#11Continuidad

2025 - Teórica 11 - Continuidad II

8 min de lectura

Tue-06-05-2025 18:10 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Continuidad

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

f:(M,d)→(N,d′). Decimos que f es uniformemente continua si ∀E>0 ∃ δ>0∣ si d(x,y)<δ  ⟹  d′(f(x),f(y))<E ∀x,y∈M\begin{array}{l} \text{$f:(M,d)\to(N,d')$. Decimos que $f$ es uniformemente continua si }\\ \text{$\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:\delta>0\bigm|$ si $d(x,y)<\delta\implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E}$ }\quad \forall x,y \in M \end{array}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

f:M→N es uniformemente continua si y solo si ∀(xn)n∈N,(yn)n∈N⊆M tal que d(xn,yn)⟶0  ⟹  d′(f(xn),f(yn))⟶0 \begin{array}{l} \text{$f:M\to N$ es uniformemente continua si y solo si $\forall ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M$ }\\ \text{tal que $d(x_{n},y_{n})\longrightarrow 0\implies d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\longrightarrow 0$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }   ⟹  )\implies) ff es uniformemente continua. Sean (xn)n∈N,(yn)n∈N⊆M∣d(xn,yn)⟶0( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M\bigm|d(x_{n},y_{n})\longrightarrow 0 Quiero ver que d′(f(xn),f(yn))⟶0d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\longrightarrow 0 Sea E>0\mathcal{E}>0 y sea δ>0\delta>0 el de la continuidad uniforme. Sea n0∈Nn_{0} \in \mathbb{N} tal que si n≥n0,d(xn,yn)<δn\geq n_{0},d(x_{n},y_{n})<\delta
Como ff es unif. cont. entonces d′(f(xn),f(yn))<Ed'(f(x_{n}),f(y_{n}))<\mathcal{E}

  ⟸  )\impliedby) Supongo que ff no es unif. continua. Entonces  ∃ E>0∣∀δ>0 ∃ x,y:d(x,y)<δ\:\exists\:\mathcal{E}>0\bigm|\forall\delta>0\quad\:\exists\:x,y:d(x,y)<\delta y d′(f(x),f(y))≥Ed'(f(x),f(y))\geq\mathcal{E}

Tomo δ=1n\delta= \frac{1}{n} y construyo (xn),(yn)⊆M(x_{n}),(y_{n})\subseteq M

d(xn,yn)<1n⟶0 y d′(f(xn),f(yn))≥Ed(x_{n},y_{n})< \frac{1}{n}\longrightarrow 0\text{ y }\quad d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \mathcal{E}

absurdo.

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

f:M→N decimos que es Lipschitz si  ∃ C>0∣ d′(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y)∀x,y∈M \begin{array}{l} \text{$f:M\to N$ decimos que es Lipschitz si $\:\exists\:C>0\bigm|$ }\\ \text{$d'(f(x),f(y))\leq C\cdot d(x,y)\quad\forall x,y \in M$ } \end{array}

Obs:Obs:

Si f:M→N es Lipschitz entonces es uniformemente continua.\text{Si $f:M\to N$ es Lipschitz entonces es uniformemente continua.}

Como ff es Lipschitz entonces d′(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y)<Ed'(f(x),f(y))\leq C\cdot d(x,y)<\mathcal{E}. Elijo δ=EC\delta=\frac{\mathcal{E}}{C} y listo

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Sea X⊆M un subconjunto denso (X‾=M),(N,d′) un espacio meˊtrico completo. Sea f:X→N uniformemente continua.Entonces  ∃ f~:M→N∣f~∣X=f y f~ es uniformemente continua. \begin{array}{l} \text{Sea $X \subseteq M$ un subconjunto denso $(\overline{X}=M),(N,d')$ un espacio métrico completo. }\\ \text{Sea $f:X\to N$ uniformemente continua.}\\ \text{Entonces $\:\exists\: \tilde{f}:M\to N\bigm| \tilde{f}|_{_{X}}=f$ y $\tilde{f}$ es uniformemente continua. } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Una funcioˊn f:M→N se dice un homeomorfismo si f es continua, biyectiva y f−1 es continua.Si  ∃ f:M→N homeomorfismo decimos que M y N son homeomorfismos.\begin{array}{l} \text{Una función $f:M\to N$ se dice un homeomorfismo}\\ \text{ si $f$ es continua, biyectiva y $f ^{-1}$ es continua.}\\ \text{Si $\:\exists\:f:M\to N$ homeomorfismo decimos que $M$ y $N$ son homeomorfismos.} \end{array}

Obs:Obs:

f:M→N homeo   ⟹   tengo una correspondencia entre los abiertos de M y de N.\text{$f:M\to N$ homeo $\implies$ tengo una correspondencia entre los abiertos de $M$ y de $N$.}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

f:M→N es una isometrıˊa si d(x,y)=d′(f(x),f(y))∀x,y∈M \begin{array}{l} \text{$f:M\to N$ es una isometría si }\\ \text{$d(x,y)=d'(f(x),f(y))\quad\forall x,y \in M$ } \end{array}

Obs:Obs: Si ff es una isometría entonces ff es Lipschitz (Y por lo tanto es uniformemente continua) Si además ff es biyectiva entonces ff es homeomorfismo

Citas y Comentarios

Fue virtual por paro de bondis, está grabada la clase. Falta completar ejemplos y demos.

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