#8Espacios métricos

8 - Espacios métricos IV

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Tue-17-09-2024 09:04 profe: Ignacio(suplente) status: tags: Espacios métricos

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Sea A⊆E, x∈A es un punto aislado de A si  ∃ r>0:B(x,r)∩A={x}\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq E$, $x \in A$ es un punto aislado de $A$ si $\:\exists\:r>0:B(x,r)\cap A=\{ x \}$} \end{array}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

E es discreto si todo x∈E es un punto aislado de E.\begin{array}{l} \text{$E$ es discreto si todo $x \in E$ es un punto aislado de $E$.} \end{array}

Ejemplos:

  1. (Z,d2)d2(x,y)=∣x−y∣∀x∈Z,r<1:B(x,r)={x}(\mathbb{Z},d_{2})\quad d_{2}(x,y)=|x-y|\quad \forall x \in \mathbb{Z},r<1:B(x,r)=\{ x \}
  2. (E,δ)(E,\delta) es discreto ∀E\forall E
  3. E={1n:n∈N}E=\left\{ \frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} \right\} con distancia usual d2d_{2}.

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

E es discreto   ⟺   todo subconjunto de E es abierto y cerrado al mismo tiempo.\begin{array}{l} \text{$E$ es discreto $\iff$ todo subconjunto de $E$ es abierto y cerrado al mismo tiempo.} \end{array}

Dado un espacio métrico cualquiera, es abierto y cerrado al mismo tiempo.

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } →)\to) Estoy suponiendo que AA es discreto.

A⊆E:A=⋃x∈A{x}A\subseteq E:A=\bigcup_{x \in A} \{ x \}

Como AA es abierto. Existe una bola tal que representa a todo conjunto con un elemento de AA.

 ∃ r>0:B(x,r)={x}  ⟹  {x} es abierto\begin{array}{c} \:\exists\:r>0:B(x,r)=\{ x \} \\ \implies \{ x \} \text{ es abierto} \end{array}

AA resulta ser unión arbitraria de conjuntos abiertos. Entones AA es abierto

Dado A⊆EA\subseteq E

A=E∖(E∖A)A=E\setminus(E\setminus A)

Como E∖A⊆EE\setminus A \subseteq E, entonces E∖AE\setminus A es abierto.

Esto podemos usarlo porque ya probamos que todo subconjunto de EE es abierto.

AA resulta ser el complemento de un abierto.   ⟹  A\implies A es cerrado.

∴ A es abierto y cerrado.\therefore\: A \text{ es abierto y cerrado.}

⇐)\Leftarrow)

Necesito saber si todo punto individual es aislado. Y asi concluir que EE es discreto.

Tomo el conjunto formado por un punto {x}\{ x \}. Resulta ser abierto, entonces:

 ∃ r>0:B(x,r)⊆{x}  ⟹  B(x,r)∩E={x}\:\exists\:r>0:B(x,r)\subseteq \{ x \} \implies B(x,r)\cap E=\{ x \}

Esto implica que xx es aislado y EE es discreto.

Def. 3:{\color{Cyan} \text{Def. 3:} }

A⊆E, x∈E es un punto de acumulacioˊn de A si ∀r>0:B(x,r)∩A∖{x}≠∅\begin{array}{l} \text{$A \subseteq E$, $x \in E$ es un punto de acumulación de $A$ si }\\ \forall r>0:B(x,r)\cap A\setminus \{ x \}\neq \emptyset \end{array}

Son los de adherencia que no son aislados. xx no necesariamente es parte de AA en la def.

