Continuidad

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tags: Análisis Avanzado

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

f:R→R es continua en x0∈R si (∀E>0)( ∃ δ>0) ∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<E\begin{array}{c} \text{$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_{0} \in \mathbb{R}\: si\:$}\\ (\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)\:|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\mathcal{E} \end{array} d(x,x0)<δ  ⟹  d(f(x),f(x0))<Ed(x,x_{0})<\delta \implies d(f(x),f(x_{0}))<\mathcal{E}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Sean (E,δ),(E′,δ′) espacios meˊtricos.Sea f:E→E′\begin{array}{l} \text{Sean $(E,\delta),(E',\delta')$ espacios métricos.} \\ \text{Sea $f:E\to E'$} \end{array}
  • Dado x0∈Ex_{0} \in E es continua en x0x_{0} si:
∀E>0( ∃ δ>0)∀x∈E:d(x,x0)<δ  ⟹  d′(f(x),f(x0))<E\forall\mathcal{E}>0(\:\exists\:\delta>0)\forall x \in E:d(x,x_{0})<\delta \implies d'(f(x),f(x_{0}))<\mathcal{E}
  • ff es continua si lo es en todo x0∈Ex_{0} \in E

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

f:(E,d)→(E′,d′) es continua en x0  ⟺  (∀E>0)( ∃ δ>0)∀x∈E  x∈B(x0,δ)  ⟹  f(x)∈B(f(x0),E)\begin{array}{l} \text{$f:(E,d)\to(E',d')$ es continua en $x_{0}\iff(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)$}\\ \forall x \in E\:\ x \in B(x_{0},\delta)\implies f(x) \in B(f(x_{0}),\mathcal{E}) \end{array}

Es decir, sii

f(B(x0,δ))⊆B(f(x0),E)f(B(x_{0},\delta))\subseteq B(f(x_{0}),\mathcal{E})

Es decir, sii (f(A)⊆B  ⟺  A⊆f−1(B)f(A)\subseteq B\iff A\subseteq f^{-1}(B))

B(x0,δ)⊆f−1(B(f(x0),E))B(x_{0},\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(x_{0}),\mathcal{E}))

La continuidad se puede caracterización en términos de bolas. Notar que siempre x0∈f−1(B(f(x0),E)x_{0} \in f^{-1}(B(f(x_{0}),\mathcal{E}) Y que la preimagen de un abierto es un abierto.

Prop. 4:{\color{Orange} \text{Prop. 4:} }

Sea f:E→E′ son equivalentes:1.  f continua.2.  f−1(V)⊆E es abierto ∀ V⊆E′, abierto.3.  f−1(F)⊆E s cerrado ∀ F⊆E′ , cerrado.\begin{array}{l} \text{Sea $f:E\to E'$ son equivalentes:}\\ 1.\: \text{ $f$ continua.}\\ 2.\:\text{ $f^{-1}(V)\subseteq E$ es abierto $\forall\: V\subseteq E',$ abierto.}\\ 3.\:\text{ $f^{-1}(F)\subseteq E$ s cerrado $\forall \: F\subseteq E'$ , cerrado.} \end{array}

Corolario 1:{\color{Red} \text{Corolario 1}:}

La continuidad de f no se altera cambiando d o d′ por meˊtricas (fuertemente) equivalentes.\begin{array}{l} \text{La continuidad de $f$ no se altera cambiando $d$ o $d'$ por métricas (fuertemente) equivalentes.} \end{array}

Prop. 5:{\color{Orange} \text{Prop. 5:} }

f es continua en x0  ⟺  ∀(xn⊆E) con xn→x0, se tiene f(xn)→f(x0)\begin{array}{l} \text{$f$ es continua en $x_{0}\iff \forall(x_{n}\subseteq E)$ con $x_{n}\to x_{0}$, se tiene $f(x_{n})\to f(x_{0})$} \end{array}

Prop. 6:{\color{Orange} \text{Prop. 6:} }

f:E→E′,f es continua   ⟺  (∀A⊆E)f(A‾)⊆f(A)‾\begin{array}{l} \text{$f:E\to E',f$ es continua $\iff(\forall A\subseteq E)f(\overline{A})\subseteq\overline{{f(A)}}$} \end{array}

