Tue-29-04-2025 18:12
profe: Natalia Accomazzo Scotti
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tags: Continuidad
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sean ( M , d ) y ( N , d ′ ) espacios m e ˊ tricos. f : M → N , x ∈ M . f es continua en x si: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∣ d ( y , x ) < δ ⟹ d ′ ( f ( y ) , f ( x ) ) < ε \begin{array}{l}
\text{Sean $(M,d)$ y $(N,d')$ espacios métricos. $f:M\to N,x \in M$ . $f$ es continua en $x$ si:}\\
\forall\varepsilon>0\:\exists\:\delta>0\bigm| d(y,x)<\delta\implies d'(f(y),f(x))<\varepsilon
\end{array} Sean ( M , d ) y ( N , d ′ ) espacios m e ˊ tricos. f : M → N , x ∈ M . f es continua en x si: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 d ( y , x ) < δ ⟹ d ′ ( f ( y ) , f ( x )) < ε Equivalentemente ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ∣ \forall\varepsilon>0,\:\exists\:\delta>0\bigm| ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0
f ( B ( x , δ ) ) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\varepsilon) f ( B ( x , δ )) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) E j e m p l o s Ejemplos E j e m pl os
f : R n → R , ( R n , d 2 ) , ( R , ∣ ⋅ ∣ ) f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R},(\mathbb{R}^{n},d_{2}),(\mathbb{R},|\cdot|) f : R n → R , ( R n , d 2 ) , ( R , ∣ ⋅ ∣ )
x = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n x=(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n} x = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n f f f x x x ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ ε > 0
∃ δ > 0 ∣ d 2 ( x , y ) ⏟ ∣ ∣ x − y ∣ ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < ε \:\exists\:\delta>0\bigm| \underbrace{ d_{2}(x,y) }_{ \lvert \lvert x-y \rvert \rvert }<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon ∃ δ > 0 ∣∣ x − y ∣∣ d 2 ( x , y ) < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < ε
f : M → N , x ∈ M f:M\to N,x \in M f : M → N , x ∈ M
Si δ = r , B ( x , δ ) = { x } \delta=r,B(x,\delta)=\{ x \} δ = r , B ( x , δ ) = { x }
f ( B ( x , δ ) ) = { f ( x ) } ⊆ B ( f ( x ) , ε ) f(B(x,\delta))=\{ f(x) \}\subseteq B(f(x),\varepsilon) f ( B ( x , δ )) = { f ( x )} ⊆ B ( f ( x ) , ε ) ⟹ f \implies f ⟹ f x x x
Subejemplo ( M , δ ) , ( N , d ′ ) (M,\delta),(N,d') ( M , δ ) , ( N , d ′ )
f : M → N es continua en x ∀ x f:M\to N\text{ es continua en }x \quad \forall x f : M → N es continua en x ∀ x Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
f : M → N , x ∈ M . f es continua en x ⟺ ∀ ( x n ) n ∈ N ⊆ M ∣ x n → x ⟹ f ( x n ) → f ( x ) \begin{array}{l}
\text{$f:M\to N,x \in M$. $f$ es continua en $x\iff$}\\
\forall ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M\bigm| x_{n}\to x\implies f(x_{n})\to f(x)
\end{array} f : M → N , x ∈ M . f es continua en x ⟺ ∀ ( x n ) n ∈ N ⊆ M x n → x ⟹ f ( x n ) → f ( x ) Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem: ⟹ ) \implies) ⟹ ) f f f x x x ( x n ) n ∈ N ⊆ M ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M ( x n ) n ∈ N ⊆ M x n → x x_{n}\to x x n → x ( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ N : f ( x n ) → f ( x ) ( f(x_{n}) )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq N:f(x_{n})\to f(x) ( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ N : f ( x n ) → f ( x )
Sea ε > 0 , \varepsilon>0, ε > 0 , ∃ n 0 ∣ d ′ ( f ( x n ) , f ( x ) ) < ε \:\exists\:n_{0}\bigm|d'(f(x_{n}),f(x))<\varepsilon ∃ n 0 d ′ ( f ( x n ) , f ( x )) < ε ∀ n ≥ n 0 \forall n\geq n_{0} ∀ n ≥ n 0 f f f ∃ δ > 0 ∣ d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε \:\exists\:\delta>0\bigm|d(x,y)<\delta\implies d'(f(x),f(y))<\varepsilon ∃ δ > 0 d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) < ε x n → x , ∃ n 0 ∣ x_{n}\to x,\:\exists\:n_{0}\bigm| x n → x , ∃ n 0 n ≥ n 0 d ( x n , x ) < δ n\geq n_{0}\quad d(x_{n},x)<\delta n ≥ n 0 d ( x n , x ) < δ
⟹ d ′ ( f ( x n ) , f ( x ) ) < ε ∀ n ≥ n 0 \implies d'(f(x_{n}),f(x))<\varepsilon \quad \forall n\geq n_{0} ⟹ d ′ ( f ( x n ) , f ( x )) < ε ∀ n ≥ n 0 ⟸ ) \impliedby) ⟸ ) f f f x . x. x .
