2025 - Teórica 15 - Espacios normados I

Thu-22-05-2025 18:04 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Espacios Normados

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$Obs:$ Los espacios normados son espacios métricos con $d(x,y)=\lvert \lvert x-y \rvert\rvert$ . No todas las distancias provienen de una norma.

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En $(\mathbb{R},\delta)$

$$\not\exists\:\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert\text{ en }\mathbb{R}\bigm| \delta(x,y)=\lvert \lvert x-y \rvert\rvert$$

Para probar esto, supongamos que existe:

$$\begin{array}{c} 1=\delta(2,1)=\lvert \lvert 2-1 \rvert\rvert =\lvert \lvert 1 \rvert\rvert \\ 1=\delta(3,1)=\lvert \lvert 3-1 \rvert\rvert =2\cdot \lvert \lvert 1 \rvert\rvert =2 \end{array}$$

Absurdo, entonces no existe.

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$$Ejemplos:$$

1. $E=\mathbb{R}^{n}$

$$\begin{array}{l} \displaystyle \lvert \lvert x \rvert\rvert_{1}=\sum_{i=1}^{n} |x_{i}| \\ \displaystyle \lvert \lvert x \rvert\rvert _{2}=\left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \\ \lvert \lvert x \rvert\rvert _{\infty}=\underset{ 1\leq i\leq n }{ sup }\:\left| x_{i} \right| \end{array}$$

2. $E=\mathscr{l}^{\infty(\mathbb{R})}=\{ ((a_{n})\subseteq \mathbb{R},\underset{ n }{ sup }\:\left| a_{n} \right|<\infty)\}$ $\mathscr{l}^{\infty}$ es espacio vectorial. $(a_{n})+(b_{n})=(a_{n}+b_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ $\alpha(a_{n})=(\alpha a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ $\lvert \lvert (a_{n}) \rvert\rvert_{\infty}=\underset{ n }{ sup }\:\left| a_{n} \right|$ es una norma.

• $\lvert \lvert (a_{n}) \rvert\rvert_{\infty}=0$

$$\implies \underset{ n }{ sup }\:\left| a_{n} \right| =0\implies |a_{n}|=0\quad \forall n$$ $$\implies a_{n}=0\quad \forall n$$

• $\lvert \lvert \alpha\cdot(a_{n}) \rvert\rvert_{\infty}=\lvert \lvert (\alpha\cdot a_{n}) \rvert\rvert_{\infty}$

$$=\underset{ n }{ sup }\:\left| \alpha\cdot a_{n} \right| =|\alpha|\cdot \lvert \lvert (a_{n}) \rvert\rvert _{\infty}$$

• $\lvert \lvert (a_{n})+(b_{n}) \rvert\rvert_{\infty}=\underset{ n }{ sup }\:\left| a_{n}+b_{n} \right|$

$$\leq \underset{ n }{ sup }\:(\left| a_{n} \right|+|b_{n}|)\leq \underset{ n }{ sup }\:\left| a_{n} \right| +\underset{ n }{ sup }\:\left| b_{n} \right| =\lvert \lvert (a_{n}) \rvert\rvert _{\infty}+\lvert \lvert b_{n} \rvert\rvert _{\infty}$$

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$\mathscr{l}^{\infty}$ tiene dimensión infinito

$$e_{1}=(1,0,0,0,,,,) \quad e_{2}=(0,1,0,0,0,\dots) \quad e_{3}=(0,0,1,0,\dots)$$ $$e_{m}=\underbrace{ 0,0,\dots,0,1, }_{ \text{m-esimo elemento} }0,\dots, 0$$

Son $li$ $\impliedby dim(E)=\infty$

3. $E=C[0,1]=\{ f:[0,1]\to \mathbb{R} \\\text{ }continu a\}$ $(f+g)(t)$=$f(t)+g(t)$
   $(\alpha f)(t)=\alpha\cdot f(t)$ $\lvert \lvert f \rvert\rvert=\underset{ t\in[0,1] }{ sup }\:\left|f(t) \right|$

$$\left\lvert \left\lvert_{} \int _{0}^{1} |f(t)| \, dx \right\rvert \right\rvert$$

