Sucesiones y Series de funciones

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Teórica 17

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Sean X conjunto, (Y,d) espacio meˊtrico, f∈YX (fn)⊆YX:- (fn) converge puntualmente a f si ∀x∈X,∀E>0, ∃ n0:d(fn(x),f(x))<E∀n≥n0Es decir, fn→f en (Y,d)- (fn) converge uniformemente a f si:(∀E>0)( ∃ n0∈N) ∣ d(fn(x),f(x))<E∀n≥n0,∀x∈X\begin{array}{l} \text{Sean $X$ conjunto, $(Y,d)$ espacio métrico, $f\in Y^{X}$ $(f_{n})\subseteq Y^{X}$:}\\\\ \text{- $(f_{n})$ converge puntualmente a $f$ si $\forall x \in X,\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:n_{0}:$}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad d(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0}\\ \text{Es decir, $f_{n}\to f$ en $(Y,d)$} \\\\ \text{- $(f_{n})$ converge uniformemente a $f$ si:}\\ (\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:|\: \quad d(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0},\forall x \in X \end{array}

Not. :{\color{Cyan} \text{Not. :} }

fn⇉f en X\begin{array}{l} \text{$f_{n}\rightrightarrows f$ en $X$} \end{array}

Obs 1:Obs\:1: Converge uniformemente   ⟹  \implies Converge puntualmente

Obs 2:Obs\:2:

fn⇉̸f en X  ⟺  ( ∃ E>0)(∀n0∈N)( ∃ n≥n0)( ∃ x∈X)d(fn(x),f(x))≥Ef_{n} \not\rightrightarrows f\:en\:X\iff(\:\exists\:\mathcal{E}>0)(\forall n_{0}\in \mathbb{N})(\:\exists\:n\geq n_{0})(\:\exists\:x \in X)\quad d(f_{n} (x),f(x))\geq \mathcal{E}   ⟺  ( ∃ E>0) ∃ (fnk),(xk) con d(fnk(xk),f(xk))≥E\iff(\:\exists\:\mathcal{E}>0)\:\exists\:(f_{n_{k}} ),(x_{k})\:con\:d(f_{n_{k}}(x_{k}),f(x_{k}) )\geq \mathcal{E}

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

X,Y espacios meˊtricos. (fn)⊆YX con fn⇉f∈YXSi fn es (unif. ) continua ∀n  ⟹   f es (unif. ) continua. \begin{array}{l} \text{$X,Y$ espacios métricos. $(f_{n})\subseteq Y{^X}$ con $f_{n}\rightrightarrows f\in Y{^X}$}\\ \text{Si $f_{n}$ es (unif. ) continua $\forall n\implies$ $f$ es (unif. ) continua. } \end{array}

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} }

(fn)⊆C([a,b]),fn⇉f. Entonces:\begin{array}{c} \text{$(f_{n})\subseteq C([a,b]),f_{n}\rightrightarrows f$. Entonces:} \end{array} ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∫abfn(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx=\underset{ n \to \infty}{\lim}\int_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} }

(fn)n∈N⊆C([a,b]) con fn(x)→f(x) puntualmente.Supongo fn derivable, y  ∃ g con fn′⇉gEntonces f es derivable y ∀x:(lim⁡n→∞fn(x))′=f′(x)=g(x)=lim⁡n→∞fn′(x)\begin{array}{l} \text{$( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq C([a,b])$ con $f_{n}(x)\to f(x)$ puntualmente.}\\ \text{Supongo $f_{n}$ derivable, y $\:\exists\:g$ con $f_{n}'\rightrightarrows g$}\\ \text{Entonces $f$ es derivable y $\forall x:$}\\ (\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x))'=f'(x)=g(x)=\lim_{ n \to \infty } f_{n}'(x) \end{array}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