∃ ε > 0 , ∀ δ > 0 ∃ y ∈ M ∣ d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≥ ε \:\exists\:\varepsilon>0,\forall\delta>0\:\exists\:y\in M\bigm| d(x,y)<\delta\implies d'(f(x),f(y))\geq \varepsilon ∃ ε > 0 , ∀ δ > 0 ∃ y ∈ M d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) ≥ ε Elijo δ = 1 n \delta= \frac{1}{n} δ = n 1 ∃ x n ∈ M ∣ d ( x n , x ) < 1 n \:\exists\: x_{n}\in M\bigm|d(x_{n},x)< \frac{1}{n} ∃ x n ∈ M d ( x n , x ) < n 1 d ′ ( f ( x n ) , f ( x ) ) ≥ ε d'(f(x_{n}),f(x))\geq\varepsilon d ′ ( f ( x n ) , f ( x )) ≥ ε ( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ N ( f(x_{n}) )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq N ( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ N
d ( x n , x ) < 1 n → 0 ⟹ x n → x d(x_{n},x)< \frac{1}{n}\to 0\implies x_{n}\to x d ( x n , x ) < n 1 → 0 ⟹ x n → x ∀ n ∈ N \forall n \in \mathbb{N} ∀ n ∈ N d ′ ( f ( x n ) , f ( x ) ) ≥ ε ⟹ f ( x n ) → f ( x ) d'(f(x_{n}),f(x))\geq\varepsilon\implies f(x_{n})\cancel{ \to } f(x) d ′ ( f ( x n ) , f ( x )) ≥ ε ⟹ f ( x n ) → f ( x )
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : e v 1 2 : ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ ) → ( R , ∣ ⋅ ∣ ) f ↦ f ( 1 2 ) \begin{array}{c}
ev_{ \frac{1}{2}}:(C[0,1],d_{\infty})&\to (\mathbb{R},|\cdot|) \\
f&\mapsto f\left( \frac{1}{2} \right)
\end{array} e v 2 1 : ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ ) f → ( R , ∣ ⋅ ∣ ) ↦ f ( 2 1 ) e v 1 2 ev_{ \frac{1}{2}} e v 2 1 f f f ∀ f ∈ C [ 0 , 1 ] \forall f \in C[0,1] ∀ f ∈ C [ 0 , 1 ]
Sea f ∈ C [ 0 , 1 ] f \in C[0,1] f ∈ C [ 0 , 1 ] ( f n ) n ∈ N ⊆ C [ 0 , 1 ] ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C[0,1] ( f n ) n ∈ N ⊆ C [ 0 , 1 ] f n → f f_{n}\to f f n → f e v 1 2 ( f n ) → e v 1 2 ( f ) ev_{ \frac{1}{2}}(f_{n})\to ev_{ \frac{1}{2}}(f) e v 2 1 ( f n ) → e v 2 1 ( f )
e v 1 2 ( f n ) = f n ( 1 2 ) e v 1 2 ( f ) = f ( 1 2 ) f n ( 1 2 ) → f ( 1 2 ) ⟺ ∣ f n ( 1 2 ) − f ( 1 2 ) ∣ → 0 \begin{array}{c}
ev_{ \frac{1}{2}}(f_{n})=f_{n}\left( \frac{1}{2} \right) \\
ev_{ \frac{1}{2}}(f)=f\left( \frac{1}{2} \right) \\
f_{n}\left( \frac{1}{2} \right)\to f\left( \frac{1}{2} \right)\iff \left|f_{n}\left( \frac{1}{2} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)\right|\to 0
\end{array} e v 2 1 ( f n ) = f n ( 2 1 ) e v 2 1 ( f ) = f ( 2 1 ) f n ( 2 1 ) → f ( 2 1 ) ⟺ f n ( 2 1 ) − f ( 2 1 ) → 0 f n → f f_{n}\to f f n → f ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ ) (C[0,1], d_{\infty}) ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ )
d ∞ ( f n , f ) = m a x ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ → 0 d_{\infty}(f_{n},f)=max\:\left| f_{n}(x)-f(x) \right| \to 0 d ∞ ( f n , f ) = ma x ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ → 0 Entonces
∣ f n ( 1 2 ) − f ( 1 2 ) ∣ ≤ s u p ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ → 0 \left| f_{n}\left( \frac{1}{2} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right) \right| \leq sup\:\left| f_{n}(x)-f(x) \right| \to 0 f n ( 2 1 ) − f ( 2 1 ) ≤ s u p ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ → 0 y listo.
