#20Teoria de la medida

2025 - Teórica 20 - Teoria de la medida II

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Tue-10-06-2025 19:10 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Teoria de la medida

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

A⊆R,A es nulo   ⟺  μ(A)=0 \begin{array}{l} \text{$A\subseteq \mathbb{R},A$ es nulo $\iff \mu(A)=0$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }   ⟹  A\implies A es nulo   ⟹  A∈M\implies A \in\mathcal{M} (por definición)

μ(A)=inf⁡{μ(U):A⊆U,U abierto}\mu(A)=\inf\{ \mu(U):A\subseteq U,U\:\text{abierto} \}

Dado E>0, ∃ {In}n∈N\mathcal{E}>0,\:\exists\:\{ I_{n} \}_{n\in \mathbb{N}} intervalos abiertos tal que A⊆⋃n∈NInA\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} y ∑n∈Nμ(In)<E\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E} Sea U=⋃n∈NInU=\displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} es abierto y μ(U)≤∑n∈Nμ(In)<E\mu(U)\leq \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E} .   ⟹  μ(A)=0\implies \mu(A)=0

  ⟸  )\impliedby)

μ(A)=inf⁡{μ(U):A⊆U,U abierto}=0\mu(A)=\inf\{ \mu(U):A\subseteq U,U\text{ abierto} \}=0

Dado E>0 ∃ U\mathcal{E}>0\:\exists\:U abierto, A⊆UA\subseteq U y μ(U)<E.\mu(U)<\mathcal{E}. Como UU abierto   ⟹   ∃ {In}n∈N\implies \:\exists\:\{ I_{n} \}_{n\in \mathbb{N}} de intervalos abiertos tal que U=⋃n∈NdIn\displaystyle U=\overset{ d }{ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} }I_{n}

  ⟹  A⊆⋃n∈NIn\implies A\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} μ(U)=∑n∈Nμ(In)<E\mu(U)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E}

Obs:Obs:

Si A es nulo y B⊆A  ⟹  B es nulo.\text{Si $A$ es nulo y $B\subseteq A\implies B$ es nulo.}

Si {In}∣A⊆⋃In  ⟹  \{ I_{n} \}\bigm|A\subseteq \bigcup I_{n}\implies también me sirven para BB y listo.

En particular, si μ(A)=0  ⟹  ∀B⊆A:B∈M\mu(A)=0\implies \forall B\subseteq A:B \in\mathcal{M} y μ(B)=0\mu(B)=0

Obs:Obs:

Si A,B∈M,A⊆B  ⟹  μ(A)≤μ(B) \text{Si $A,B \in\mathcal{M},A\subseteq B\implies \mu(A)\leq \mu(B)$ } B=A∪dB∖AB=A\overset{ d }{ \cup} B \setminus A

Notar que B∖A∈MB \setminus A \in\mathcal{M} (Ej. de la guía)

  ⟹  μ(B)=μ(A)+μ(B∖A)⏟≥0≥μ(A)\implies \mu(B)=\mu(A)+\underbrace{ \mu(B \setminus A) }_{ \geq 0 }\geq \mu(A)

Obs:Obs:

Si A,B∈M,A⊆B y μ(A)<∞  ⟹  μ(B∖A)=μ(B)−μ(A) \text{Si $A,B \in \mathcal{M},A\subseteq B$ y $\mu(A)<\infty\implies \mu(B \setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$ }

Obs:Obs:

Si A,B∈M  ⟹  μ(A∪B)=μ(A)+μ(B∖A)\text{Si $A,B \in\mathcal{M}\implies \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B \setminus A)$}

A∪B=A⋃dB∖AA\cup B=A\overset{ d }{ \bigcup }B \setminus A

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} } (regularidad de μ\mu y aproximación por cerrados)

Sea A∈M. Entonces:1. ∀E>0, ∃ U abierto ∣A⊆U y μ(U∖A)<E 2. ∀E>0, ∃ F cerrado ∣F⊆A y μ(A∖F)<E \begin{array}{l} \text{Sea $A\in\mathcal{M}$. Entonces:}\\ \text{1. $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:U$ abierto $\bigm|A\subseteq U$ y $\mu(U \setminus A)< \mathcal{E}$ }\\ \text{2. $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:F$ cerrado $\bigm|F\subseteq A$ y $\mu(A \setminus F)< \mathcal{E}$ } \end{array}
  1. es equivalente a la definición de regularidad exterior de la medida de la teo anterior.

