#18Sucesiones y Series de funciones

2025 - Teórica 18 - Sucesiones de funciones II

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Tue-03-06-2025 18:01 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Sucesiones y Series de funciones

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

(an)n∈N⊆R, decimos que la seria ∑n=1∞an converge si existe lim⁡n→∞SN, donde:\begin{array}{l} \text{$( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R},$ decimos que la seria $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si existe $\underset{ n\to \infty }{ \lim }S_{N},$ donde:} \end{array} SN=∑n=1NanS_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}
Ejemplo 1:Ejemplo\:1:

Si ∣r∣<1|r|<1

∑n=0∞rn=11−r\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} =\frac{1}{1-r}

Veámoslo

SN=∑n=0Nrn=1+r+r2+⋯+rNS_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n} =1+r+r^{2}+\dots+r^{N} (1−r)⋅∑n=0Nrn=∑n=0Nrn−∑n=1N+1rn=1−rN+1  ⟹  SN=1−rN+11−r⟶11−r\begin{array}{c} \displaystyle (1-r)\cdot \sum_{n=0}^{N} r^{n} &=&\sum_{n=0}^{N} r^{n} -\sum_{n=1}^{N+1} r^{n} \\ \displaystyle &=&1-r^{N+1} \\ \displaystyle \implies S_{N}&=&\frac{1-r^{N+1} }{1-r}\longrightarrow \frac{1}{1-r} \end{array}
Ejemplo 2:Ejemplo\:2: an={1n impar−1n para_{n}=\begin{cases} 1 & n\:impar \\ -1 & n\:par \end{cases} S1=1,S2=0,S3=1,S4=0S_{1}=1,S_{2}=0,S_{3}=1,S_{4}=0

Acá ni la sucesión ni la serie converge.

Obs:Obs:

 ∃ lim⁡n→∞SN   ⟺  (SN)N∈N es de Cauchy.\text{$\:\exists\:\underset{ n\to \infty }{ \lim }S_{N}$ $\iff( S_{N} )_{N \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy.}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Si ∑n=1∞∣an∣ converge   ⟹  ∑n=1∞an converge.\begin{array}{l} \text{Si $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$ converge $\implies \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge.} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Basta con ver que es de Cauchy. Pues R\mathbb{R} es completo.

∣SN−SM∣=∣∑n=1Nan−∑n=1Man∣=N>M∣∑n=M+1Nan∣≤∑n=M+1N∣an∣=TN−TM<EN,M>N0\left| S_{N}-S_{M} \right|=\left| \sum_{n=1}^{N} a_{n}-\sum_{n=1}^{M} a_{n} \right|\underset{ N>M }{ = }\left| \sum_{n=M+1}^{N} a_{n} \right| \leq \sum_{n=M+1}^{N} |a_{n}| =T_{N}-T_{M}<\mathcal{E}\quad N,M>N_{0}

Donde TN=∑n=1N∣an∣\displaystyle T_{N}=\sum_{n=1}^{N}|a_{n}| y (TN)N∈N(T_{N})_{N\in \mathbb{N}} es de Cauchy.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Integrales de Riemann

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea [a,b]⊆R. Una particioˊn de [a,b] es un conjunto P={x0,…,xn} \begin{array}{l} \text{Sea $[a,b]\subseteq \mathbb{R}.$ Una partición de $[a,b]$ es un conjunto $P=\{ x_{0},\dots,x_{n} \}$ } \end{array}

con a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b

Ii=[xi,xi+1],Δi=long(Ii)=xi+1−xiI_{i}=[x_{i},x_{i+1}],\Delta_{i}=long(I_{i})=x_{i+1}-x_{i}

Sea f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} acotada.

I(f,P)=∑i=0n(inf⁡x∈Ii f(x))⋅ΔiI(f,P)=\sum_{i=0}^{n} (\underset{ x \in I_{i} }{ \inf }\:f(x))\cdot\Delta_{i} S(f,P)=∑i=0n(sup⁡x∈Ii f(x))⋅ΔiS(f,P)=\sum_{i=0}^{n} (\underset{ x \in I_{i} }{ \sup }\:f(x))\cdot\Delta_{i}

Obs:Obs:

I(f,P)≤S(f,P)I(f,P)\leq S(f,P)

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Una funcioˊn f:[a,b]→R acotada se dice integrable Riemann si ∀E>0 ∃ P particion∣S(f,P)−I(f,P)<E \begin{array}{l} \text{Una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada se dice integrable Riemann si }\\ \text{$\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:P\text{ particion}\bigm|S(f,P)-I(f,P)<\mathcal{E}$ } \end{array}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea P particioˊn. Un refinamiento de P es una particioˊn P′∣P⊆P′ \begin{array}{l} \text{Sea $P$ partición. Un refinamiento de $P$ es una partición $P'\bigm|P\subseteq P'$ } \end{array}

Ejemplo:Ejemplo: Con [0,1][0,1] P={0,1}P=\{ 0,1 \} I0=[0,1]I_{0}=[0,1]
P′={0,12,1}P'=\left\{ 0, \frac{1}{2},1 \right\} I0=[0,12]I_{0}=\left[ 0, \frac{1}{2} \right] I1=[12,1]I_{1}=\left[ \frac{1}{2},1 \right]

Obs:Obs:

Si P′ es refinamiento de P  ⟹  I(f,P)≤I(f,P′) y S(f,P′)≤S(f,P)\text{Si $P'$ es refinamiento de $P\implies I(f,P)\leq I(f,P')$ y $S(f,P')\leq S(f,P)$}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

I∗(f)=sup⁡{I(f,P):P particion}I_{*}(f)=\sup \{ I(f,P):P\text{ particion} \} I∗(f)=inf⁡{ S(f,P):P particion}I^{*}(f)=\inf \{ \:S(f,P):P\text{ particion} \}

Si ff es integrable Riemann   ⟹  ∫abf(x) dx=I∗(f)=I∗(f)\implies \displaystyle \int_{a}^{b}f(x) \, dx=I_{*}(f)=I^{*}(f)

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea f:[a,b]→R continua   ⟹  f es integrable Riemann\begin{array}{l} \text{Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua $\implies f$ es integrable Riemann} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Sea E>0.\mathcal{E}>0. Quiero ver que  ∃ P\:\exists\:P partición tal que

S(f,P)−I(f,P)<ES(f,P)-I(f,P)<\mathcal{E} S(f,P)−I(f,P)=∑i=0n(sup⁡x∈Iif(x))⋅Δi−∑i=0n(inf⁡x∈Iif(x))⋅ΔiS(f,P)-I(f,P)=\sum_{i=0}^{n} (\underset{ x \in I_{i} }{ \sup } f(x))\cdot\Delta_{i}-\sum_{i=0}^{n} (\underset{ x \in I_{i} }{ \inf } f(x))\cdot\Delta_{i} =∑i=0n(sup⁡x∈Iif(x)−inf⁡x∈Iif(x))⏟<C⋅Δi<C⋅∑i=0nΔi=C⋅(b−a)=\sum_{i=0}^{n} \underbrace{ (\underset{ x \in I_{i} }{ \sup } f(x)-\underset{ x \in I_{i} }{ \inf } f(x)) }_{ <C }\cdot\Delta_{i}<C\cdot \sum_{i=0}^{n} \Delta_{i}=C\cdot(b-a)

Me gustaría que C=E(b−a)C=\frac{\mathcal{E}}{(b-a)}

Como ff continua y [a,b][a,b] compacto   ⟹  f\implies f es uniformemente continua. Para E(b−a) ∃ δ>0∣\frac{\mathcal{E}}{(b-a)}\:\exists\:\delta>0\bigm|

si ∣x−y∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣<E(b−a)si\:|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\frac{\mathcal{E}}{(b-a)}

Elijo PP partición tal que xi+1−xi<δx_{i+1}-x_{i}<\delta

con xi=a+i⋅δx_{i}=a+i\cdot\delta. Donde x0=ax_{0}=a y xn=bx_{n}=b y se alcanza pues en finitos puntos llego o me paso de b.b.

Como Ii=[xi,xi+1]I_{i}=[x_{i},x_{i+1}] es compacto   ⟹  f\implies f tiene máximo y mínimo en IiI_{i}   ⟹   ∃ zi,yi∈Ii∣\implies \:\exists\:z_{i},y_{i} \in I_{i}\bigm|

sup⁡x∈Ii f(x)=f(zi)\underset{ x \in I_{i} }{ \sup }\:f(x)=f(z_{i}) inf⁡x∈Ii f(x)=f(yi)\underset{ x \in I_{i} }{ \inf }\:f(x)=f(y_{i})

Luego

S(f,P)−I(f,P)=∑i=0n(f(zi)−f(yi))⋅Δi<E(b−a)⋅∑i=0nΔi=ES(f,P)-I(f,P)=\sum_{i=0}^{n} (f(z_{i})-f(y_{i}))\cdot\Delta_{i}<\frac{\mathcal{E}}{(b-a)}\cdot \sum_{i=0}^{n} \Delta_{i}=\mathcal{E} Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Usamos que una continua en un compacto es uniformemente continua.

Obs:Obs: Si ff es continua a trozos (tiene una cantidad finita de discontinuidades)  ⟹  f\implies f es integrable Riemann.

Ejemplos:Ejemplos: f(x)={1x∉Q0x∈Qf(x)=\begin{cases} 1 & x\not\in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{Q} \end{cases}

Si E=1\mathcal{E}=1- Sea PP partición.

S(f,P)=∑i=0nsup⁡x∈Ii f(x)⋅Δi=1S(f,P)=\sum_{i=0}^{n} \underset{ x \in I_{i} }{ \sup }\:f(x)\cdot\Delta_{i}=1

Porque existen irracionales en [xi,xi+1][x_{i},x_{i+1}]

I(f,P)=∑i=0ninf⁡x∈Ii f(x)⋅Δi=0I(f,P)=\sum_{i=0}^{n} \underset{ x \in I_{i} }{ \inf }\:f(x)\cdot\Delta_{i}=0

pues Q\mathbb{Q} denso   ⟹  \implies

S(f,P)−I(f,P)=1S(f,P)-I(f,P)=1

  ⟹  f\implies f no es integrable Riemann.

f(x)=1xf(x)=\frac{1}{\sqrt{ x }}

Esta función ni siquiera está definida. Pero si considero a>0:a>0:

∫a1f(x) dx=∫a11x dx=(2∣a1=2−2a⟶a→0+2\int_{a}^{1} f(x) \, dx =\int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{ x }} \, dx =(\sqrt{ 2 }\bigm|_{a}^{1}=2-2\sqrt{ a }\underset{ a\to 0^{+} }{ \longrightarrow } 2

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