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f : M → N es continua si es continua en x ∀ x ∈ M \begin{array}{l}
\text{$f:M\to N$ es continua si es continua en $x$ $\forall x \in M$ }
\end{array} f : M → N es continua si es continua en x ∀ x ∈ M Notación: A ⊆ N , f − 1 ( A ) = { x ∈ M ∣ f ( x ) ∈ A } A\subseteq N,f ^{-1}(A)=\{ x \in M\bigm|f(x)\in A \} A ⊆ N , f − 1 ( A ) = { x ∈ M f ( x ) ∈ A }
Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
f : M → N es continua ⟺ f − 1 ( A ) ⊆ M es abierto ∀ A ⊆ N abierto. \begin{array}{l}
\text{$f:M\to N$ es continua $\iff f ^{-1}(A)\subseteq M$ es abierto $\forall A \subseteq N$ abierto.}
\end{array} f : M → N es continua ⟺ f − 1 ( A ) ⊆ M es abierto ∀ A ⊆ N abierto. Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem: ⟹ ) \implies) ⟹ ) f − 1 ( A ) = ∅ ⟹ f ^{-1}(A)=\emptyset\implies f − 1 ( A ) = ∅ ⟹ f − 1 ( A ) ≠ ∅ . f ^{-1}(A)\neq \emptyset. f − 1 ( A ) = ∅. x ∈ f − 1 ( A ) x \in f ^{-1}(A) x ∈ f − 1 ( A ) ∃ r > 0 ∣ B ( x , r ) ⊆ f − 1 ( A ) \:\exists\: r> 0\bigm|B(x,r)\subseteq f^{-1}(A) ∃ r > 0 B ( x , r ) ⊆ f − 1 ( A ) A A A ∃ ε > 0 ∣ B ( f ( x ) , ε ) ⊆ A \:\exists\:\varepsilon>0\bigm|B(f(x),\varepsilon)\subseteq A ∃ ε > 0 B ( f ( x ) , ε ) ⊆ A f f f x , ∃ δ > 0 x, \:\exists\:\delta>0 x , ∃ δ > 0 f ( B ( x , δ ) ) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) ⊆ A f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\varepsilon)\subseteq A f ( B ( x , δ )) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) ⊆ A
B ( x , δ ) ⊆ f − 1 ( A ) B(x,\delta)\subseteq f ^{-1}(A) B ( x , δ ) ⊆ f − 1 ( A ) Usamos que : Sea y ∈ B ( x , δ ) ⟹ f ( y ) ∈ A ⟹ y ∈ f − 1 ( A ) y \in B(x,\delta)\implies f(y) \in A\implies y \in f ^{-1}(A) y ∈ B ( x , δ ) ⟹ f ( y ) ∈ A ⟹ y ∈ f − 1 ( A )
⟸ ) \impliedby) ⟸ ) x ∈ M x \in M x ∈ M ε > 0. \varepsilon>0. ε > 0.
