#19Teoria de la medida

2025 - Teórica 19 - Teoria de la medida I

22 min de lectura

Thu-05-06-2025 18:08 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Teoria de la medida

Nos interesa definir una noción de medida para conjuntos en R\mathbb{R}

μ:P(R)⟶[0,+∞]\mu:\mathcal{P}(\mathbb{R})\longrightarrow [0,+\infty]

Esto no lo vamos a poder hacer. Aún así, la mayoría de los conjuntos que nos interesan medir serán medibles. No es todo P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R}) pero igual nos sirve.

Nos gustaría que μ\mu cumpla:

  • μ([a,b])=b−a\mu([a,b])=b-a
  • μ((a,b])=μ([a,b])−μ({a})=b−a\mu((a,b])=\mu([a,b])-\mu(\{ a \})=b-a
  • Si a=−∞a=-\infty y b=+∞  ⟹  μ((a,b))=+∞b=+\infty\implies \mu((a,b))=+\infty
  • μ(A∪dB)=μ(A)+μ(B)\mu(A\overset{ d }{ \cup }B)=\mu(A)+\mu(B)
  • μ(A+x)=μ(A)∀x∈R\mu(A+x)=\mu(A)\quad\forall x \in \mathbb{R}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Un conjunto E⊆R es nulo si ∀E>0 ∃ {In}n∈N intervalos abiertos tal que:1. E⊆⋃n∈NIn2. ∑n=1∞long(In)<E \begin{array}{l} \text{Un conjunto $E\subseteq\mathbb{R}$ es nulo si $\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:\{ I_{n} \}_{n\in \mathbb{N}}$ intervalos abiertos tal que:}\\ \text{1. $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n}$}\\ \text{2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}long(I_{n})<\mathcal{E}$ } \end{array}
Ejemplos:Ejemplos:

E={x}E=\{ x \} Para E>0,(x−E2,x+E2)=I\displaystyle\mathcal{E}>0,\left( x-\frac{\mathcal{E}}{2},x+\frac{\mathcal{E}}{2} \right)=I

  • E⊆IE\subseteq I
  • long(I)=Elong(I)=\mathcal{E}   ⟹  E\implies E es nulo.

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Si E=⋃n∈NEn,En nulo   ⟹  E es nulo\begin{array}{l} \text{Si $\displaystyle E=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_{n},E_{n}$ nulo $\implies E$ es nulo} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Sea E>0,\mathcal{E}>0, como EnE_{n} es nulo   ⟹   ∃ (Ikn)k∈N∣En⊆⋃k∈NIkn\implies \:\exists\:(I^{n}_{k})_{k\in \mathbb{N}}\bigm|E_{n}\displaystyle\subseteq \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I^{n}_{k} y ∑k=1∞long(Ikn)<E2n\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}long(I^{n}_{k})<\frac{\mathcal{E}}{2^{n}}
Tomo {Ikn}k,n∈N\displaystyle\{ I^{n}_{k} \}_{k,n\in \mathbb{N}} es numerable. (Union numerable de conjuntos)

E=⋃n∈NEn⊆⋃k,n∈NIknE=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} E_{n}\subseteq \bigcup_{k,n\in \mathbb{N}}I^{n} _{k}

y

∑n=1∞∑k=1∞long(Ikn)⏟<E2n<∑n=1∞E2n=E\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{\infty} long(I^{n} _{k}) }_{ <\frac{\mathcal{E}}{2^{n} } }<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{E}}{2^{n} }=\mathcal{E} Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea X un conjunto y A⊆P(X). Decimos que A es un σ-algebra si1. X∈A2. Si (An)∈A  ⟹  ⋃n∈NAn∈A3. Si A∈A  ⟹  Ac∈A \begin{array}{l} \text{Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X).$ Decimos que $\mathcal{A}$ es un $\sigma$-algebra si}\\ \text{1. $X \in\mathcal{A}$}\\ \text{2. Si $\displaystyle(A_{n})\in\mathcal{A}\implies \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \in\mathcal{A}$}\\ \text{3. Si $A \in\mathcal{A}\implies A^{c}\in\mathcal{A}$ } \end{array}

Obs:Obs:

∅∈A siempre, pues ∅=Xc \text{$\emptyset \in\mathcal{A}$ siempre, pues $\emptyset=X^{c}$ }
Ejemplos:Ejemplos: 1:A={∅,X} es σ-aˊlgebra 1:\quad \mathcal{A}=\{ \emptyset,X \}\text{ es $\sigma$-álgebra } 2:X=R,A={A⊆R:A es abierto}2:\quad X=\mathbb{R},\quad \mathcal{A}=\{ A\subseteq \mathbb{R}:A\text{ es abierto} \}

A\mathcal{A} no es σ−\sigma-álgebra. Basta tomar A=(−∞,0)A=(-\infty,0) abierto. Su complemento no está en A.\mathcal{A}. Pues Ac=[0,+∞)A^{c}=[0,+\infty) no es abierto y no pertenece a A.\mathcal{A}.

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

La σ−aˊlgebra M es la σ−aˊlgebra generada por los intervalos abiertos y los conjuntos nulos. M se llama la σ−aˊlgebra de Lebesgue.M=⋂A contiene a losintervalos y los nulosA\begin{array}{l} \text{La $\sigma-$álgebra $\mathcal{M}$ es la $\sigma-$álgebra generada por los intervalos abiertos y los conjuntos nulos. }\\ \text{$\mathcal{M}$ se llama la $\sigma-$álgebra de Lebesgue.}\\ \mathcal{M}=\underset{ \mathcal{A}\underset{ \text{intervalos y los nulos} }{ \text{ contiene a los} } }{ \bigcap }\mathcal{A} \end{array}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Si A⊆R abierto   ⟹  A∈M\begin{array}{l} \text{Si $A\subseteq \mathbb{R}$ abierto $\implies\mathcal{A}\in\mathcal{M}$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Vamos a probar que A⊆R  ⟹  A=⋃n∈NInA\subseteq \mathbb{R}\implies \displaystyle A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} , con InI_{n} intervalo abierto.

Sea x∈A  ⟹   ∃ r>0∣(x−r,x+r)⊆Ax \in A\implies \:\exists\:r>0\bigm|(x-r,x+r)\subseteq A Sea IxI_{x} el intervalo abierto más grande(en términos de contención y longitud) tal que x∈Ix⊆Ax \in I_{x}\subseteq A Sea y∈A,x≠y  ⟹  Ix=Iyy \in A,x\neq y\implies I_{x}=I_{y} o bien Ix∩Iy=∅I_{x}\cap I_{y}=\emptyset

Supongo Ix∩Iy≠∅I_{x}\cap I_{y}\neq \emptyset Sea z∈Ix∩Iyz \in I_{x}\cap I_{y}

x∈Ix⊆Izy∈Iy⊆Iz  ⟹  Ix=Iz=Iy\begin{array}{c} x \in I_{x}\subseteq I_{z} \\ y \in I_{y}\subseteq I_{z} \\ \implies I_{x}=I_{z}=I_{y} \end{array}

Entonces A=⋃dj∈JIxjA=\displaystyle\overset{ d }{ \bigcup }_{j \in J}I_{x_{j}} O sea, tiro todos los intervalos repetidos. Por ejercicio de la guía 2, #J≤#N\#J\leq\#\mathbb{N}

Por abajo, estamos usando el axioma de elección.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Otra demo:

Vamos a probar que todo conjunto abierto A⊆RA \subseteq \mathbb{R} puede escribirse como una unión numerable disjunta de intervalos abiertos.

Paso 1.
Como AA es abierto, entonces para todo x∈Ax \in A, existe un r>0r > 0 tal que:

(x−r,x+r)⊆A(x - r, x + r) \subseteq A

Es decir, alrededor de cada punto xx hay un intervalo abierto contenido en AA.

Paso 2.
Definimos, para cada x∈Ax \in A, el siguiente intervalo:

Ix:=el mayor intervalo abierto tal que x∈Ix⊆AI_x := \text{el mayor intervalo abierto tal que } x \in I_x \subseteq A

Esto significa que cualquier intervalo abierto JJ que contenga a xx y esté contenido en AA debe cumplir J⊆IxJ \subseteq I_x.

