Supremos e ínfimos

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tags: Análisis Avanzado

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Sea A⊆R. Decimos que 1. c∈R cota superior de A si c≥a∀a∈A 2. c∈R es el maˊximo de A si es cota superior y ademaˊs c∈A. 3. A es acotado superiormente si tiene alguna cota superior.\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. Decimos que }\\ \text{1. $c\in \mathbb{R}$ cota superior de $A$ si $c\geq a\quad\forall a \in A$ }\\ \text{2. $c \in \mathbb{R}$ es el máximo de $A$ si es cota superior y además $c \in A.$ }\\ \text{3. $A$ es acotado superiormente si tiene alguna cota superior.} \end{array}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Sea A⊆R,s∈R. Decimos que s es el supremo de A si:1. s es cota superior de A 2. Si s′ es cota superior de A  ⟹  s′≥s \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R},s \in \mathbb{R}.$ Decimos que $s$ es el supremo de $A$ si:}\\ \text{1. $s$ es cota superior de $A$ }\\ \text{2. Si $s'$ es cota superior de $A \implies s'\geq s$ } \end{array}

Axioma de completitud

Dado A⊆R,A≠∅A\subseteq \mathbb{R},A\neq \emptyset y acotado superiormente, entonces existe sup(A)∈Rsup(A)\in \mathbb{R}

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

Sea A⊆R. Entonces s=sup(A) si y solo si:1. s es cota superior de A .1. ∀ϵ>0 ∃ aϵ∈A ∣ s−ϵ<aϵ<s \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. Entonces $s=sup(A)$ si y solo si:}\\ \text{1. $s$ es cota superior de $A$ .}\\ \text{1. $\forall \epsilon> 0\:\exists\:a_{\epsilon}\in A\:|\:s-\epsilon<a_{\epsilon}<s$ } \end{array}

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} } Principio de Arquímedes

N no estaˊ acotado superiormente.Equivalentemente, ∀x∈R ∃ n∈N:x≤n \begin{array}{l} \text{$\mathbb{N}$ no está acotado superiormente.}\\ \text{Equivalentemente, $\forall x \in \mathbb{R}\quad\:\exists\:n \in \mathbb{N}:x\leq n$ } \end{array}

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} } Principio de Arquímedes 2

∀y∈R,y>0 existe un n∈N ∣ 0<1n<y \begin{array}{l} \text{$\forall y \in \mathbb{R},y>0$ existe un $n\in \mathbb{N}\:|\:0<\frac{1}{n}<y$ } \end{array}

Teorema 1:{\color{violet} \text{Teorema 1:} }

Sea A⊆R,A≠∅ y acotado inferiormente   ⟹   ∃ i=inf(A) \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R},A\neq \emptyset$ y acotado inferiormente $\implies \:\exists\:i=inf(A)$ } \end{array}

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