Ejemplos:

  1. A={1n:n∈N}E=RA=\left\{ \frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} \right\}\quad E=\mathbb{R} El cero es un punto de acumulación.
B(0,r)∩{1n:n∈N}∖{0}≠∅B(0,r)\cap \left\{ \frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} \right\}\setminus \{ 0 \}\neq \emptyset 
Pues siempre existe $n_{0}\:|\:n>n_{0}: \frac{1}{n}<r$

Def. 4:{\color{Cyan} \text{Def. 4:} }

Notamos A′ conjunto derivado de A. Es el conjunto de lso puntos de acumulacioˊn de A.\begin{array}{l} \text{Notamos $A'$ conjunto derivado de $A$. Es el conjunto de lso puntos de acumulación de $A$.} \end{array}

Ejemplos:

  1. A={1n:n∈N}A′={0}A=\left\{ \frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} \right\}\quad A'=\{ 0 \}

Obs:Obs:

x∈A aislado   ⟹  x∈A∖A′\text{$x \in A$ aislado $\implies x \in A\setminus A'$}

Ejemplo:

  1. A=(a,b]E=RA=(a,b]\quad E=\mathbb{R} A′=[a,b]A'=[a,b]

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} }

Sea A⊆E,x∈A′  ⟺  ∀r>0:B(x,r)∩A es infinito.\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq E, x \in A'\iff \forall r>0:B(x,r)\cap A$ es infinito.} \end{array}

La def. te dice hay al menos 2. Acá es mas fuerte.

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ⇐)\Leftarrow) ∀r>0:B(x,r)∩A∖{x}≠∅\forall r>0:B(x,r)\cap A\setminus \{ x \}\neq \emptyset pues a algo infinito le saco un punto sigue siendo infinito. ⇒)\Rightarrow) x∈A′,r>0x \in A',r>0 por definición  ∃ a1∈B(x,r)∩A∖{x}\:\exists\:a_{1} \in B(x,r)\cap A\setminus \{ x \} Ahora defino un nuevo r1=d(x,a1)  ⟹   ∃ a2∈B(x,r1)∩A∖{x}r_{1}=d(x,a_{1})\implies \:\exists\:a_{2} \in B(x,r_{1})\cap A\setminus \{ x \} …\dots Y así, voy construyendo una sucesión ana_{n}   ⟹  {an}n∈N\implies \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} son infinitos puntos en B(x,r)∩AB(x,r)\cap A.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} }

Sea A⊆EA\subseteq E, entonces:

  1. A′⊆A‾A'\subseteq \overline{A}
  2. A‾∖A⊆A′\overline{A}\setminus A\subseteq A'
  3. A‾=A∪A′\overline{A}=A\cup A'

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

  1. Mirando las definiciones de A′A' y A‾\overline{A} .
  2. x∈A‾∖Ax \in\overline{A}\setminus A significa que ∀r:B(x,r)∩A≠∅\forall r:B(x,r)\cap A\neq \emptyset Pero B(x,r)∩A=B(x,r)∩A∖{x}B(x,r)\cap A=B(x,r)\cap A\setminus \{ x \} pues x∉Ax \not\in A
  ⟹  x∈A‾\implies x \in \overline{A}
  1. A‾=(A‾∖A)∪A⊆A′∪A\overline{A}=(\overline{A}\setminus A)\cup A\subseteq A'\cup A pues por 2. (A‾∖A)⊆A′(\overline{A}\setminus A)\subseteq A' Y como A⊆A‾A\subseteq \overline{A} y A′⊆A‾  ⟹  A∪A′⊆A‾A'\subseteq \overline{A}\implies A\cup A'\subseteq \overline{A}

Corolario 1:{\color{Red} \text{Corolario 1}:}

A es cerrado   ⟺  A′⊆A\begin{array}{l} \text{$A$ es cerrado $\iff A'\subseteq A$} \end{array}

⇒)\Rightarrow) AA es cerrado   ⟹  A‾=A\implies \overline{A}=A por 1., A′⊆A‾=AA'\subseteq \overline{A}=A ⇐\Leftarrow) A′∪A=AA'\cup A=A pues A′⊆AA'\subseteq A y A⊆A‾A\subseteq \overline{A}

Def. 5:{\color{Cyan} \text{Def. 5:} }

x es punto frontera de A si y solo si:\begin{array}{l} \text{$x$ es punto frontera de $A$ si y solo si:} \end{array} B(x,r)∩A≠∅B(x,r)∩(E∖A)≠∅\begin{array}{c} B(x,r)\cap A\neq \emptyset \\ B(x,r)\cap (E\setminus A)\neq \emptyset \end{array}