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } (1) Sea E>0,\mathcal{E}>0, por definición de ínfimo (punto 3 del teorema de existencia de la medida de Lebesgue),  ∃ U\:\exists\:U abierto, A⊆U∣μ(U)≤μ(A)+EA\subseteq U\bigm|\mu(U)\leq \mu(A)+\mathcal{E} Si μ(A)<∞\mu(A)<\infty

μ(U∖A)=μ(U)−μ(A)<E(*)\mu(U \setminus A)=\mu(U)-\mu(A)<\mathcal{E}\tag{*}

por lo anterior.

A=⋃n∈NdA∩[n,n+1]⏟AnA=\overset{ d }{ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} }\underbrace{ A\cap[n,n+1] }_{ A_{n} }

AnA_{n} es medible porque es intersección de medibles.

AnA_{n} tiene medida finita

μ(An)≤μ([n,n+1])=1∀n∈Z\mu(A_{n})\leq \mu([n,n+1])=1\quad\forall n\in \mathbb{Z}

Por lo que vimos recién(*),  ∃ Un\:\exists\:U_{n} abierto, An⊆Un∣μ(Un∖An)<E2∣n∣\displaystyle A_{n}\subseteq U_{n}\bigm|\mu(U_{n} \setminus A_{n})<\frac{\mathcal{E}}{2^{|n|}}

Sea U=⋃n∈ZUn\displaystyle U=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}U_{n}

μ(U∖A)≤μ(⋃n∈Z(Un∖An))≤∑n∈Zμ(Un∖An)<∑n∈ZE2∣n∣=E\mu(U \setminus A)\leq \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{Z}}(U_{n} \setminus A_{n}) \right)\leq \sum_{n\in \mathbb{Z}}\mu(U_{n} \setminus A_{n})<\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{\mathcal{E}}{2^{|n|} }=\mathcal{E}

(2)

Sea B=Ac∈M.B=A^{c} \in\mathcal{M}. Por (1),  ∃ U\:\exists\:U abierto, B⊆U∣μ(U∖B)<EB\subseteq U\bigm|\mu(U \setminus B)<\mathcal{E} Sea F=UcF=U^{c} es cerrado, F⊆A.F\subseteq A.

U∖B=U∩Bc=U∩A=Fc∩A=A∖FU \setminus B=U\cap B^{c} =U\cap A=F^{c} \cap A=A \setminus F Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Acá es clave saber que A∖B={x∈A:x∉B}=A∩BcA\setminus B=\{ x \in A:x\not\in B \}=A\cap B^{c}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} } (Continuidad de la medida)

1. Sean (An)n∈N⊆M con A1⊆A2⊆⋯⊆ \begin{array}{l} \text{1. Sean $( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M}$ con $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots \subseteq$ } \end{array} Entonces μ(⋃n∈NAn)=lim⁡n→∞μ(An)\text{Entonces $\displaystyle\mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(A_{n})$} 2. Sean (Bn)n∈N⊆M,B1⊇B2⊇⋯⊇ y  ∃ n0∈N∣μ(Bn0)<∞ \text{2. Sean $( B_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M},B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq\dots \supseteq$ y $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|\mu(B_{n_{0}})<\infty$ } Entonces μ(⋂n∈NBn)=lim⁡n→∞μ(Bn) \text{Entonces $\displaystyle\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(B_{n})$ }

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Dada en clase (1) Defino

A1~=A1A2~=A2∖A1A3~=A3∖A2⋮\begin{array}{c} \tilde{A_{1}}=A_{1} \\ \tilde{A_{2}}=A_{2}\setminus A_{1} \\ \tilde{A_{3}}=A_{3}\setminus A_{2} \\ \vdots \end{array} ⋃n∈NAn=⋃dn∈NAn~\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}=\overset{ d }{ \bigcup }_{n\in \mathbb{N}}\tilde{A_{n}} μ(⋃n∈NAn)=μ(⋃n∈nNdAn~)=∑n∈Nμ(An~)=lim⁡N→∞∑n=1Nμ(An~)=lim⁡N→∞μ(⋃n=1NA~n)\mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_{n}\right)=\mu\left(\overset{ d }{ \bigcup_{n\in n\mathbb{N}} }\tilde{A_{n}} \right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(\tilde{A_{n}})=\underset{ N\to \infty }{ \lim } \sum_{n=1}^{N} \mu(\tilde{A_{n}})=\underset{ N\to \infty }{ \lim } \mu\left( \overset{ N }{ \bigcup_{n=1} }\tilde{A}_{n} \right) =lim⁡N→∞μ(AN)=\underset{ N\to \infty }{ \lim } \mu(A_{N}) Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