Son normas. Además tiene dimensión infinito: $\frac{f_{n}}(t)=t^{n},$ $n\geq_{0}$
Son $li$ y son $\infty$

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$Obs:$ Sea $(E,\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{})$

$$B(x,r)=\{ y \in E:\lvert \lvert x-y \rvert\rvert <r \}$$

Si $y \in B(x,r)\implies$ el segmento que une a $y$ con $x$ también está en la bola.

La bola es convexa o conexa?

$$\begin{array}{c} z(t)=tx+(1-t)y,\quad t \in[0,1] \\ \lvert \lvert z(t)-x \rvert\rvert =\lvert \lvert tx+(1-t)y-x \rvert\rvert =\lvert \lvert (t-1)x+(1-t)y \rvert\rvert = \\ =\underbrace{ |1-t| }_{ \leq 1 }\cdot \lvert \lvert y-x \rvert\rvert <r \end{array}$$

$\implies z(t)\in B(x,r)$ $\forall t\in[0,1]$

$$B(x,r)=\{ y:\lvert \lvert x-y \rvert\rvert <r \}=\{ y+x:\lvert \lvert y \rvert\rvert <r \}=B(0,r)+x=\{ y:\lvert \lvert y \rvert\rvert <r \}+x=$$ $$\{ r\cdot y:\lvert \lvert y \rvert\rvert <1 \}+x=r\cdot B(0,1)+x$$

Esto quiere decir que en los espacios normados trasladar bolas, achicarlas o agrandarlas es indistinto.

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Pensar esto último porque vale esto. Es por esto: Recordamos que $\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{1},\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{2}$ equivalentes $\iff \forall x \in E \quad\forall r>0\:\exists\:r_{1},r_{2}>0\bigm|$

$$\begin{array}{c} B_{1}(x,r_{1})\subseteq B_{2}(x,r) \\ B_{2}(x,r_{2})\subseteq B_{1}(x,r) \end{array}$$

Si $x=0,r=1\implies \:\exists\:r_{1}>0\bigm|B_{1}(0,r_{1})\subseteq B_{2}(0,1)$

$$\begin{array}{c} \frac{2}{r_{1}}B_{1}(0,r_{1})\subseteq \frac{2}{r_{1}}B_{2}(0,1) \\ B_{1}(0,r_{1})\subseteq B_{2}\left( 0,\underbrace{ \frac{2}{r_{1}} }_{ r } \right) \end{array}$$

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$$\implies \lvert \lvert x \rvert\rvert _{2}\leq r\implies \lvert \lvert x \rvert\rvert _{2}\leq \underbrace{ r }_{ c_{2} }\cdot \lvert \lvert x \rvert\rvert _{1}$$

Sea $x \in E$ cualquiera, $x\neq0$ Sea $\displaystyle\tilde{x}=\frac{x}{\lvert \lvert x \rvert\rvert_{1}}$ , así $\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert_{1}=1$

$$\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{2}\leq c_{2}\cdot \lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{1}$$ $$\left\lvert \left\lvert \frac{x}{\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{1}} \right\rvert \right\rvert _{2}\leq c_{2}\cdot\left\lvert \left\lvert \frac{x}{\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{1}} \right\rvert \right\rvert _{1}$$ $$\frac{1}{\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{1}}\cdot \lvert \lvert x \rvert\rvert _{2}\leq c_{2}\cdot\frac{1}{\lvert \lvert \tilde{x} \rvert\rvert _{1}}\cdot \lvert \lvert x \rvert\rvert _{1}$$ $$\implies \lvert \lvert x \rvert\rvert _{2}\leq c_{2}\cdot \lvert \lvert x \rvert\rvert _{1}\quad \quad \forall x \in E$$

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