Tue-01-10-2024 09:38
profe: Nicolás Sirolli
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tags: Continuidad
Sea f : ( E , d ) → ( E ′ , d ′ ) \text{Sea $f:(E,d)\to(E',d')$} Sea f : ( E , d ) → ( E ′ , d ′ ) Recordar: dado x ∈ E , f x \in E,f x ∈ E , f x x x
( ∀ E > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ y ∈ E ) d ( y , x ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) < E (\forall \mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)(\forall y \in E)\quad d(y,x)<\delta \implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E} ( ∀ E > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ y ∈ E ) d ( y , x ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) < E Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f es uniformemente continua si \begin{array}{l}
\text{$f$ es uniformemente continua si}
\end{array} f es uniformemente continua si ( ∀ E > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ E ) ( ∀ y ∈ E ′ ) d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) < E (\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)(\forall x \in E)(\forall y \in E')\quad d(x,y)<\delta \implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E} ( ∀ E > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ E ) ( ∀ y ∈ E ′ ) d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) < E O b s : Obs: O b s :
Uniformemente continua ⟹ continua. \text{Uniformemente continua $\implies$ continua.} Uniformemente continua ⟹ continua. O b s : Obs: O b s :
f no es uniformemente continua \text{$f$ no es uniformemente continua } f no es uniformemente continua ⟺ ( ∃ E > 0 ) ( ∀ δ > 0 ) ( ∃ x ∈ E ) ( ∃ y ∈ E ′ ) d ( x , y ) < δ ∧ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≥ E \iff(\:\exists\:\mathcal{E}>0)(\forall\delta>0)(\:\exists\:x \in E)(\:\exists\:y \in E')\quad d(x,y)<\delta \land d'(f(x),f(y))\geq\mathcal{E} ⟺ ( ∃ E > 0 ) ( ∀ δ > 0 ) ( ∃ x ∈ E ) ( ∃ y ∈ E ′ ) d ( x , y ) < δ ∧ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) ≥ E ⟺ ( δ = 1 n , n ∈ N ) ( ∃ E > 0 ) ( ∃ ( x n ) , ( y n ) ⊆ E ) d ( x n , y n ) → 0 \iff\left( \delta= \frac{1}{n},n \in \mathbb{N} \right)(\:\exists\:\mathcal{E}>0)(\:\exists\:(x_{n}),(y_{n})\subseteq E)\quad d(x_{n},y_{n})\to 0 ⟺ ( δ = n 1 , n ∈ N ) ( ∃ E > 0 ) ( ∃ ( x n ) , ( y n ) ⊆ E ) d ( x n , y n ) → 0 d ′ ( f ( x n ) , f ( y n ) ) ≥ E d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq\mathcal{E} d ′ ( f ( x n ) , f ( y n )) ≥ E
E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : f : R → R , f ( x ) = x 2 f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^{2} f : R → R , f ( x ) = x 2 Vimos: dado x ∈ R , E > 0 x \in \mathbb{R},\mathcal{E}>0 x ∈ R , E > 0 ∣ x − y ∣ < m i n { 1 , E 1 + 2 ∣ x ∣ } = δ ⟹ ∣ x 2 − y 2 ∣ < E |x-y|<min\left\{ 1, \frac{\mathcal{E}}{1+2|x|} \right\}=\delta \implies |x^{2}-y^{2}|<\mathcal{E} ∣ x − y ∣ < min { 1 , 1 + 2∣ x ∣ E } = δ ⟹ ∣ x 2 − y 2 ∣ < E