(2)

Defino An=B1∖BnA_{n}=B_{1} \setminus B_{n} Así me queda una sucesión de conjuntos medibles, pues la resta de medibles da medible. Y también:

A1⊆A2⊆⋯⊆A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots \subseteq

con (An)n∈N⊆M( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M} Por (1)

  ⟹  μ(⋃n∈NAn)=lim⁡n→∞μ(An)\implies \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(A_{n}) ⋃n∈NAn=⋃n∈NB1∖Bn=⋃n∈NB1∩Bnc\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{1} \setminus B_{n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{1}\cap B_{n}^{c}

Para demostrar esto usamos De Morgan, también sirve para demostrar que la intersección numerable de medibles da medible.

=B1∩(⋃n∈NBnc)=B1∩(⋂n∈NBn)c=B1∖⋂n∈NBn=B_{1}\cap\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{n}^{c} \right)=B_{1}\cap\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)^{c}=B_{1} \setminus \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} μ(⋃n∈NAn)=μ(B1∖⋂n∈NBn)=μ(B1)−μ(⋂n∈NBn)\mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\mu\left( B_{1} \setminus \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\mu(B_{1})-\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)

Tengo que demostrar que la intersección ⋂Bn\bigcap B_{n} es finita. A partir de un n0:Bnn_{0}:B_{n} es finito para n≥n0n\geq n_{0} ... Porque ⋂Bn⊆Bn0\bigcap B_{n}\subseteq B_{n_{0}} y μ(Bn0)<∞  ⟹  μ(⋂Bn)<∞\mu(B_{n_{0}})<\infty\implies \mu\left( \bigcap B_{n} \right)<\infty

Por otro lado

μ(An)=μ(B1∖Bn)=μ(B1)−μ(Bn)∀n≥n0\mu(A_{n})=\mu(B_{1} \setminus B_{n})=\mu(B_{1})-\mu(B_{n})\quad\forall n\geq n_{0}   ⟹  μ(B1)−μ(⋂n∈NBn)=lim⁡n→∞μ(B1)−μ(Bn)\implies \mu(B_{1})-\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(B_{1})-\mu(B_{n})   ⟹  μ(⋂n∈NBn)=lim⁡n→∞μ(Bn)\implies \mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(B_{n})

Esto se rompe si B1B_{1} es infinito. Esto se arregla si tomamos como B1B_{1} a Bn0B_{n_{0}} y listo.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

[!infobox] Teorema: Continuidad de la Medida Contexto: Teoría de la Medida (Propiedades de Monotonía Límite) Enunciado: Sea (X,M,μ)(X, \mathcal{M}, \mu) un espacio de medida.

  1. Continuidad desde abajo: Si (An)⊆M(A_n) \subseteq \mathcal{M} es una sucesión creciente (An⊆An+1A_n \subseteq A_{n+1}):
μ(⋃n=1∞An)=lim⁡n→∞μ(An)\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)
  1. Continuidad desde arriba: Si (Bn)⊆M(B_n) \subseteq \mathcal{M} es una sucesión decreciente (Bn⊇Bn+1B_n \supseteq B_{n+1}) y existe al menos un n0n_0 tal que μ(Bn0)<∞\mu(B_{n_0}) < \infty:
μ(⋂n=1∞Bn)=lim⁡n→∞μ(Bn)\mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n)

Advertencia/Clave: En el punto 2, la condición de finitud es crucial para evitar indeterminaciones del tipo ∞−∞\infty - \infty. Si todos los BnB_n tienen medida infinita, el teorema puede fallar (Ej: Bn=[n,∞)B_n = [n, \infty) en Lebesgue).

Idea Demostración:

μ(⋃n=1∞An)=μ(⋃n=1∞En)(Identidad de conjuntos)=∑n=1∞μ(En)(Por σ-aditividad en disjuntos)=lim⁡N→∞∑n=1Nμ(En)(Definicioˊn de serie convergente)=lim⁡N→∞μ(⋃n=1NEn)(Por aditividad finita)=lim⁡N→∞μ(AN)(Por propiedad telescoˊpica)\begin{aligned} \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) &= \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) & \text{(Identidad de conjuntos)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) & \text{(Por } \sigma\text{-aditividad en disjuntos)} \\ &= \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \mu(E_n) & \text{(Definición de serie convergente)} \\ &= \lim_{N \to \infty} \mu\left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) & \text{(Por aditividad finita)} \\ &= \lim_{N \to \infty} \mu(A_N) & \text{(Por propiedad telescópica)} \end{aligned}

[!infobox] Demostración Detallada: Continuidad de la Medida (Caso Creciente) Contexto: Teorema de Continuidad de la Medida Enunciado: Sea (An)(A_n) una sucesión creciente de conjuntos medibles. Entonces μ(⋃An)=lim⁡μ(An)\mu(\bigcup A_n) = \lim \mu(A_n). Clave: La transformación de una unión creciente (solapada) en una unión disjunta (anillos).