∃ δ > 0 ∣ f ( B ( x , δ ) ) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) \:\exists\:\delta>0\bigm| f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\varepsilon) ∃ δ > 0 f ( B ( x , δ )) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) Como B ( f ( x ) , ε ) B(f(x),\varepsilon) B ( f ( x ) , ε ) ⟹ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε ) ) \implies f ^{-1}(B(f(x),\varepsilon)) ⟹ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε ))
∃ δ > 0 ∣ B ( x , δ ) ⊆ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε ) ) \:\exists\:\delta>0\bigm| B(x,\delta)\subseteq f ^{-1}(B(f(x),\varepsilon)) ∃ δ > 0 B ( x , δ ) ⊆ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε )) ⟹ f ( B ( x , δ ) ) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) \implies f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\varepsilon) ⟹ f ( B ( x , δ )) ⊆ B ( f ( x ) , ε ) Por lo tanto f f f
Usamos que y ∈ B ( x , δ ) ⟹ y ∈ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε ) ) ⟹ f ( y ) ∈ B ( f ( x ) , ε ) y \in B(x,\delta)\implies y \in f ^{-1}(B(f(x),\varepsilon))\implies f(y)\in B(f(x),\varepsilon) y ∈ B ( x , δ ) ⟹ y ∈ f − 1 ( B ( f ( x ) , ε )) ⟹ f ( y ) ∈ B ( f ( x ) , ε )
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Corolario : {\color{Red} \text{Corolario }:} Corolario :
f : M → N es continua ⟺ f − 1 ( F ) es cerrado ∀ F cerrado. \begin{array}{l}
\text{$f:M\to N$ es continua $\iff f ^{-1}(F)$ es cerrado $\forall F$ cerrado.}
\end{array} f : M → N es continua ⟺ f − 1 ( F ) es cerrado ∀ F cerrado. Dem : {\color{Red} \text{Dem}:} Dem : f − 1 ( F ) f ^{-1}(F) f − 1 ( F ) ⟺ f − 1 ( F ) c \iff f ^{-1}(F)^{c} ⟺ f − 1 ( F ) c f − 1 ( F ) c = f − 1 ( F c ) f ^{-1}(F)^{c}=f ^{-1}(F^{c}) f − 1 ( F ) c = f − 1 ( F c )
Tarea.
E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : G l 2 ( R ) = { A ∈ M 2 ( R ) : A i n v e r s i b l e } es abierto G\mathscr{l}_{2}(\mathbb{R})=\{ A \in M_{2}(\mathbb{R}):A\:inversible \}\text{ es abierto} G l 2 ( R ) = { A ∈ M 2 ( R ) : A in v er s ib l e } es abierto D e m : Dem: D e m : det : M 2 ( R ) → ( R , ∣ ⋅ ∣ ) \det:M_{2}(\mathbb{R})\to(\mathbb{R},|\cdot|) det : M 2 ( R ) → ( R , ∣ ⋅ ∣ ) det \det det
Sea la sucesión ( A n ) n ∈ N ⊆ M 2 ( R ) ∣ A n → A ⟹ m a x { ∣ a i , j n − a i , j ∣ } → 0 ( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M_{2}(\mathbb{R})\bigm|A^{n}\to A \implies max\{ |a_{i,j}^{n}-a_{i,j}| \}\to 0 ( A n ) n ∈ N ⊆ M 2 ( R ) A n → A ⟹ ma x { ∣ a i , j n − a i , j ∣ } → 0
⟹ a i , j n → a i , j \implies a_{i,j}^{n} \to a_{i,j} ⟹ a i , j n → a i , j det ( A n ) = a 1 , 1 n ⋅ a 2 , 2 n − a 2 , 1 n ⋅ a 1 , 2 n → a 1 , 1 ⋅ a 2 , 2 − a 2 , 1 ⋅ a 1 , 2 = det ( A ) \det(A^{n} )=a_{1,1}^{n} \cdot a_{2,2}^{n} -a_{2,1}^{n} \cdot a_{1,2}^{n} \to a_{1,1}\cdot a_{2,2}-a_{2,1}\cdot a_{1,2}=\det(A) det ( A n ) = a 1 , 1 n ⋅ a 2 , 2 n − a 2 , 1 n ⋅ a 1 , 2 n → a 1 , 1 ⋅ a 2 , 2 − a 2 , 1 ⋅ a 1 , 2 = det ( A ) Por lo tanto