Afirmo: f f f D e m : Dem: D e m : ∣ x n 2 − y n 2 ∣ = ∣ x n − y n ∣ . ∣ x n + y n ∣ |x_{n}^{2}-y_{n}^{2}|=|x_{n}-y_{n}|.|x_{n}+y_{n}| ∣ x n 2 − y n 2 ∣ = ∣ x n − y n ∣.∣ x n + y n ∣ x n = n , y n = n + 1 n x_{n}=n,y_{n}=n+ \frac{1}{n} x n = n , y n = n + n 1 ∣ x n − y n ∣ = 1 n → 0 |x_{n}-y_{n}|= \frac{1}{n}\to 0 ∣ x n − y n ∣ = n 1 → 0
∣ x n 2 − y n 2 ∣ = 1 n ( 2 n + 1 n ) = 2 + 1 n 2 ≥ 2 ∀ n ∈ N |x_{n}^{2}-y_{n}^{2}|= \frac{1}{n} \left( 2n+ \frac{1}{n} \right)=2+ \frac{1}{n^{2}}\geq 2\quad \forall n \in \mathbb{N} ∣ x n 2 − y n 2 ∣ = n 1 ( 2 n + n 1 ) = 2 + n 2 1 ≥ 2 ∀ n ∈ N □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □
La idea fue que partimos de d ′ ( f ( x n ) , f ( y n ) ) d'(f(x_{n}),f(y_{n})) d ′ ( f ( x n ) , f ( y n )) x n x_{n} x n y n y_{n} y n E = 2 \mathcal{E}=2 E = 2
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f es de tipo Lipschitz si \begin{array}{l}
\text{$f$ es de tipo Lipschitz si}
\end{array} f es de tipo Lipschitz si ( ∃ C > 0 ) ( ∀ x , y ∈ E ) d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ C . d ( x , y ) (\:\exists\:C>0)(\forall x,y \in E)\quad d'(f(x),f(y))\leq C.d(x,y) ( ∃ C > 0 ) ( ∀ x , y ∈ E ) d ′ ( f ( x ) , f ( y )) ≤ C . d ( x , y ) Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Lipchitz ⟹ uniformemente continua \begin{array}{l}
\text{Lipchitz $\implies$ uniformemente continua}
\end{array} Lipchitz ⟹ uniformemente continua Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 δ = E C \delta=\frac{\mathcal{E}}{C} δ = C E d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) < E d(x,y)<\delta \implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E} d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) < E
E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : f : ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ ) → ( R , d 2 ) , f ( ϕ ) = ϕ ( 1 2 ) f:(C[0,1],d_{\infty})\to(\mathbb{R},d_{2}),f(\phi)=\phi\left( \frac{1}{2} \right) f : ( C [ 0 , 1 ] , d ∞ ) → ( R , d 2 ) , f ( ϕ ) = ϕ ( 2 1 ) ∣ f ( ϕ ) − f ( γ ) ∣ = d 2 ( f ( ϕ ) , f ( γ ) ) ≤ m a x x ∈ [ 0 , 1 ] { ∣ ϕ ( x ) − γ ( x ) ∣ } = d ∞ ( ϕ , γ ) |f(\phi)-f(\gamma)|=d_{2}(f(\phi),f(\gamma))\leq max_{x \in[0,1]}\{ |\phi(x)-\gamma(x)| \}=d_{\infty}(\phi,\gamma) ∣ f ( ϕ ) − f ( γ ) ∣ = d 2 ( f ( ϕ ) , f ( γ )) ≤ ma x x ∈ [ 0 , 1 ] { ∣ ϕ ( x ) − γ ( x ) ∣ } = d ∞ ( ϕ , γ ) C = 1 C=1 C = 1
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f : [ a , b ] → R c o n t i n u a f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad continua f : [ a , b ] → R co n t in u a Supongo f f f ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ( ∃ C > 0 ) ∣ f ′ ( c ) ∣ ≤ C ∀ c ∈ ( a , b ) (\:\exists\:C>0)|f'(c)|\leq C\quad\forall c\in (a,b) ( ∃ C > 0 ) ∣ f ′ ( c ) ∣ ≤ C ∀ c ∈ ( a , b ) f f f [ a , b ] , [a,b], [ a , b ] , C C C
Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Usamos teorema del valor medio.
∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ = ∣ f ′ ( c ) ∣ . ∣ x − y ∣ ∣ f ′ ( c ) ∣ ≤ C \begin{array}{c}
|f(x)-f(y)|= |f'(c)|.|x-y| \\
|f'(c)|\leq C
\end{array} ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ = ∣ f ′ ( c ) ∣.∣ x − y ∣ ∣ f ′ ( c ) ∣ ≤ C O b s : Obs: O b s : f ∈ C − 1 ( [ a , b ] ) , f \in C^{-1}([a,b]), f ∈ C − 1 ([ a , b ]) ,
Ej:
f : [ − M , M ] → R ∣ f ( x ) = x 2 ∀ M > 0 f:[-M,M]\to \mathbb{R}|f(x)=x^{2}\quad\forall M>0 f : [ − M , M ] → R ∣ f ( x ) = x 2 ∀ M > 0
Ej. :
f : R → R , f ( x ) = arctan ( x ) f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\arctan(x) f : R → R , f ( x ) = arctan ( x ) ∣ f ′ ( c ) ∣ = ∣ 1 1 + C 2 ∣ ≤ 1 |f'(c)|=| \frac{1}{1+C^{2}}|\leq1 ∣ f ′ ( c ) ∣ = ∣ 1 + C 2 1 ∣ ≤ 1
Ej.:
f : [ 0 , 1 ] → R ∣ f ( x ) = x f:[0,1]\to \mathbb{R}\:|\:f(x)=\sqrt{ x } f : [ 0 , 1 ] → R ∣ f ( x ) = x f ′ ( x ) = 1 2 x f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{ x }} f ′ ( x ) = 2 x 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ∣ f ( x ) − f ( 0 ) ∣ ∣ x − y ∣ \frac{|f(x)-f(0)|}{|x-y|} ∣ x − y ∣ ∣ f ( x ) − f ( 0 ) ∣ x , y ∈ [ 0 , 1 ] , x ≠ y x,y \in[0,1],x\neq y x , y ∈ [ 0 , 1 ] , x = y
∣ f ( 1 n ) − f ( 0 ) ∣ ∣ 1 n − 0 ∣ = n n → + ∞ \frac{|f\left( \frac{1}{n}\right)-f(0) |}{| \frac{1}{n}-0|}= \frac{n}{\sqrt{ n }}\to +\infty ∣ n 1 − 0∣ ∣ f ( n 1 ) − f ( 0 ) ∣ = n n → + ∞
Ej:
f ( x ) = s e n ( 1 x ) , x ∈ ( 0 , 1 ) f(x)=sen\left( \frac{1}{x} \right),x \in(0,1) f ( x ) = se n ( x 1 ) , x ∈ ( 0 , 1 )
Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
Sea D ⊆ E denso y E ′ completo, sea f : D → E ′ uniformemente continua. Entonces ∃ ! F : E → E ′ continua con F ∣ D = f , ( F ( x ) = f ( x ) , x ∈ D ) \begin{array}{l}
\text{Sea $D\subseteq E$ denso y $E'$ completo, sea $f:D\to E'$ uniformemente continua. }\\
\text{Entonces $\:\exists\:!F:E\to E'$ continua con $F|_{D}=f$\quad \quad , ($F(x)=f(x),x \in D$)}
\end{array} Sea D ⊆ E denso y E ′ completo, sea f : D → E ′ uniformemente continua. Entonces ∃ ! F : E → E ′ continua con F ∣ D = f , ( F ( x ) = f ( x ) , x ∈ D )
Las podes extender ...
Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem:
Dado x ∈ E , x \in E, x ∈ E , ( x n ) ⊆ D (x_{n})\subseteq D ( x n ) ⊆ D x n → x . x_{n}\to x. x n → x .
