Espacios Normados

Resumen y material relacionado

Teórica 15

${\color{Cyan} \text{Def. 1:} }$

\begin{array}{l} \text{$E$ en $\mathbb{R}-ev$. Una norma en $E$ es $\left\| \right\|:E\to \mathbb{R}_{\geq0}$ con:}\\ \text{1. $\left\| v \right\|=0\iff v=0 \quad\forall v\in E$}\\ \text{2. $\left\| \lambda.v \right\|=|\lambda|.\left\| v \right\|\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},v\in E$}\\ \text{3. $\left\| v+w \right\|\leq \left\| v \right\|+\left\| w \right\|\quad\forall v,w\in E$} \end{array}

${\color{Orange} \text{Prop. 1:} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$ un espacio normado. }\\ \text{Entonces $d:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq0}\:|\:d(v,w)=\left\| v-w \right\|$ es una distancia.} \end{array}

${\color{Orange} \text{Prop. 2:} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $E$ normado. }\\ \text{1. $T_{v}:E\to E\:|\:T_{v}(w)=v+w$ es continua.}\\ \text{2. $\mu_{\lambda}:E\to E\:|\:\mu_{\lambda}(v)=\lambda.v$ es continua $\forall\lambda \in \mathbb{R}$. Más aún, son homeomorfismos $(\lambda\neq0)$ }\\ \end{array}

${\color{Cyan} \text{Def. 2:} }$

\begin{array}{l} \text{Sean $(E,\left\| \right\|_{E}),(F,\left\| \right\|_{F})$ espacios normados.}\\ \text{ Una transformación lineal $T:E\to F$ (u operador) es acotado si:}\\ (\:\exists\:\mu\geq0)\quad \left\| T_{v} \right\|_{F}\leq \mu \left\| v \right\|_{E}\quad \forall v\in E \end{array}

${\color{Orange} \text{Prop. 3:} }$

\begin{array}{l} \text{$T$ es acotado $\iff T$ es continua (uniformemente).} \end{array}

${\color{Cyan} \text{Def. 3:} }$

\begin{array}{l} \text{$T$ acotada, la norma de $T$ es $\left\| T \right\|=inf\{ \mu>0:\left\| T v \right\|\leq \mu.\left\| v \right\|\quad\forall v \}$} \end{array}

${\color{Orange} \text{Prop. 4:} }$

\begin{array}{l} \text{$T:E\to F$ operador. $S=Ker(T)=\{ v: Tv=0 \}$:}\\ \text{1. $T$ acotado $\implies S$ cerrado.}\\ \text{2. Si $F=\mathbb{R},S$ cerrado $\implies T$ acotado. } \end{array}

${\color{Cyan} \text{Def. 4:} }$

\begin{array}{l} \text{Dos normas $\left\| \right\|,\left\| \right\|'$ en $E$ son equivalentes si}\\ \:\exists\:C,C'>0\:|\:\quad C'.\left\| x \right\|' \leq \left\| x \right\|\leq C.\left\| x \right\|'\quad\forall x \in E \end{array}

( $\iff \frac{1}{C}'\left\| x \right\|\leq \left\| x \right\|'\leq \frac{1}{C'}\left\| x \right\|$ )

${\color{Orange} \text{Obs. 1:} }$

\begin{array}{c} \text{$\left\| \right\|,\left\| \right\|'$ son equivalentes $\iff id:(E,\left\| \right\|)\to(E,\left\| \right\|')$ es homeomorfismo }\\ \text{ ($\iff$ acotado, con inversa acotada)} \end{array}

${\color{Green} \text{Lema 1} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$ espacio vectorial normado. } \\ \text{Sea $F$ un espacio vectorial tal que $\:\exists\:T:F\to E$ isomorfismo.} \\ \text{ Entonces $\left\| . \right\|':F\to \mathbb{R}_{\geq0}\:|\:\left\| x \right\|'=\left\| T_{x} \right\|$ } \end{array}

${\color{Orange} \text{Obs. 2:} }$

\begin{array}{l} \text{Con esta construcciòn, $\left\| T_{x} \right\|=\left\| x \right\|'$} \end{array}

${\color{violet} \text{Teorema 1:} }$

\begin{array}{l} \text{Si $dim(E)<\infty,$ todo par de normas en $E$ son equivalentes.} \end{array}

${\color{violet} \text{Teorema 2:} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$, $dim(E)<\infty$.}\\ \text{1. $E$ es completo.}\\ \text{2. Si $K\subseteq E$ es cerrado y acotado, es compacto.} \end{array}

${\color{Cyan} \text{Def. 5:} }$

\begin{array}{l} \text{Un espacio normado es de Banach si es completo.} \end{array}

${\color{Orange} \text{Prop. 5:} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$. Sea $S=\{ x \in E:\left\| x \right\|=1 \}$}\\ \text{Si $S$ es compacto, $dim(E)<\infty$} \end{array}

Encontrar la opción falsa.

En un espacio normado:
Opciones:
a. La bola cerrada es la clausura de la bola abierta.
b. La distancia inducida por la norma puede ser acotada.
c. Cualquier bola se obtiene reescalando y trasladando $B(0,1)$ .
d. El diámetro de una bola de radio $r$ es $2r$ .
Respuesta correcta: b. La distancia inducida por la norma puede ser acotada.
En los espacios normados, los conjuntos cerrados y acotados son compactos.
Respuesta correcta: Falso.
Si dos normas son equivalentes, las distancias inducidas producen los mismos abiertos.
Respuesta correcta: Verdadero.
Cualquier norma en $\mathbb{R}^n$ lo hace ser un espacio de Banach.
Respuesta correcta: Verdadero.
La distancia discreta proviene de una norma.
Respuesta correcta: Falso.
En los espacios de Banach, las sucesiones de Cauchy convergen.

Opciones:
a. Porque es una propiedad de los espacios normados.
b. Porque son homeomorfos a $\mathbb{R}^n$ con la norma 2.
c. Porque son espacios completos.
Respuesta correcta: c. Porque son espacios completos.

Un operador lineal puede ser continuo en algunos puntos y discontinuo en otros.
Respuesta correcta: Falso.
Si un operador lineal es continuo, entonces es Lipschitz.
Respuesta correcta: Verdadero.
Una funcional lineal $T: E \to \mathbb{R}$ es acotada si y sólo si es una función acotada de $E$ en $\mathbb{R}$ .
Respuesta correcta: Falso.
Sea $T: E \to F$ un operador lineal. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es equivalente a que $T$ sea continuo?

Opciones:
a. $T$ es uniformemente continuo.
b. $T$ es continuo en $0$ .
c. $T$ es acotado en la bola de $E$ .
d. La imagen de $T$ es de dimensión finita.

Respuesta correcta: d. La imagen de $T$ es de dimensión finita.
Toda transformación lineal entre espacios de dimensión finita es continua.
Respuesta correcta: Verdadero.