Thu-20-03-2025 20:05 profe: Darío Martín Aza | Pablo Herrera - Mariano Negri - Juan Martín Pérez Garber status: tags: Supremos e ínfimos

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Ejercicio 1

Sean $A=\left\{ \frac{1}{n^{2}+n+2}:n\in \mathbb{N} \right\}$ y $B=\left\{ (-1)^m + \frac{3}{n}:m,n\in \mathbb{N} \right\}$ Hallar supremo, ínfimo, máximo y mínimo de $A$ y $B$.

• $inf(A):$ Cero es cota inferior de $A$ pues $\frac{1}{n^{2}+n+2}>0\quad\forall n\in \mathbb{N}$ pues es división de números positivos.
• Por un lado quiero ver que cero es la mayor de las cotas inferiores Supongamos que $i>0$ es una cota inferior de $A$. Queremos encontrar $n\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n^{2}+n+2}<i$. Lo cual probaría que $i$ no es cota inferior de $A.$

$$\frac{1}{n^{2}+n+2}<i\iff{1}<i\cdot(n^{2}+n+2)$$

Por arquimedianidad $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\: \frac{1}{n_{0}}\leq i$. Pero como $n^{2}+2>0$ entonces $n^{2}+n_{0}+2>n_{0}$ Luego

$$\frac{1}{n^{2}+n+2}<\frac{1}{n_{0}}<i$$

Esto prueba que $i$ no es cota inferior $\implies0=inf(A)$

• $sup(A)$ Afirmamos que $sup(A)=max(A)= \frac{1}{4}$ Como $\frac{1}{4}\in A,$ alcanza con probar que $\frac{1}{4}$ es cota inferior de $A.$ Para eso usamos que $n^{2}\geq1,n\geq{1}$ pues $n\in \mathbb{N}$ Luego $n^{2}+n+2=1+1+2=4$

$$\implies \frac{1}{n^{2}+n+2}\leq \frac{1}{4}\quad \forall n\in \mathbb{N}$$

Por último, $A$ no tiene mínimo porque todos los elementos de $A$ son positivos y luego $0\not\in A$.

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Ejercicio 2

Sea $x \in \mathbb{R},$ probar que existe un único entero $n \in \mathbb{Z}$ tal que

$$n\leq x<n+1$$

Considero $A=\{ m \in \mathbb{Z}:m\leq x \}$ Probamos que $A$ es no vacío y acotado superiormente, entonces $A$ tiene supremo.

• $A$ es acotado porque $x$ es cota superior de $A$.
• $A$ es no vacío porque $\mathbb{Z}$ no está acotado inferiormente. Pues $-\mathbb{N}$ no está acotado inferiormente. Por lo tanto, existe $sup(A)=n$. Considero $\lfloor x \rfloor=n$
  Hay que probar que:
• i. $n \in \mathbb{Z}$
• ii. $n\leq x$
• iii. $x<n+1$ Tratemos de probar que $sup(A)\in A$. Es decir, $n=sup(A)$ es un máximo. Como $n=sup(A)$ y $x$ cota superior de $A$ $\implies n\leq x$ Como $n=sup(A)\quad\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:a \in A:n-\mathcal{E}<a\leq n$ En particular $\forall m\in \mathbb{N}\:\exists\:a_{m}\in A:n-\frac{1}{m}<a_{m}\leq n$ En particular, $\forall m\in \mathbb{N}, \:\exists\:a_{m}\in\left( n-\frac{1}{m},n \right]\subseteq(n-1,n]$ Como $(n-1,n]$ tiene longitud $1$ hay un único entero $k\in(n-1,n]$ Entonces $a_{m}=k$ es ese entero $\forall m\in \mathbb{N}$
  Luego $k \in\left( n-\frac{1}{m},n\right]\quad\forall m\in \mathbb{N}$ y entonces $n-\frac{1}{m}<k$. Por ejercicio de la guia 1 ($x<y+\mathcal{E}\quad\forall\mathcal{E}>0\implies x\leq y$ ) entonces $n\leq k$.

Además tenía que $k\geq n\implies k=n{\color{Red} \text{ (De donde sale esto?)} }\implies n\in \mathbb{Z}\implies n\in A$

Hemos probado que $n\in A$ y luego $n\in \mathbb{Z}$ y $n\leq x$ Falta ver que $x<n+1$ Como $n=sup(A)=max(A)$ tenemos que $n+1\not\in A$, como $n+1$ es entero debe ser que $n+1\geq x$

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