#16Espacios Normados

16 - Espacios Normados II

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Tue-29-10-2024 09:25 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags: Espacios Normados

Normas equivalentes

Hoy vamos a tratar de entender esta simetría desde la perspectiva de los espacios métricos:

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Dos normas ∥∥,∥∥′ en E son equivalentes si ∃ C,C′>0 ∣ C′.∥x∥′≤∥x∥≤C.∥x∥′∀x∈E\begin{array}{l} \text{Dos normas $\left\| \right\|,\left\| \right\|'$ en $E$ son equivalentes si}\\ \:\exists\:C,C'>0\:|\:\quad C'.\left\| x \right\|' \leq \left\| x \right\|\leq C.\left\| x \right\|'\quad\forall x \in E \end{array}

(  ⟺  1C′∥x∥≤∥x∥′≤1C′∥x∥\iff \frac{1}{C}'\left\| x \right\|\leq \left\| x \right\|'\leq \frac{1}{C'}\left\| x \right\|)

Es simétrica, o sea, los roles de ambas normas son intercambiables. es una relación de equivalencia entre todas las normas de EE.

Obs:Obs:

Las distancias que inducen son equivalentes\text{Las distancias que inducen son equivalentes}

Obs:Obs:

∥∥,∥∥′ son equivalentes   ⟺  id:(E,∥∥)→(E,∥∥′) es homeomorfismo  (  ⟺   acotado, con inversa acotada)\begin{array}{c} \text{$\left\| \right\|,\left\| \right\|'$ son equivalentes $\iff id:(E,\left\| \right\|)\to(E,\left\| \right\|')$ es homeomorfismo }\\ \text{ ($\iff$ acotado, con inversa acotada)} \end{array}
Ejemplos:Ejemplos:
  1. En Rn,∥∥1∼∥∥2∼∥∥∞\mathbb{R}^n,\left\| \right\|_1\sim \left\| \right\|_2\sim \left\| \right\|_\infty Más aún,
∥x∥∞≤∥x∥2≤∥x∥1≤n.∥x∥∞\left\| x \right\|_\infty \leq \left\| x \right\|_2 \leq \left\| x \right\|_1 \leq n.\left\| x \right\|_\infty

Como a+b≤a+b∀a,b≥0,∥x∥2=∑ixi2≤∑xi2=∥x∥1\sqrt{ a+b }\leq \sqrt{ a }+\sqrt{ b }\quad\forall a,b\geq 0,\left\| x \right\|_2=\sqrt{ \sum_{i}x_{i}^{2} }\leq \sum \sqrt{ x_{i}^{2} }=\left\| x \right\|_1 2. En C([a.b]):C([a.b]):

∥f∥1=∫ab∣f(x)∣ dx≤(b−a).∥f∥∞\left\| f \right\|_{1}=\int_{a}^b |f(x)| \, dx \leq (b-a).\left\| f \right\|_\infty

Pero ∄C>0\not\exists C> 0 con

∥f∥∞≤C.∥f∥1∀f\left\| f \right\|_\infty \leq C.\left\| f \right\|_1 \quad \forall f

Así, ∥∥1≁∥∥∞\left\| \right\|_1\not\sim \left\| \right\|_\infty

Lema {\color{Green} \text{Lema } }

Sea (E,∥∥) espacio vectorial normado. Sea F un espacio vectorial tal que  ∃ T:F→E isomorfismo. Entonces ∥.∥′:F→R≥0 ∣ ∥x∥′=∥Tx∥ \begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$ espacio vectorial normado. } \\ \text{Sea $F$ un espacio vectorial tal que $\:\exists\:T:F\to E$ isomorfismo.} \\ \text{ Entonces $\left\| . \right\|':F\to \mathbb{R}_{\geq0}\:|\:\left\| x \right\|'=\left\| T_{x} \right\|$ } \end{array}

draw-normadosII-1 es norma en FF. Dem:Dem: ejercicio.

Obs. :{\color{Orange} \text{Obs. :} }

Con esta construccioˋn, ∥Tx∥=∥x∥′\begin{array}{l} \text{Con esta construcciòn, $\left\| T_{x} \right\|=\left\| x \right\|'$} \end{array} ∴ T es isometrıˋa\therefore\: T \text{ es isometrìa}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Si dim(E)<∞, todo par de normas en E son equivalentes.\begin{array}{l} \text{Si $dim(E)<\infty,$ todo par de normas en $E$ son equivalentes.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

Sea T:Rn→ET:\mathbb{R}^n\to E isomorfismo.