Obs:Obs:

∂A=A‾∩E∖A‾\partial A=\overline{A}\cap \overline{E\setminus A}

Ejemplos:

  1. A=(a,b]E=R∂A={a,b}A=(a,b]\quad E=\mathbb{R}\quad \partial A=\{ a,b \}
  2. En un espacio EE cualquiera: A=B(x,r)  ⟹  ∂A⊆S(x,r)A=B(x,r)\implies\partial A\subseteq S(x,r) Sea y∈∂A  ⟹  y∈A‾y \in\partial A\implies y \in \overline{A} B‾(x,r)⊇B(x,r)\overline{B}(x,r)\supseteq B(x,r) y además B‾(x,r)\overline{B}(x,r) es cerrado.   ⟹  A‾⊆B‾(x,r)\implies \overline{A}\subseteq \overline{B}(x,r) Como S(x,r)=B‾(x,r)∖B(x,r)S(x,r)=\overline{B}(x,r)\setminus B(x,r). Basta ver que y∉B(x,r)y\not\in B(x,r) Supongamos que si, y∈B(x,r)y \in B(x,r) Sea z∈E∖Az \in E\setminus A. d(z,x)≥rd(z,x)\geq r y tomo r1=d(x,y)<rr_{1}=d(x,y)<r
r≤d(z,x)=d(z,y)+d(y,x)=d(z,y)+r1  ⟹  d(z,y)≥r−r1B(y,r−r1)∩(E∖A)=∅  ⟹  y∉∂A\begin{array}{c} r\leq d(z,x)=d(z,y)+d(y,x)=d(z,y)+r_{1} \\ \implies d(z,y)\geq r-r_{1} \\ B(y,r-r_{1})\cap(E\setminus A)=\emptyset \implies y\not\in\partial A \end{array}

pues z∈E∖A  ⟹  z∉b(y,r−r1)z \in E\setminus A\implies z\not\in b(y,r-r_{1})

  ⟹  y∉B(x,r)y∈S(x,y)\begin{array}{c} \implies y \not\in B(x,r) \\ y \in S(x,y) \end{array} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Obs:Obs:

¿Vale ∂B(x,r)=S(x,r)?\text{¿Vale $\partial B(x,r)=S(x,r)$?}

No, si considero (E,δ)(E,\delta) Si r<1  ⟹  B(x,r)={x}r<1\implies B(x,r)=\{ x \} Además, ∂B(x,r)=∅\partial B(x,r)=\emptyset pues ∀r<1:B(x,r)∩(E∖A)=∅\forall r<1:B(x,r)\cap(E\setminus A)=\emptyset S(x,r)=E∖{x}S(x,r)=E\setminus \{ x \}

Prop. 4:{\color{Orange} \text{Prop. 4:} }

A‾=A∪∂A\begin{array}{l} \overline{A}=A\cup\partial A \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ⊇)\supseteq) x∈A∪∂A,A⊆A‾x \in A\cup\partial A\quad ,A\subseteq \overline{A} ∂A⊆A‾\partial A\subseteq \overline{A}   ⟹  x∈A‾\implies x \in \overline{A} ⊆)\subseteq) x∈A‾x \in \overline{A}

  • si x∈Ax \in A, ya gané
  • Si x∈A‾∖Aipliesx∈E∖A  ⟹  x∈E∖A‾x \in \overline{A}\setminus Aipliesx \in E\setminus A\implies x \in\overline{E\setminus A}   ⟹  x∈A‾∩E∖A‾=∂A\implies x \in \overline{A}\cap\overline{E\setminus A}=\partial A

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

d y d′ meˊtricas sobre E. Se dice que son equivalentes si existen constantes postivas c y c′ de manera quec.d′(x,y)≤d(x,y)≤c′.d′(x,y)\begin{array}{l} \text{$d$ y $d'$ métricas sobre $E$. Se dice que son equivalentes si existen constantes postivas $c$ y $c'$ de manera que}\\ c.d'(x,y)\leq d(x,y)\leq c'.d'(x,y) \end{array}

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