tags: Supremos e ínfimos

Ejercicio 1

Consideremos$A,B\subseteq \mathbb{R}$ no vacíos. Definamos el conjunto $A+B=\{ a+b:a\in A,b\in B \}$ Probar:

1. Si ambos están acotados superiormente entonces $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$
2. Si $A$ está acotado superiormente y $B$ inferiormente. Entonces $sup(A+B)=sup(A)-inf(B)$

El item 1 entró como ejercicio 1 del primer parcial.

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Ejercicio 2

Sean $f(x)=x^{2}$ y $A=\left\{ \frac{f(4+h)-f(4)}{h}:h \in(-\infty,0) \right\}$ Decidir si tiene supremo e ínfimo, y en caso de que si, hallarlos.

Dio un ejercicio extra que dice Probar con todo detalle que $\{ 8 \}+(-\infty,0)=(-\infty,8)$

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Sucesiones

En realidad esta fue la 3ra clase de la práctica.

Ejercicio 3

Veamos que $a_{n}=2+ \frac{1}{n}$ tiene límite $l=2$

Ejercicio 4

Probar que $b_{n}= (2+ \frac{1}{n})^{2}$ tiene límite $l=4$.

Ejercicio 5

Sea $a_{n}=(-1)^{n}.\left( 1+ \frac{1}{n} \right)$. ¿Es convergente? ¿Alguna subsucesión lo es?

Ejercicio 6

Hallar subsucesión convergente.