draw-normadosII-2

Así, idid es homeomorfismo   ⟺  id′\iff id' es homeomorfismo. Por lo tanto, basta probarlo con E=RnE=\mathbb{R}^n. Más aún, basta ver que

∥∥∼∥∥∞∀norma∥∥\left\| \right\| \sim \left\| \right\|_\infty \quad \forall norma\left\| \right\|
∥x∥=∥∑ixi.ei∥≤∑i∥xiei∥≤(∑i∥ei∥)∥x∥∞=C.∥x∥∞\left\| x \right\|=\left\| \sum_{i}x_{i}.e_{i} \right\|\leq \sum_{i}\left\| x_{i}e_{i} \right\| \leq \left( \sum_{i}\left\| e_{i} \right\| \right)\left\| x \right\|_\infty=C.\left\| x \right\|_\infty

Además ∥xiei∥=∣xi∣∥ei∥\left\| x_{i}e_{i} \right\|=|x_{i}|\left\| e_{i} \right\| ∣xi∣≤∥x∥∞|x_{i}|\leq \left\| x \right\|_\infty

Sea S={y∈Rn:∥y∥∞=1}S=\{ y\in \mathbb{R}^n:\left\| y \right\|_\infty =1\}, es compacto en (Rn,∥∥∞)(\mathbb{R}^n,\left\| \right\|_\infty) Sea f:S→R≥0 ∣ f(x)=∥x∥f:S\to \mathbb{R}_{\geq 0}\:|\:f(x)=\left\| x \right\| Entonces ff es continua:

∣f(x)−f(y)∣=∣∥x∥−∥y∥∣≤Consecuencia de des. tr.∥x−y∥≤C∥x−y∥∞|f(x)-f(y)|=|\left\| x \right\| -\left\| y \right\| |\underset{\text{Consecuencia de des. tr.}}{\leq }\left\| x-y \right\| \leq C\left\| x-y \right\|_\infty

Luego,  ∃ m>0\:\exists\:m> 0 con m≤f(y)=∥y∥∀y∈Sm\leq f(y)=\left\| y \right\|\quad\forall y\in S Así, si x∈E,x≠{0},m≤∥x∥x∥∞∥  ⟹  ∥x∥∞.m≤∥x∥x \in E,x\neq \{ 0 \},m\leq \left\| \frac{x}{\left\| x \right\|_\infty} \right\|\implies \left\| x \right\|_\infty.m\leq \left\| x \right\|

Lo último vale si x=0x=0 también.

La consecuencia de la desigualdad triangular vista arriba es que:

∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥|\left\| x \right\| -\left\| y \right\| |\leq \left\| x-y \right\|

Dem:Dem:

∥x∥=∥(x−y)+y∥≤∥x−y∥+∥y∥  ⟹  ∥x∥−∥y∥≤∥x−y∥∥y∥=∥(y−x)+x∥≤∥y−x∥+∥x∥  ⟹  ∥y∥−∥x∥≤∥y−x∥Como ∥∥ es una distancia :∥x−y∥=∥y−x∥∴ {∥x∥−∥y∥≤∥x−y∥∥y∥−∥x∥≤∥x−y∥  ⟹  ∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥\begin{array}{c} \left\| x \right\| =\left\| (x-y)+y \right\|\leq \left\| x-y \right\| +\left\| y \right\| \\ \implies \left\| x \right\| -\left\| y \right\| \leq \left\| x-y \right\| \\ \left\| y \right\| =\left\| (y-x)+x \right\|\leq \left\| y-x \right\| +\left\| x \right\| \\ \implies \left\| y \right\| -\left\| x \right\| \leq \left\| y-x \right\| \\ \text{Como $\left\| \right\| $ es una distancia :} \quad \left\| x-y \right\| =\left\| y-x \right\| \\ \therefore\: \begin{cases} \left\| x \right\| -\left\| y \right\| \leq \left\| x-y \right\| \\ \left\| y \right\| -\left\| x \right\| \leq \left\| x-y \right\| \end{cases}\implies |\left\| x \right\| -\left\| y \right\| |\leq \left\| x-y \right\| \end{array}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea (E,∥∥), dim(E)<∞.1. E es completo.2. Si K⊆E es cerrado y acotado, es compacto.\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$, $dim(E)<\infty$.}\\ \text{1. $E$ es completo.}\\ \text{2. Si $K\subseteq E$ es cerrado y acotado, es compacto.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

Aprovechamos que lo anterior si se cumple para Rn\mathbb{R}^n y usamos o nuevo para generalizar.