Paso 3.
Queremos probar:

Si Ix∩Iy≠∅I_x \cap I_y \ne \emptyset, entonces Ix=IyI_x = I_y

Demostración del paso 3:

Supongamos que Ix∩Iy≠∅I_x \cap I_y \ne \emptyset y sea z∈Ix∩Iyz \in I_x \cap I_y. Entonces:

  • z∈Az \in A
  • Como z∈Ixz \in I_x y Ix⊆AI_x \subseteq A, y lo mismo para IyI_y, se deduce que:
Ix⊆IzyIy⊆IzI_x \subseteq I_z \quad \text{y} \quad I_y \subseteq I_z

porque IzI_z es el mayor intervalo que contiene a zz y está contenido en AA.

Pero además:

  • Como x∈Ix⊆Ax \in I_x \subseteq A y x∈Izx \in I_z, entonces por maximalidad de IxI_x, se cumple:
Iz⊆IxI_z \subseteq I_x
  • Lo mismo vale para IyI_y, ya que y∈Iyy \in I_y y y∈Izy \in I_z:
Iz⊆IyI_z \subseteq I_y

Por lo tanto:

Ix⊆Iz⊆Ix⇒Ix=IzI_x \subseteq I_z \subseteq I_x \quad \Rightarrow \quad I_x = I_z

y

Iy⊆Iz⊆Iy⇒Iy=IzI_y \subseteq I_z \subseteq I_y \quad \Rightarrow \quad I_y = I_z

Finalmente:

Ix=Iz=IyI_x = I_z = I_y

Conclusión: si dos de estos intervalos se intersectan, deben ser exactamente el mismo intervalo.

Paso 4.
Entonces, los intervalos IxI_x con x∈Ax \in A son o bien disjuntos o iguales.

Tomamos una familia de representantes {Ixj}j∈J\{ I_{x_j} \}_{j \in J}, es decir, una sola copia por cada intervalo distinto.

Así, se cumple:

A=⨆j∈JIxjA = \bigsqcup_{j \in J} I_{x_j}

(donde ⨆\bigsqcup denota unión disjunta)

Paso 5.
Cada intervalo IxjI_{x_j} es un intervalo abierto no vacío, por lo tanto contiene un número racional.

Como Q\mathbb{Q} es numerable, y cada intervalo disjunto contiene un racional diferente, el conjunto JJ debe ser a lo sumo numerable:

#J≤#Q=#N\# J \leq \# \mathbb{Q} = \# \mathbb{N}

Conclusión:
Todo conjunto abierto en R\mathbb{R} puede escribirse como una unión disjunta numerable de intervalos abiertos. Y por tanto es medible.

Por abajo, se usa una versión del axioma de elección al seleccionar representantes.

Q.E.D.□\boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} } Existencia de la medida de Lebesgue

Existe una uˊnica funcioˊn μ:M⟶[0,+∞] tal que\begin{array}{l} \text{Existe una única función $\mu:\mathcal{M}\longrightarrow[0,+\infty]$ tal que} \end{array}
  1. Si A=(a,b)  ⟹  μ(A)=b−aA=(a,b)\implies \mu(A)=b-a. (Si a=−∞a=-\infty o b=+∞  ⟹  μ(A)=+∞b=+\infty\implies \mu(A)=+\infty ) (Medida de intervalos)
  2. Si (An)⊆M(A_{n})\subseteq\mathcal{M}
  ⟹  μ(⋃n∈NAn)≤∑n=1∞μ(An)(σ−subaditividad)\implies \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_{n})\quad \text{($\sigma-$subaditividad)}

Si los AnA_{n} son disjuntos dos a dos:

  ⟹  μ(⋃dn∈NAn)=∑n=1∞μ(An)(σ−aditividad)\implies \mu\left( \overset{ d }{ \bigcup }_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})\quad \text{($\sigma-$aditividad)}
  1. Si A∈MA\in\mathcal{M}
μ(A)=inf⁡{μ(U):A⊆U,U abierto}(Regularidad exterior de la medida)\mu(A)=\inf\{ \mu(U): A\subseteq U,U\text{ abierto}\}\quad \text{(Regularidad exterior de la medida)}
Ejemplos:Ejemplos: 1:μ(∅)=01:\quad \mu(\emptyset)=0