Demostración:

  1. Construcción de Anillos Disjuntos: Definimos la sucesión (En)n∈N(E_n)_{n \in \mathbb{N}} como:
E1=A1,En=An∖An−1(∀n≥2)E_1 = A_1, \quad E_n = A_n \setminus A_{n-1} \quad (\forall n \geq 2) 
*Justificación de disjuntez:* Si $n < m$, entonces $E_n \subseteq A_n \subseteq A_{m-1}$. Como $E_m = A_m \cap A_{m-1}^c$, entonces $E_n \cap E_m = \emptyset$.

2. Desarrollo de la Medida:

μ(⋃n=1∞An)=μ(⋃n=1∞En)\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) 
> **Justificación:** Identidad de conjuntos. La unión de los conjuntos acumulados es igual a la unión de las diferencias disjuntas. Todo elemento en la unión de los $A_n$ pertenece a un "primer" $A_k$, y por tanto a $E_k$.
=∑n=1∞μ(En)= \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) 
> **Justificación:** Propiedad de $\sigma$-aditividad. Como demostramos en (1) que los $E_n$ son disjuntos dos a dos, la medida de la unión numerable es la serie de las medidas.
=lim⁡N→∞∑n=1Nμ(En)= \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \mu(E_n) 
> **Justificación:** Definición de suma infinita (Serie). En Análisis Real, el valor de una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$.
=lim⁡N→∞μ(⋃n=1NEn)= \lim_{N \to \infty} \mu\left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) 
> **Justificación:** Aditividad Finita. Para una cantidad finita $N$ de conjuntos disjuntos, la suma de las medidas es igual a la medida de la unión. (Esto es válido porque $\mu$ es una medida).
=lim⁡N→∞μ(AN)= \lim_{N \to \infty} \mu(A_N) 
> **Justificación:** Propiedad Telescópica. Reconstruimos el conjunto $A_N$ a partir de sus partes.
> $\bigcup_{n=1}^N E_n = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) \cup \dots \cup (A_N \setminus A_{N-1}) = A_N$.
> Por lo tanto, las medidas son iguales.
■\blacksquare

[!infobox] Demostración: Continuidad de la Medida (Caso Decreciente) Contexto: Teorema de Continuidad (Propiedad 2) Enunciado: Sea (Bn)n∈N⊆M(B_n)_{n\in\mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M} tal que B1⊇B2⊇…B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots y existe n0∈Nn_0 \in \mathbb{N} con μ(Bn0)<∞\mu(B_{n_0}) < \infty. Entonces:

μ(⋂n=1∞Bn)=lim⁡n→∞μ(Bn)\mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n)

Clave: Transformar la sucesión decreciente en creciente mediante complementos relativos y usar la finitud para validar la aritmética de límites.

Demostración:

  1. Reducción: Dado que estamos interesados en el límite cuando n→∞n \to \infty, podemos considerar, sin pérdida de generalidad, la sucesión a partir del índice n0n_0. Sea n≥n0n \geq n_0. Como μ(Bn0)<∞\mu(B_{n_0}) < \infty y Bn⊆Bn0B_n \subseteq B_{n_0}, entonces μ(Bn)<∞\mu(B_n) < \infty para todo n≥n0n \geq n_0.

  2. Construcción de Sucesión Creciente: Definimos la sucesión Cn=Bn0∖BnC_n = B_{n_0} \setminus B_n para n≥n0n \geq n_0.

    • Dado que Bn+1⊆BnB_{n+1} \subseteq B_n, se sigue que Bn0∖Bn⊆Bn0∖Bn+1B_{n_0} \setminus B_n \subseteq B_{n_0} \setminus B_{n+1}.
    • Por lo tanto, Cn⊆Cn+1C_n \subseteq C_{n+1} (la sucesión es creciente).