Teórica 11

Def. 3:{\color{Cyan} \text{Def. 3:} }

f es uniformemente continua si\begin{array}{l} \text{$f$ es uniformemente continua si} \end{array} (∀E>0)( ∃ δ>0)(∀x∈E)(∀y∈E)d(x,y)<δ  ⟹  d′(f(x),f(y))<E(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)(\forall x \in E)(\forall y \in E)\quad d(x,y)<\delta \implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E}

Obs:Obs:

Uniformemente continua   ⟹   continua.\text{Uniformemente continua $\implies$ continua.}

Def. 4:{\color{Cyan} \text{Def. 4:} }

f es de tipo Lipschitz si\begin{array}{l} \text{$f$ es de tipo Lipschitz si} \end{array} ( ∃ C>0)(∀x,y∈E)d′(f(x),f(y))≤C.d(x,y)(\:\exists\:C>0)(\forall x,y \in E)\quad d'(f(x),f(y))\leq C.d(x,y)

Prop. 7:{\color{Orange} \text{Prop. 7:} }

Lipchitz   ⟹   uniformemente continua\begin{array}{l} \text{Lipchitz $\implies$ uniformemente continua} \end{array}

Prop. 8:{\color{Orange} \text{Prop. 8:} }

f:[a,b]→RcontinuaSupongo f derivable en (a,b), y que ( ∃ C>0)∣f′(c)∣≤C∀c∈(a,b)Entonces, f es lip. en [a,b], con constante C.\begin{array}{c} f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad continua \\ \text{Supongo $f$ derivable en $(a,b)$, y que $(\:\exists\:C>0)|f'(c)|\leq C\quad\forall c\in (a,b)$}\\ \text{Entonces, $f$ es lip. en $[a,b],$ con constante $C$.} \end{array}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea D⊆E denso y E′ completo, sea f:D→E′ uniformemente continua. Entonces  ∃ !F:E→E′ continua con F∣D=f (F(x)=f(x),x∈D)\begin{array}{l} \text{Sea $D\subseteq E$ denso y $E'$ completo, sea $f:D\to E'$ uniformemente continua. }\\ \text{Entonces $\:\exists\:!F:E\to E'$ continua con $F|_{D}=f$ ($F(x)=f(x),x \in D$)} \end{array}

Def. 5:{\color{Cyan} \text{Def. 5:} } Sean E,E′E,E' espacios métricos(cada uno con su métrica):

  • f:E→E′f:E\to E' es homeomorfismo si ff es continua, biyectiva, f−1f^{-1} continua.
  • E,E′E,E' son homeomorfismos (E∼E′E\sim E') si  ∃ f:E→E′\:\exists\:f:E\to E' es homeomorfismo.

Def. 6:{\color{Cyan} \text{Def. 6:} }

f:E→E′ es abierta si f(U)⊆E′ es abierto ∀U⊆E abierto.\begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ es abierta si $f(U)\subseteq E'$ es abierto $\forall U\subseteq E$ abierto.} \end{array}

Prop. 9:{\color{Orange} \text{Prop. 9:} }

Sea f:E→E′ biyectiva.1. f es continua   ⟺  f−1 abierta.2. f−1 es continua   ⟺  f abierta. \begin{array}{l} \text{Sea $f:E\to E'$ biyectiva.}\\ 1.\text{ $f$ es continua $\iff f^{-1}$ abierta.}\\ 2.\text{ $f^{-1}$ es continua $\iff f$ abierta. } \end{array}

Def. 7:{\color{Cyan} \text{Def. 7:} }

f:E→E′ es una isometrıˊa sid′(f(x),f(y))=d(x,y)∀x,y∈E\begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ es una isometría si}\\ d'(f(x),f(y))=d(x,y)\quad\forall x,y \in E \end{array}

Obs:Obs:

isometrıˊa   ⟹  inyectivaisometrıˊa   ⟹   Lipchitz con C=1 \begin{array}{c} \text{isometría $\implies inyectiva$} \\ \text{isometría $\implies$ Lipchitz con $C=1$ } \end{array}

Prop. 10:{\color{Orange} \text{Prop. 10:} }

f isomeˊtrica y sobreyectiva   ⟹  f homeomorfismo.\begin{array}{l} \text{$f$ isométrica y sobreyectiva $\implies f$ homeomorfismo.} \end{array}

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