X conjuntoB(X)={f:X→R con f acotada} es un espacio normado, con:∥f∥=supx∈X∣f(x)∣∈R≥0\begin{array}{l} \text{$X$ conjunto}\\ \text{$\mathcal{B}(X)=\{ f:X\to \mathbb{R}\:con\: f\:acotada \}$ es un espacio normado, con:}\\\\ \left\| f \right\| =\underset{x \in X}{sup}|f(x)|\quad \in \mathbb{R}_{\geq 0} \end{array}

Def. 3:{\color{Cyan} \text{Def. 3:} }

X espacio normado, Cb(X)={f∈B(X):f continua} es un espacio normado con ∥∥∞ heredada de B(X).\begin{array}{l} \text{$X$ espacio normado, $C_{b}(X)=\{ f\in \mathcal{B}(X):f\:continua \}$ es un espacio normado}\\ \text{ con $\left\| \right\|_\infty$ heredada de $\mathcal{B}(X)$.} \end{array}

Prop. 4:{\color{Orange} \text{Prop. 4:} }

(fn)n∈N⊆B(X),f∈B(X).fn⇉f  ⟺  ∥fn−f∥∞→0\begin{array}{l} \text{$( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq \mathcal{B}(X),f \in \mathcal{B}(X)$.}\\ \\ f_{n}\rightrightarrows f\iff \left\| f_{n}-f \right\|_\infty \to 0 \end{array}

Prop. 5:{\color{Orange} \text{Prop. 5:} }

(fn)⊆C([0,1]),fn⇉f entonces: \begin{array}{l} \text{$(f_{n})\subseteq C([0,1]),f_{n}\rightrightarrows f$ entonces: } \end{array} ∫f=lim⁡n→∞∫fn\int f=\lim_{ n \to \infty }\int f_{n}

Prop. 6:{\color{Orange} \text{Prop. 6:} }

X espacio meˊtrico. Entonces Cb(X)⊆B(X) es cerrado.\begin{array}{l} \text{$X$ espacio métrico. Entonces $C_{b}(X)\subseteq\mathcal{B}(X)$ es cerrado.} \end{array}

Teorema 1:{\color{violet} \text{Teorema 1:} }

X espacio meˊtrico. Entonces:1. B(X) es Banach.2. Cb(X) es Banach.\begin{array}{l} \text{$X$ espacio métrico. Entonces:}\\ \text{1. $\mathcal{B}(X)$ es Banach.}\\ \text{2. $C_{b}(X)$ es Banach.} \end{array}

Teórica 18

Def. 4:{\color{Cyan} \text{Def. 4:} }

E espacio normado, (fn)n∈N⊆E. La serie ∑nfn converge normalmente si ∑m∥fn∥⏟∈R≥0<+∞\begin{array}{l} \text{$E$ espacio normado, $( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq E$. La serie $\sum_{n}f_{n}$ converge normalmente si $\sum_{m}\underbrace{\left\| f_{n} \right\|}_{\in \mathbb{R}_{\geq 0}}<+\infty$} \end{array}

Prop. 7:{\color{Orange} \text{Prop. 7:} }

E Banach. Si ∑nfn converge normalmente, entonces converge (en E) \begin{array}{l} \text{$E$ Banach. Si $\sum_{n}f_{n}$ converge normalmente, entonces converge (en $E$) } \end{array}

Def. 5:{\color{Cyan} \text{Def. 5:} }

Criterio de WeierstrassSea fn:X→R. Supongamos que  ∃ cn≥0 tal que ∣fn(x)∣≤cn∀x∈X,∀n∈N. Supongamos que:∑n≥0cn<+∞Entonces ∑n≥0fn(x) converge uniformemente (y puntualmente) a una f:X→R, acotada.\begin{array}{l} \textbf{Criterio de Weierstrass} \\ \text{Sea $f_{n}:X\to \mathbb{R}$. Supongamos que $\:\exists\:c_{n}\geq 0$ tal que $|f_{n}(x)|\leq c_{n}\quad\forall x \in X,\forall n\in \mathbb{N}$. Supongamos que:}\\ \sum_{n\geq 0}c_{n}<+\infty\\ \text{Entonces $\sum_{n\geq 0}f_{n}(x)$ converge uniformemente (y puntualmente) a una $f:X\to \mathbb{R}$, acotada.} \end{array}

