Avanzado-Práctica 11 - Continuidad

Tue-01-10-2024 11:26 profe: Mauro status: tags: Continuidad

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Ejercicio 1

Consideremos el espacio métrico $(X,d_{1})$ con $X = C([0,1])$, y $x_{0}\in[0,1]$. Decidir si $\mathcal{E}:X\to \mathbb{R}\:|\:(f\mapsto f(x_{0}))$ es continua .En caso de serlo, demostrarlo. En caso de no serlo, dar un ejemplo.

En $d_{\infty}$ resulta continua, veremos que en $d_{1}$ no lo es.

$Dem:$ Fijemos $x_{0},$ para ver que no es continua basta encontrar un $g$ tq $\mathcal{E}$ no es continua.

$$\begin{array}{c} h:[0,1]\to[0,1] \\ r\mapsto \begin{cases} o & si\:r\in \mathbb{Q} \\ 1 & cc \end{cases} \end{array}$$

Recordar y practicar de memoria: Que $\mathcal{E}$ sea continua en $f$ significa que dado $\mathcal{T}>0$, $\:\exists\:\delta>0\:|\:$ si $d_{1}(f,g)<\delta \implies |\mathcal{E}(f)-\mathcal{E}(g)|<\mathcal{T}$

Queremos negar la continuidad:

$$\delta>0:g \in X\:|\: d_{1}(f,g)<\delta\land |\mathcal{E}(f)-\mathcal{E}(g)|\geq 1$$

fijemos $\delta>0$,

$$\begin{array}{c} g:[0,1]\to \mathbb{R}\:|\: \\ g(x)= \begin{cases} f(x)+2+2 \frac{3}{\delta}(x-x_{0}) & x_{0}- \frac{\delta}{3}\leq x< x_{0} \\ f(x_{0})+2 & x=x_{0} \\ f(x)+2-2 \frac{3}{\delta}(x-x_{0}) & x_{0}< x\leq x_{0} + \frac{\delta}{3} \\ f(x) & cc \end{cases}\\ \end{array}$$

-->23:00

Notemos que es continua a trozos y que se pega bien. Con lo cual $g \in X$

Siempre chequear que el elemento que creo esté en el espacio correspondiente.

$$\begin{array}{c} \\ d_{1}(f,g)=\int_{0}^1 |f(x)-g(x)| \, dx =\int_{[0,1]\cap\left[ x_{0}- \frac{\delta}{3},x_{0} \right]} |f(x)-\left( f(x)+2+2. \frac{3}{\delta}(x-x_{0}) \right)| .dx+\dots\\ \dots+\int_{[0,1]\cap\left[ x_{0}- \frac{\delta}{3},x_{0} \right]} |2-2. \frac{3}{\delta}(x-x_{0}) )| \\ \leq \int_{x_{0}- \frac{\delta}{3}}^{x_{0}} 2+2. \frac{3}{\delta}.(x-x_{0}) \, dx +\int_{x_{0}}^{x_{0}+ \frac{\delta}{3}} 2-2. \frac{3}{\delta}.(x-x_{0}) \, dx \\ =2x+ \frac{3}{\delta}(x-x_{0})^{2}|_{x_{0}- \frac{\delta}{3}}^{x_{0}}+ 2x- \frac{3}{\delta}(x-x_{0})^{2}|_{x_{0}}^{x_{0}+ \frac{\delta}{3}}=\frac{2.\delta}{3}<\delta \end{array}$$ $$\therefore\: d_{1}(f,g)<\delta$$

En la integral pude sacar el modulo pues $2+2. \frac{3}{\delta}.(x-x_{0})$ es no negativo en el intervalo tomado.

Pero $|\mathcal{E}(f)-\mathcal{E}(g)|=2\geq1$ como queríamos.

-->51:30 explicación del triángulo de areas.

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Ejercicio 2

Con una $f$ así probar:

1. Si $x \in X$ es punto aislado entonces $f$ es continua en $x$.
2. Si $f(x)\in Y$ es punto aislado entonces es continua en $x \iff f$ es constante en un entorno de $x$.

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Retomemos los ejercicios que quedaron pendientes:

1. Si $x \in X$ es punto aislado entonces $f$ es continua en $x$

Sea $\mathcal{E}>0$. $\:\exists\:r>0\:|\:B(x,r)\bigcap X=\{ x \}$. Pues $x$ es punto aislado. Tomo $\delta=r$. Luego para todo $y \in B(x,\delta)\implies d(f(x),f(y))=0<\mathcal{E}$

Un video de la teo pandemia también tiene la reso de este ejercicio

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2. Si $f(x)\in Y$ es punto aislado entonces : $f$ es continua en $x \iff f$ es constante en un entorno de $x$.

$\Rightarrow)$ Sea $f(x)$ punto aislado, tengo que

$$\:\exists\:r>0\:|\: B(f(x),r)\bigcap Y=\{ f(x) \}$$

Además, como $f$ continua en $x$:

$$\forall \mathcal{E}>0,\:\exists\:\delta>0\:|\: f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\mathcal{E})$$

Para $\mathcal{E}=r$, debe existir un tal $\delta$ tal que

$$f(B(x,\delta))\subseteq \{ f(x) \}$$

$\forall x'\in B(x,\delta)$ debe ser que $f(x)=f(x')$ $\implies f$ es constante en un entorno de $x$.

$\Leftarrow)$ $f$ es constante en un entorno de $x \implies \:\exists\:\delta\:|\:\forall x'\in B(x,\delta):f(x')=f(x) \implies f(B(x,\delta))=\{ f(x) \}$ Luego $\forall\mathcal{E}\quad f(x)\in B(f(x),\mathcal{E})\implies \:\exists\:\delta>0\:|\: f(B(x,\delta))=\{ f(x) \}\subseteq B(f(x),\mathcal{E})\implies f$ continua en $x$.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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