Sea E>0,IE=(−E2,E2)\mathcal{E}>0,I_{\mathcal{E}}=\left( \frac{-\mathcal{E}}{2},\frac{\mathcal{E}}{2} \right) μ(IE)=E\mu(I_{\mathcal{E}})=\mathcal{E} y ∅∈IE\emptyset \in I_{\mathcal{E}}
  ⟹  μ(∅)≤μ(IE)=E∀E>0\implies \mu(\emptyset)\leq \mu(I_{\mathcal{E}})=\mathcal{E}\quad\forall\mathcal{E}>0   ⟹  μ(∅)=0\implies \mu(\emptyset)=0

Obs:Obs:

[!infobox] Proposición: Subaditividad Finita Contexto: Propiedades elementales de la Medida Enunciado: Sea (X,M,μ)(X, \mathcal{M}, \mu) un espacio de medida. Si A,B∈MA, B \in \mathcal{M}, entonces:

μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)\mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B)

Clave: Se basa en descomponer la unión en partes disjuntas y aplicar monotonía.

Demostración:

  1. Descomposición disjunta: Podemos expresar la unión de los conjuntos como la unión de AA con la parte de BB que no pertenece a AA:
A∪B=A∪(B∖A)A \cup B = A \cup (B \setminus A) 
Observamos que $A \cap (B \setminus A) = \emptyset$, por lo que los conjuntos son disjuntos.

2. Aditividad: Por la propiedad de aditividad finita de la medida (consecuencia de la σ\sigma-aditividad para conjuntos disjuntos):

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B∖A)\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A)
  1. Monotonía: Sabemos que (B∖A)⊆B(B \setminus A) \subseteq B. Por la propiedad de monotonía de la medida:
μ(B∖A)≤μ(B)\mu(B \setminus A) \leq \mu(B)
  1. Conclusión: Sustituyendo la desigualdad de (3) en la ecuación de (2):
μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)\mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B) ■\blacksquare

[!infobox] Proposición: De σ\sigma-aditividad a Aditividad Finita Contexto: Teoría de la Medida (Propiedades básicas) Enunciado: Sea (X,M,μ)(X, \mathcal{M}, \mu) un espacio de medida. Si μ\mu es σ\sigma-aditiva, entonces μ\mu es finitamente aditiva. Es decir, para cualquier colección finita de conjuntos disjuntos A1,…,AN∈MA_1, \dots, A_N \in \mathcal{M}:

μ(⋃k=1NAk)=∑k=1Nμ(Ak)\mu\left( \bigcup_{k=1}^{N} A_k \right) = \sum_{k=1}^{N} \mu(A_k)

Advertencia/Clave: La prueba se basa en "rellenar" la sucesión con el conjunto vacío (∅\emptyset) y usar que μ(∅)=0\mu(\emptyset)=0.

Demostración:

Sean A1,…,AN∈MA_1, \dots, A_N \in \mathcal{M} conjuntos disjuntos dos a dos.

  1. Construcción Auxiliar: Definimos una sucesión infinita de conjuntos (En)n∈N(E_n)_{n \in \mathbb{N}} tal que:
En={Ansi 1≤n≤N∅si n>NE_n = \begin{cases} A_n & \text{si } 1 \leq n \leq N \\ \emptyset & \text{si } n > N \end{cases}

  1. Disjuntez: La sucesión (En)(E_n) es disjunta dos a dos dado que los AnA_n lo son y la intersección con ∅\emptyset es vacía.

  2. Aplicación de σ\sigma-aditividad: Por ser μ\mu una medida:

μ(⋃n=1∞En)=∑n=1∞μ(En)\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n)

  1. Evaluación de la Serie: Analizamos la unión y la suma:

    • ⋃n=1∞En=(⋃n=1NAn)∪∅∪⋯=⋃n=1NAn\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = (\bigcup_{n=1}^{N} A_n) \cup \emptyset \cup \dots = \bigcup_{n=1}^{N} A_n
    • ∑n=1∞μ(En)=∑n=1Nμ(An)+∑n=N+1∞μ(∅)\sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) = \sum_{n=1}^{N} \mu(A_n) + \sum_{n=N+1}^{\infty} \mu(\emptyset)

    Dado que μ(∅)=0\mu(\emptyset) = 0, la cola de la serie es 00.

  2. Conclusión:

μ(⋃n=1NAn)=∑n=1Nμ(An)\mu\left( \bigcup_{n=1}^{N} A_n \right) = \sum_{n=1}^{N} \mu(A_n) ■\blacksquare

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