Más aún, ∀x:∑n≥0fn(x)\forall x:\sum_{n\geq 0}f_{n}(x) converge absolutamente.(i.e., ∑n∣fn(x)∣<+∞\sum_{n}|f_{n}(x)|<+\infty)

Preguntas y respuestas sobre sucesiones de funciones continuas

  1. Elegir la afirmación correcta.
    Opciones:
    a. Una sucesión de funciones continuas tiene límite continuo.
    b. Una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente tiene límite continuo.
    c. Una sucesión de funciones continuas que tiene límite continuo, converge uniformemente.
    d. Una sucesión de funciones uniformemente continuas tiene límite continuo.
    Respuesta correcta: b. Una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente tiene límite continuo.

  2. Las integrales de funciones continuas que convergen uniformemente, convergen a la integral del límite.
    Respuesta correcta: Verdadero.

  3. La sucesión de funciones {sin⁡(x)/n}n\{\sin(x)/n\}_n converge a 00 en R\mathbb{R}, pero no lo hace uniformemente.
    Respuesta correcta: Falso.

  4. La sucesión de funciones {(x+1/n)2}n\{(x + 1/n)^2\}_n con x∈[0,1]x \in [0,1] converge uniformemente a x2x^2.
    Respuesta correcta: Verdadero.

  5. La convergencia uniforme de funciones definidas en un compacto KK es exactamente lo mismo que la convergencia en C(K)C(K) con la norma infinito.
    Respuesta correcta: Verdadero.

  6. Si una sucesión de funciones continuas converge con la norma 1, entonces converge uniformemente.
    Respuesta correcta: Falso.

Preguntas y respuestas sobre espacios normados y series de funciones

  1. El espacio normado de funciones continuas y acotadas sobre un espacio métrico es completo.
    Respuesta correcta: Verdadero.

  2. Si la serie de xnx_n converge en el espacio de Banach XX, entonces la serie de las normas de los xnx_n converge en R\mathbb{R}.
    Respuesta correcta: Falso.

  3. Elegir la condición que asegura la convergencia de la serie de los xnx_n en el espacio de Banach XX.
    Opciones:
    a. La sucesión de sumas parciales de los xnx_n es acotada.
    b. xnx_n es una sucesión de Cauchy.
    c. La serie de las normas de los xnx_n converge en R\mathbb{R}.
    d. xnx_n tiende a 00.
    Respuesta correcta: c. La serie de las normas de los xnx_n converge en R\mathbb{R}.

  4. Asignar a cada afirmación un número, de manera que 1 implique 2, 2 implique 3, etc.

    Sean fnf_n funciones continuas del compacto KK en R\mathbb{R}.

    Afirmaciones:

    • La serie de las fnf_n converge uniformemente a una función continua.
    • La sucesión de las fnf_n tiende uniformemente a 00.
    • La sucesión de las fnf_n es acotada.
    • La serie de las fnf_n converge uniforme y absolutamente.

    Respuestas asignadas:

    1. La serie de las fnf_n converge uniforme y absolutamente.
    2. La serie de las fnf_n converge uniformemente a una función continua.
    3. La sucesión de las fnf_n tiende uniformemente a 00.
    4. La sucesión de las fnf_n es acotada.

  5. El criterio que vimos para convergencia de series de funciones es el:
    Opciones:
    a. Criterio de Wandanar.
    b. Criterio de Wonderland.
    c. Criterio de Wimbledon.
    d. Criterio de Willywonka.
    e. Criterio de Weierstrass.

    Respuesta correcta: e. Criterio de Weierstrass

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