Avanzado-Práctica 9 - Espacios Métricos V

Thu-19-09-2024 11:08 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags: Espacios métricos

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Hallar la frontera de $\mathbb{Q}\subseteq E$ en el espacio métrico $E$ con la métrica usual usando $E=\mathbb{R}$ y $E=\mathbb{Q}$. Recordar que

$$\partial A=\overline{A}\cap \overline{A^c}$$ $$\text{En $\mathbb{R}:$}$$

Notemos que $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ pues dado $x \in \mathbb{R},\forall r>0:B(x,r)\cap \mathbb{Q}\neq \emptyset$ Además $\overline{\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}=\mathbb{R}$, por lo mismo. Luego $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$

$$\text{En $\mathbb{Q}:$}$$ $$\mathbb{Q}\subseteq \overline{\mathbb{Q}}\subseteq E=\mathbb{Q}$$

Como $\mathbb{Q}^c=\emptyset \implies \overline{\mathbb{Q}^c}=\emptyset \implies \partial \mathbb{Q}=\emptyset$

Diámetro de conjuntos

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Veamos algunos ejemplos:

1. Hallar el diámetro de $B(x,r)\subseteq \mathbb{R}^n$ con las métricas $d_{1},d_{2},d_{\infty}$.

Primero demostremos algo mas general y Veamos que cualquier bola(en cualquier espacio métrico) tiene diámetro acotado por $2r$.

Si $y,z \in B(x,r)$ entonces $d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)\leq2r$ Como el supremo es la menor de todas las cotas, entonces

$$diam(B(x,r))\leq 2r$$

Veamos el caso del ejercicio: Dado $\mathcal{E}>0$, vale que $x+(r-\mathcal{E}).e_{1}\in B(x,r)$. Pensamos que $r>\mathcal{E}$.

$$\begin{array}{c} d_{2}(x+(r-\mathcal{E})e_{1},x-(r-\mathcal{E})e_{1})= \\ =\sqrt{ (x_{1}+(r-\mathcal{E})e_{1}-x_{1}+(r-\mathcal{E})e_{1})^{2}+(x_{2}-x_{2})^{2}+\dots+(x_{n}-x_{n})^{2} } \\ =|2(r-\mathcal{E})|=2(r-\mathcal{E})=2r-2\mathcal{E} \\ \end{array}$$

Entonces

$$diam(B(x,r))\geq 2r-2\mathcal{E}$$

Luego por ejercicio 1 de la guía 1. Como $\mathcal{E}$ es cualquiera(menor a $r$) entonces

$$diam(B(x,r))\geq 2r$$ $$\therefore\: diam(B(x,r))=2r$$

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Similar para $d_{1}$ y $d_{\infty}$:

$$\begin{array}{c} d_{1}(x+(r-\mathcal{E})e_{1},x-(r-\mathcal{E})e_{1}) =\\ =\dots=|2(r-\mathcal{E})| \end{array}$$

y vale lo mismo.

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Hallar el diámetro de las bolas en $C([0,1])$ con las métricas $d_{1}$ y $d_{\infty}$.

Tomemos $B(f,r)$, consideremos $f+(r-\mathcal{E})$ que sigue siendo continua y no me voy del espacio. veamos que está en la bola:

$0<\mathcal{E}<r$

$$\begin{array}{c} d_{1}(f,f+(r-\mathcal{E}))=\int_{0}^1|f(x)-f(x)-r+\mathcal{E}|dx=\int_{0}^1r-\mathcal{E}=r-\mathcal{E}<r \end{array}$$

Efectivamente está en la bola. Similar con $f-(r-\mathcal{E})$

$$d_{1}(f+(r-\mathcal{E}),f-(r-\mathcal{E}))=2r-2\mathcal{E}$$

Mismo que antes, $diam(B(f,r))\geq2r$

$$\therefore\: diam(B(f,r))=2r$$

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Ahora con $d_{\infty}$

$$d_{\infty}(f,f+(r-\mathcal{E}))$$ $$\begin{array}{c} =max|f(x)-f(x)-r+\mathcal{E}|=r-\mathcal{E}<r \\ d_{\infty}(f+r-\mathcal{E},f-(r-\mathcal{E}))=2r-2\mathcal{E} \end{array}$$

Como antes.

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¿Existe algún espacio métrico tal que el diámetro de las bolas no sea $2r$?

En un espacio métrico discreto todos los conjuntos con más de un elemento tienen diámetro 1. $Dem:$ Fijemos un conjunto $A$ con $a,b \in A:a\neq b$.

$$d(a,b)=1$$

Como el diámetro es el supremo de las distancias entre $a,b \in A$, entonces $diam(A)\geq1$ Además, como

$$d(a,b)\leq 1\quad \forall a,b \in A$$

Entonces 1 es cota superior para las distancias, en particular, para las distancias entre elementos de $A$. Como el diámetro es el supremo, debe ser menor o igual a cualquier cota.

$$\begin{array}{c} diam(A)\leq 1 \\ \therefore\: diam(A)=1 \end{array}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Citas y Comentarios

Las equivalencias se olvidan de las medidas, y se manejan más con las formas. Sirve más para abiertos.