  f(0)=0f \implies f(0)=0

Básicamente quiero llegar a que si hay un límite, no es una función continua. La idea es que si agarro xx negativos la ff tiene que valer −1-1. Porque todas las fnf_{n} valen −1-1

  • Tomemos x<0x<0: cuanto vale f(x)f(x)?
 ∃ n0 ∣ fn(x)=−1∀n≥n0\:\exists\:n_{0}\:|\: f_{n}(x)=-1\quad \forall n\geq n_{0}

Quiero probar que f(x)=−1f(x)=-1. Supongo que f(x)>−1f(x)>-1 y llego a un absurdo, por el mismo modo que antes.

Como ff es continua, existe un intervalo donde es más grande que el promedio entre f(x)f(x) y −1-1.

 ∃ δ>0 ∣ f(x)>f(x)−12∀x∈(x0−δ,x0+δ)\:\exists\:\delta>0\:|\: f(x)> \frac{f(x)-1}{2}\quad \forall x \in(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)

draw-metricosV-4 Por los mismos argumentos concluyo que f(x)=−1f(x)=-1 Entonces tengo que

f(x)={−1x<00x=0f(x)=\begin{cases} -1&x<0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

Luego ff no es continua.

  ⟹  f∉C([−1,1])\implies f\not\in C([-1,1])

(fn)(f_{n}) es de Cauchy en (C([−1,1]),d1)(C([-1,1]),d_{1}), pero no converge en (C([−1,1]),d1)(C([-1,1]),d_{1})

Que pasa con (C([−1,1]),d∞)(C([-1,1]),d_{\infty})

d∞(f,g)=max∣f(x)−g(x)∣d_{\infty}(f,g)=max|f(x)-g(x)|

Si mm es bastante grande ese módulo vale casi 1, entonces no se cumple la def de Cauchy de que para todo E\mathcal{E}...

Dado un nn cualquier  ∃ m ∣ d∞(fn,fm)>12  ⟹  (fn)\:\exists\:m\:|\:d_{\infty}(f_{n},f_{m})> \frac{1}{2}\implies(f_{n}) no es de Cauchy.

draw-metricosV-5

Citas y Comentarios

Temas relacionados

Espacios métricos