G l 2 ( R ) = d e t − 1 ( R ∖ { 0 } ) es abierto. G\mathscr{l}_{2}(\mathbb{R})=det ^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{ 0 \})\text{ es abierto.} G l 2 ( R ) = d e t − 1 ( R ∖ { 0 }) es abierto. Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
f : M → N es continua ⟺ f ( E ‾ ) ⊆ f ( E ) ‾ ∀ E ⊆ M \begin{array}{l}
\text{$f:M\to N$ es continua $\iff f(\overline{E})\subseteq \overline{f(E)}\quad\forall E\subseteq M$}
\end{array} f : M → N es continua ⟺ f ( E ) ⊆ f ( E ) ∀ E ⊆ M Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem: ⟹ ) \implies) ⟹ ) f f f E ⊆ M . E\subseteq M. E ⊆ M . x ∈ E ‾ x \in \overline{E} x ∈ E f ( x ) ∈ f ( E ) ‾ f(x) \in \overline{f(E)} f ( x ) ∈ f ( E )
∃ ( x n ) n ∈ N ⊆ E ∣ x n → x \:\exists\:( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq E\bigm| x_{n}\to x ∃ ( x n ) n ∈ N ⊆ E x n → x Como f f f x ⟹ f ( x n ) → f ( x ) x\implies f(x_{n})\to f(x) x ⟹ f ( x n ) → f ( x )
( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ f ( E ) ⟹ f ( x ) ∈ f ( E ) ‾ ( f(x_{n}) )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq f(E)\implies f(x)\in \overline{f(E)} ( f ( x n ) ) n ∈ N ⊆ f ( E ) ⟹ f ( x ) ∈ f ( E ) ⟸ ) \impliedby) ⟸ )
f ( E ‾ ) ⊆ f ( E ) ‾ ∀ E ⊆ M f(\overline{E})\subseteq \overline{f(E)}\quad \forall E\subseteq M f ( E ) ⊆ f ( E ) ∀ E ⊆ M Sea F ⊆ N F\subseteq N F ⊆ N f − 1 ( F ) f ^{-1}(F) f − 1 ( F ) f − 1 ( F ) ‾ ⊆ f − 1 ( F ) \overline{f ^{-1}(F)}\subseteq f ^{-1}(F) f − 1 ( F ) ⊆ f − 1 ( F )
Vamos a usar esto: para toda función f f f F ⊆ N F\subseteq N F ⊆ N f ( f − 1 ( F ) ) ⊆ F f(f ^{-1}(F))\subseteq F f ( f − 1 ( F )) ⊆ F f − 1 ( F ) f ^{-1}(F) f − 1 ( F )
Sea E = f − 1 ( F ) E= f ^{-1}(F) E = f − 1 ( F )
Esto es engorroso pero vamos por partes:
Por un lado tengo por hipótesis:
f ( E ‾ ) ⊆ f ( E ) ‾ (1) f(\overline{E})\subseteq \overline{f(E)}\tag{1} f ( E ) ⊆ f ( E ) ( 1 ) pues E ⊆ M E\subseteq M E ⊆ M E = f − 1 ( F ) ⟹ f ( E ) = f ( f − 1 ( F ) ) ⊆ F E=f ^{-1}(F)\implies f(E)=f(f ^{-1}(F))\subseteq F E = f − 1 ( F ) ⟹ f ( E ) = f ( f − 1 ( F )) ⊆ F
Y además F F F A ⊆ B , A\subseteq B, A ⊆ B , B B B ⟹ A ‾ ⊆ B \implies \overline{A}\subseteq B ⟹ A ⊆ B
f ( E ) ‾ ⊆ F ‾ = F (2) \overline{f(E)}\subseteq \overline{F}=F\tag{2} f ( E ) ⊆ F = F ( 2 )
Juntando (1) y (2) y por transitividad de la inclusión me queda
f ( E ‾ ) ⊆ F f ( f − 1 ( F ) ‾ ) ⊆ F (3) \begin{array}{c}
f(\overline{E})\subseteq F \\
f(\overline{f ^{-1}(F)})\subseteq F\tag{3}
\end{array} f ( E ) ⊆ F f ( f − 1 ( F ) ) ⊆ F ( 3 )
Usamos la siguiente propiedad a (3)
Si f ( A ) ⊆ B ⟹ A ⊆ f − 1 ( B ) \text{Si $f(A)\subseteq B\implies A\subseteq f ^{-1}(B)$} Si f ( A ) ⊆ B ⟹ A ⊆ f − 1 ( B ) quedando que:
f − 1 ( F ) ‾ ⊆ f − 1 ( F ) \overline{f ^{-1}(F)}\subseteq f ^{-1}(F) f − 1 ( F ) ⊆ f − 1 ( F ) Que es lo que quería demostrar.
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Citas y Comentarios