  3. Aplicación de Continuidad desde Abajo: Aplicamos el Teorema de Continuidad para sucesiones crecientes a (Cn)(C_n):

μ(⋃n=n0∞Cn)=lim⁡n→∞μ(Cn)\mu\left( \bigcup_{n=n_0}^{\infty} C_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(C_n)
  1. Desarrollo paso a paso: Analizamos el lado izquierdo (L.I.) usando las Leyes de De Morgan:
L.I.=μ(⋃n=n0∞(Bn0∖Bn))=μ(Bn0∖⋂n=n0∞Bn)\text{L.I.} = \mu\left( \bigcup_{n=n_0}^{\infty} (B_{n_0} \setminus B_n) \right) = \mu\left( B_{n_0} \setminus \bigcap_{n=n_0}^{\infty} B_n \right) 
Como $\bigcap B_n \subseteq B_{n_0}$ y $\mu(B_{n_0}) < \infty$, podemos escribir:
L.I.=μ(Bn0)−μ(⋂n=n0∞Bn)…(∗1)\text{L.I.} = \mu(B_{n_0}) - \mu\left( \bigcap_{n=n_0}^{\infty} B_n \right) \quad \dots (*1) 
Analizamos el lado derecho (L.D.):
L.D.=lim⁡n→∞μ(Bn0∖Bn)\text{L.D.} = \lim_{n \to \infty} \mu(B_{n_0} \setminus B_n) 
Como $\mu(B_n) < \infty$, aplicamos la propiedad de sustracción:
L.D.=lim⁡n→∞[μ(Bn0)−μ(Bn)]=μ(Bn0)−lim⁡n→∞μ(Bn)…(∗2)\text{L.D.} = \lim_{n \to \infty} [\mu(B_{n_0}) - \mu(B_n)] = \mu(B_{n_0}) - \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) \quad \dots (*2)
  1. Conclusión: Igualando (∗1)(*1) y (∗2)(*2):
μ(Bn0)−μ(⋂n=1∞Bn)=μ(Bn0)−lim⁡n→∞μ(Bn)\mu(B_{n_0}) - \mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \mu(B_{n_0}) - \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) 
Dado que $\mu(B_{n_0})$ es finito, podemos cancelarlo (restarlo) de ambos lados:
μ(⋂n=1∞Bn)=lim⁡n→∞μ(Bn)\mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) ■\blacksquare
Ejemplo:Ejemplo: Bn=(n,+∞)⊆RB_{n}=(n,+\infty)\subseteq \mathbb{R}

Bn∈M,μ(Bn)=+∞∀n∈NB_{n}\in\mathcal{M},\mu(B_{n})=+\infty \quad\forall n\in \mathbb{N} y B1⊇B2⊇⋯⊇B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq\dots \supseteq

Como ⋂n∈NBn=∅  ⟹  μ(⋂n∈NBn)=0\displaystyle\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n}=\emptyset\implies \mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=0 Pero lim⁡n→∞μ(Bn)=+∞\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(B_{n})=+\infty . Esto es así pues no se cumplen las hipótesis de mi teorema.

Conjunto de Cantor

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

C=⋂n=0∞Jn es el conjunto de Cantor\begin{array}{l} \text{$\mathcal{C}=\displaystyle \bigcap_{n=0}^{\infty}J_{n}$ es el conjunto de Cantor} \end{array}

Obs:Obs:

  • C\mathcal{C} es cerrado. Pues cada JnJ_{n} es la unión de 2n2^{n} intervalos cerrados.
  • C∈M\mathcal{C}\in \mathcal{M}, pues es cerrado. Es decir el complemento de un abierto.
  • J0⊇J1⊇J2⊇⋯⊇J_{0}\supseteq J_{1}\supseteq J_{2}\supseteq\dots \supseteq y μ(J0)=1<∞\mu(J_{0})=1<\infty
  ⟹  μ(C)=lim⁡n→∞μ(Jn)\implies\mu(\mathcal{C})=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(J_{n})

Cada JnJ_{n} es la unión de 2n2^{n} intervalos de longitud 13n  ⟹  μ(Jn)=(23)n\frac{1}{3^{n}}\implies \mu(J_{n})=\left( \frac{2}{3} \right)^{n}

  ⟹  μ(C)=0\implies \mu(\mathcal{C})=0
  • C\mathcal{C} no es numerable, #C=c\#\mathcal{C}=c
C={x=∑n=0∞an⋅13n:an=0∨an=2}\mathcal{C}=\left\{ x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot \frac{1}{3^{n} }:a_{n}=0\lor a_{n}=2 \right\}

Citas y Comentarios

Con esta clase ya podemos hacer toda la guía 8.

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