F ( lim n → ∞ x n ) = F ( x ) = lim n → ∞ f ( x n ) p u e s x n ∈ D F(\lim_{ n \to \infty } x_{n})=F(x)=\lim_{ n \to \infty } f(x_{n}) \quad pues\:x_{n} \in D F ( n → ∞ lim x n ) = F ( x ) = n → ∞ lim f ( x n ) p u es x n ∈ D ¿Por qué existe lim n → ∞ f ( x ) \lim_{ n \to \infty }f(x) lim n → ∞ f ( x )
( f ( x n ) ) ⊆ E ′ es de Cauchy (f(x_{n}))\subseteq E' \text{ es de Cauchy} ( f ( x n )) ⊆ E ′ es de Cauchy Lo anterior es un ejercicio de la guía 4(el 15), manda sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy
y E ′ E' E ′
Falta ver que es única:
Para una buena definición de f f f ( y n ) ⊆ D (y_n)\subseteq D ( y n ) ⊆ D y n → x y_{n}\to x y n → x
k = lim n → ∞ f ( y n ) = lim n → ∞ f ( x n ) = l k=\lim_{ n \to \infty } f(y_{n})=\lim_{ n \to \infty } f(x_{n})=l k = n → ∞ lim f ( y n ) = n → ∞ lim f ( x n ) = l d ′ ( l , k ) ≤ d ′ ( l , f ( x n ) ) + d ′ ( f ( x n ) , f ( y n ) ) + d ′ ( f ( y n ) , k ) < E , s i n ≫ 0 \begin{array}{c}
d'(l,k)\leq d'(l,f(x_{n}))+d'(f(x_{n}),f(y_{n}))+d'(f(y_{n}),k)<\mathcal{E},si\:n\gg0
\end{array} d ′ ( l , k ) ≤ d ′ ( l , f ( x n )) + d ′ ( f ( x n ) , f ( y n )) + d ′ ( f ( y n ) , k ) < E , s i n ≫ 0 --> 15:52
d ′ ( l , f ( x n ) ) < E 3 , d'(l,f(x_{n}))< \frac{\mathcal{E}}{3}, d ′ ( l , f ( x n )) < 3 E , f ( x n ) → l f(x_{n})\to l f ( x n ) → l d ′ ( f ( y n ) , k ) < E 3 d'(f(y_{n}),k)< \frac{\mathcal{E}}{3} d ′ ( f ( y n ) , k ) < 3 E f ( y n ) → k f(y_{n})\to k f ( y n ) → k d ′ ( f ( x n ) , f ( y n ) ) < E 3 d'(f(x_{n}),f(y_{n}))< \frac{\mathcal{E}}{3} d ′ ( f ( x n ) , f ( y n )) < 3 E d ( x n , y n ) → 0 d(x_{n},y_{n})\to0 d ( x n , y n ) → 0 f f f F ∣ D = f : F|_{D}=f: F ∣ D = f : x ∈ D , x \in D, x ∈ D , x n = x ∀ n x_{n}=x\quad\forall n x n = x ∀ n
F ( x ) = lim n → ∞ f ( x ) = f ( x ) F(x)=\lim_{ n \to \infty } f(x)=f(x) F ( x ) = n → ∞ lim f ( x ) = f ( x )
hay muchas formas de ver que una función es continua: -->25:00
Quiero ver que si x n → x x_{n}\to x x n → x F ( x ) = lim n → ∞ F ( x n ) F(x)=\lim_{ n \to \infty }F(x_{n}) F ( x ) = lim n → ∞ F ( x n ) ( y n ) ⊆ D , d ( x n , y n ) < 1 n (y_{n})\subseteq D,d(x_{n},y_{n})< \frac{1}{n} ( y n ) ⊆ D , d ( x n , y n ) < n 1
Homeomorfismos
Sean E , E ′ E,E' E , E ′
f : E → E ′ f:E\to E' f : E → E ′ f f f f − 1 f^{-1} f − 1 E , E ′ E,E' E , E ′ E ∼ E ′ E\sim E' E ∼ E ′ ∃ f : E → E ′ \:\exists\:f:E\to E' ∃ f : E → E ′
E j e m p l o s Ejemplos E j e m pl os
R ∼ ( − 1 , 1 ) : \mathbb{R}\sim(-1,1): R ∼ ( − 1 , 1 ) :
f : R → ( − 1 , 1 ) ∣ f ( x ) = x 1 + ∣ x ∣ f:\mathbb{R}\to(-1,1)\:|\:f(x)= \frac{x}{1+|x|} f : R → ( − 1 , 1 ) ∣ f ( x ) = 1 + ∣ x ∣ x f − 1 ( y ) = y 1 − ∣ y ∣ f^{-1}(y)= \frac{y}{1-|y|} f − 1 ( y ) = 1 − ∣ y ∣ y
f : ( R , δ ) → ( R , d 2 ) ∣ f ( x ) = x f:(\mathbb{R},\delta)\to(\mathbb{R},d_{2})\:|\:f(x)=x f : ( R , δ ) → ( R , d 2 ) ∣ f ( x ) = x f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) ∀ V ⊆ R \forall V\subseteq \mathbb{R} ∀ V ⊆ R
La preimagen de un abierto es abierto.