Sea T:Rn→ET:\mathbb{R}^n\to E isomorfismo. Tenemos ∥∥T:Rn→>R≥0 ∣ ∥y∥T=∥Ty∥\left\| \right\|_{T}:\mathbb{R}^n\to>\mathbb{R}_{\geq 0}\:|\:\left\| y \right\|_{T}=\left\| T_{y} \right\| Por el teorema,  ∃ C,C′>0\:\exists\:C,C'>0 con

C′∥x∥2≤∥x∥T=∥Tx∥≤C.∥x∥2C'\left\| x \right\|_2 \leq \left\| x \right\|_{T}=\left\| Tx \right\| \leq C.\left\| x \right\|_2

En particular, TT es un homeomorfismo.

Sea (xn)n∈N⊆E( x_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq E de Cauchy. Si yn=T−1xn,y_{n}=T^{-1}x_{n}, entonces (yn)⊆Rn(y_{n})\subseteq \mathbb{R}^n es de Cauchy (con ∥∥2\left\| \right\|_2) pues T−1T^{-1} es uniformemente continua. Como (Rn,∥∥2)(\mathbb{R}^n,\left\| \right\|_2) es completo, ( ∃ y∈Rn)T−1xn=yn→y(\:\exists\:y\in \mathbb{R}^n)\quad T^{-1}x_{n}=y_{n}\to y Así, xn=Tyn→Tyx_{n}=Ty_{n}\to Ty pues TT es continua.

Falta ver el punto 2: Sea K⊆EK\subseteq E cerrado y acotado. Sea K′=T−1(K)⊆RnK'=T^{-1}(K)\subseteq \mathbb{R}^n

  • KK cerrado y TT continua   ⟹  K′\implies K' cerrado.
  • KK acotado y T−1T^{-1} acotado   ⟹  K′\implies K' acotado

Luego (por Heine-Borel), K′K' es compacto. Así, K=T(K′)K=T(K') es compacto pues TT continua

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Un espacio normado es de Banach si es completo.\begin{array}{l} \text{Un espacio normado es de Banach si es completo.} \end{array}

Obs:Obs:

dim(E)<∞  ⟹  E Banachdim(E)<\infty \implies E\text{ Banach}

Si ∥∥∼∥∥′\left\| \right\|\sim \left\| \right\|' en EE

(E,∥∥) Banach  ⟺  (E,∥∥′) Banach(E,\left\| \right\| )\text{ Banach}\iff(E,\left\| \right\| ')\text{ Banach}
Ejemplos:Ejemplos:

  1. (C([a,b]),∥∥1)(C([a,b]),\left\| \right\|_1) no es Banach. Recordar el ejemplo draw-metricosV-5

  2. (C([a,b]),∥∥∞)(C([a,b]),\left\| \right\|_\infty) es Banach

Se ve en la próxima clase

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Sea (E,∥∥). Sea S={x∈E:∥x∥=1}Si S es compacto, dim(E)<∞\begin{array}{l} \text{Sea $(E,\left\| \right\|)$. Sea $S=\{ x \in E:\left\| x \right\|=1 \}$}\\ \text{Si $S$ es compacto, $dim(E)<\infty$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Veamos que dim(E)=∞  ⟹  Sdim(E)=\infty \implies S no es compacto. Basta ver que

 ∃ (xn)⊆S ∣ ∥xn−xm∥≥12si n≠m\:\exists\:(x_{n})\subseteq S\:|\: \left\| x_{n}-x_{m} \right\| \geq \frac{1}{2}\quad si\:n\neq m

Lema(Riesz):Lema(Riesz): F⊂EF\subset E subespacio cerrado.

draw-normadosII-3 Entonces  ∃ x∈S ∣ d(x,F)≥12\:\exists\:x \in S\:|\:d(x,F)\geq \frac{1}{2}

  • Tomo x1∈Sx_{1}\in S cualquiera.
  • Tomo x2∈S ∣ d(x2,<x1>)≥12x_{2}\in S\:|\:d(x_{2},<x_{1}>)\geq \frac{1}{2} Así, ∥x2−x1∥≥12\left\| x_{2}-x_{1} \right\|\geq \frac{1}{2}

<x1> =F<x_{1}> \:=F es cerrado, propio pues dim(F)<∞dim(F)<\infty

    $\vdots$
  • Tomo xn+1∈S ∣ d(xn11,<x1,…,xn>)≥12x_{n+1}\in S\:|\:d(x_{n_{1}1},<x_{1},\dots,x_{n>})\geq \frac{1}{2} Así, ∥xn+1−xk∥≥12∀1≤k≤n\left\| x_{n+1}-x_{k} \right\|\geq \frac{1}{2}\quad\forall1\leq k\leq n

Citas y Comentarios

Referencia para la próxima clase: 6.3 Abbott Veremos convergencia uniforme

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