Tue-05-11-2024 12:08 profe: Mauro status: tags: Sucesiones y Series de funciones

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Ejercicio 1

Consideremos la sucesión de funciones $( f_n )_{n \in \mathbb{N} }$ dada por

$$f_{n} (x)=\begin{cases} 2n^{2}x-n^{3}x^{2} & 0\leq x\leq \frac{2}{n } \\ 0 & \frac{2}{n}< x\leq 2 \end{cases}$$

Probar que converge puntualmente pero no uniformemente.

Cada $f_{n}$ alcanza su máximo en $x= \frac{1}{n}$. Además son todas continuas.

$Dem:$ Veamos que el límite es la función trivial $f_{0}$. Debemos ver que $\forall x \in[0,2],( f_n(x) )_{n \in \mathbb{N} }$ tiende a 0. Si $x=0\implies f_{n}(0)=0\quad\forall n$, y trivialmente su límite es cero. Si $x>0$, dado $\mathcal{E}>0$, sea $n_{0}$ tal que $n_{0}> \frac{2}{x}$ . Luego si $n\geq n_{0}\implies z> \frac{2}{n}\implies f_{n}(x)=0$ Luego

$$|f_{n} (x)-\underbrace{f(x)}_{\text{funcion nula}} |=0<\mathcal{E}$$

Usemos el ejercicio 1 para probar la no convergencia uniforme.

$$d\left( f_{n} \left( \frac{1}{n} \right),f\left( \frac{1}{n} \right) \right)=\left|2\frac{n^{2}}{n}-\frac{n^{3}}{n^{2}}\right|=n$$

entonces basta tomar $\alpha=1$ con $x_{j}=\frac{1}{j}$.

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Otra forma de probar la no convergencia uniforme. Usamos $g_{n},g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuas y convergentes uniformemente $g_{n}\rightrightarrows g$ ($[a,b]$ compacto), entonces:

$$\lim_{ n \to \infty } \int_{a}^b g_{n}(x) \, dx =\int_{a}^b \lim_{ n \to \infty } g_{n}(x) \, dx =\int_{a}^b g(x) \, dx$$

Usemos esto en nuestro ejercicio:

$$\int_{0}^2 f(x) \, dx =0$$

Notar que $f_{0}$ es el límite puntual de $(f_{n})_{n}$

$$\int_{0}^2 f_{n} (x) \, dx =\int_{0}^{\frac{2}{n}}2n^{2}x-n^{3}x^{2}\:dx=\left( n^{2}x^{2}-n^{3}.\frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{ 2/n}= 4 - \frac{8}{3}= \frac{4}{3}$$

que no depende de $n$ y no es cero. Por lo tanto, la convergencia no es uniforme.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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