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f : E → E ′ es abierta si f ( U ) ⊆ E ′ es abierto ∀ U ⊆ E abierto. \begin{array}{l}
\text{$f:E\to E'$ es abierta si $f(U)\subseteq E'$ es abierto $\forall U\subseteq E$ abierto.}
\end{array} f : E → E ′ es abierta si f ( U ) ⊆ E ′ es abierto ∀ U ⊆ E abierto. Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sea f : E → E ′ biyectiva. 1. f es continua ⟺ f − 1 abierta. 2. f − 1 es continua ⟺ f abierta. \begin{array}{l}
\text{Sea $f:E\to E'$ biyectiva.}\\
1.\text{ $f$ es continua $\iff f^{-1}$ abierta.}\\
2.\text{ $f^{-1}$ es continua $\iff f$ abierta. }
\end{array} Sea f : E → E ′ biyectiva. 1. f es continua ⟺ f − 1 abierta. 2. f − 1 es continua ⟺ f abierta. Volviendo al ejemplo 2:
-->42:20
f f f f ( [ 0 , 1 ) ) = [ 0 , 1 ) f([0,1))=[0,1) f ([ 0 , 1 )) = [ 0 , 1 ) R , δ \mathbb{R},\delta R , δ ( R , d 2 ) (\mathbb{R},d_{2}) ( R , d 2 )
( R , δ ) ≁ ( R , d 2 ) (\mathbb{R},\delta)\not\sim(\mathbb{R},d_{2}) ( R , δ ) ∼ ( R , d 2 )
Puede que entre en un final.
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f : E → E ′ es una isometr ı ˊ a si d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x , y ) ∀ x , y ∈ E \begin{array}{l}
\text{$f:E\to E'$ es una isometría si}\\
d'(f(x),f(y))=d(x,y)\quad\forall x,y \in E
\end{array} f : E → E ′ es una isometr ı ˊ a si d ′ ( f ( x ) , f ( y )) = d ( x , y ) ∀ x , y ∈ E E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os : En R 2 \mathbb{R}^{2} R 2
Rotaciones
Traslaciones
simetrías
O b s : Obs: O b s :
isometr ı ˊ a ⟹ i n y e c t i v a isometr ı ˊ a ⟹ Lipchitz con C = 1 \begin{array}{c}
\text{isometría $\implies inyectiva$} \\
\text{isometría $\implies$ Lipchitz con $C=1$ }
\end{array} isometr ı ˊ a ⟹ in y ec t i v a isometr ı ˊ a ⟹ Lipchitz con C = 1 Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f isom e ˊ trica y sobreyectiva ⟹ f homeomorfismo. \begin{array}{l}
\text{$f$ isométrica y sobreyectiva $\implies f$ homeomorfismo.}
\end{array} f isom e ˊ trica y sobreyectiva ⟹ f homeomorfismo. Más aún, f − 1 f^{-1} f − 1
Citas y Comentarios
Próxima clase vemos compacidad. Leer LL 8-2