2025 - Teórica 12 - Compacidad I

2 de mayo de 201332 min de lectura

Tue-13-05-2025 18:04 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Compacidad

${\color{Cyan} \text{Def. :} }$

\begin{array}{l} \text{$(M,d)$ espacio métrico. $K\subseteq M$, se dice compacto si $\forall(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}\subseteq K\:\:\exists\:(x_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ convergente.}\\ \:\exists\:x \in K\bigm|x_{n_{k}}\to x \end{array}

${\color{violet} \text{Teorema :} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ acotada, entonces $\:\exists\:(a_{n_{k}})_{ k \in \mathbb{N}}\bigm|a_{n_{k}}\to a \in \mathbb{R}$} \end{array}

${\color{violet} \text{Dem:} }$ Tarea, ver demo de completitud de $\mathbb{R}$ . Donde usamos axioma del supremo, arrancábamos con una sucesión de números reales, que era de Cauchy. Y que converge en $\mathbb{R}$ .

\begin{array}{l} \textbf{Teorema (Bolzano-Weierstrass):} \\ \text{Sea } (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \text{ una sucesión acotada.} \\ \text{Entonces, existe una subsucesión convergente } (a_{n_k}) \text{ tal que } \lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a \in \mathbb{R}. \end{array}

${\color{violet} \text{Dem:}}$
Como $(a_n)$ es una sucesión acotada en $\mathbb{R}$ , definimos los siguientes subconjuntos:

\begin{array}{l} X_1 = \{ a_n : n \in \mathbb{N} \} \\ X_2 = \{ a_n : n > 2 \} \\ X_k = \{ a_n : n > k \} \end{array}

Notamos que:

X_1 \supseteq X_2 \supseteq X_3 \supseteq \dots

Cada conjunto $X_k$ está acotado (porque $(a_n)$ lo está), por lo tanto tiene ínfimo $a_k := \inf(X_k) \in \mathbb{R}$ .

Como los conjuntos están en cadena descendente:

a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \dots

Entonces $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ es monótona creciente y acotada superiormente por $\sup X_1$ , luego:

\exists a \in \mathbb{R} \text{ tal que } \lim_{k \to \infty} a_k = a

Ahora construimos una subsucesión $(a_{n_k})$ que converge a $a$ .
Para cada $k$ , como $a_k = \inf \{ a_n : n > k \}$ , existe $n_k > k$ tal que:

a_k \leq a_{n_k} \leq a_k + \frac{1}{k}

Elegimos $n_k$ estrictamente creciente, es decir $n_k > n_{k-1}$ .

Entonces:

a_k \leq a_{n_k} \leq a_k + \frac{1}{k}

Como $a_k \to a$ y $\frac{1}{k} \to 0$ , por el teorema del sandwich:

\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a

Por lo tanto, $(a_{n_k})$ es una subsucesión convergente.

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Mejor leer una demo del libro Bartle & Sherbert, "Introduction to Real Analysis": Capítulo 3.4. Tiene otro enfoque más limpio.

Ejemplos:

Si $K=[a,b]\subseteq \mathbb{R}\implies K$ es compacto. Si $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq[a,b]$ , entonces $(x_{n})_{n}$ está acotada y aplicamos teorema anterior.

\implies \:\exists\:( x_{n_{k}} )_{_{k} \in \mathbb{N}}\text{ subsucesion }:x_{n_{k}}\to x

Como $[a,b]$ es cerrado entonces $x \in K$

$(M,\delta)$ Si $K\subseteq M$ es infinito $\implies K$ no es compacto. Como $K$ es infinito $\implies \:\exists\:(x_{n})_{n}\subseteq K$ tal que

x_{n}\neq x_{m}\quad \forall n\neq m

Esto implica que $\delta(x_{n},x_{m})=1\quad\forall n\neq m$ En particular, ninguna $(x_{n_{k}})_{k}$ subsucesión puede ser de Cauchy

\delta(x_{n_{k}},x_{n_{j}})\quad \forall k\neq j

Por lo tanto $K$ no puede ser compacto. Pues vimos que toda sucesión no puede tener subsucesión de Cauchy, en particular convergente. (No Cauchy $\implies$ no convergente )

Si $K$ es infinito $\implies es$ compacto?. Tarea. No necesariamente: $(0,1)$ es infinito pero no compacto.

${\color{Orange} \text{Prop. :} }$

\begin{array}{l} \text{$K\subseteq (M,d)$ compacto $\implies K$ es cerrado y acotado.} \end{array}

${\color{Orange} \text{Dem:} }$

Cerrado Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq K\bigm|x_{n}\to x \in M$ Quiero ver que $x \in K.$ Como $K$ compacto

\implies \:\exists\:( x_{n_{k}} )_{n \in \mathbb{N}}\bigm| x_{n_{k}}\to y \in K

Pero $x_{n_{k}}\to x\implies x=y \in K$ . Pues el límite en un espacio métrico es único.

Idea para acotado:

Si empiezo a tomar bolas cada vez mas grandes, si es compacto implica que en algún momento voy a cubrir al conjunto con las bolas. Es decir, el conjunto estará contenido en alguna bola de radio finito.

Acotado Sea $x \in K.$ Quiero ver que $\:\exists\:C>0\bigm|K\subseteq B(X,C)$

Supongo que no es acotado, $\forall n \in \mathbb{N}$ $\:\exists\:x_{n} \in K$ tal que $x_{n}\not\in B(x,n)\implies d(x_{n},x)\geq n$

Sea

\begin{array}{c} f:M&\to& \mathbb{R}\geq 0 \\ y&\mapsto& d(x,y) \end{array}

$f$ es una función continua, ver ejercicios de la guía.

Como $K$ es compacto $\implies \:\exists\: ( x_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}\bigm|x_{n_{k}}\to z \in K$ Por la continuidad de $f:$

\implies f(x_{n_{k}})\longrightarrow f(z)=d(x,z)

d(x_{n_{k}},x)\geq n_{k}\to 0

Absurdo. pues $f(x_{n_{k}})=d(x_{n_{k}},x)$

No vale, en general, cerrado y acotado $\implies$ compacto

X=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \bigm| \:\exists\:n_{0}:a_{n}=0\}\quad \forall n\geq n_{0}

d_{\infty}(a_{n},b_{n})=sup|a_{n}-b_{n}|

Sea $0=(0,0,0\dots) \in X$ $K=B[0,1]=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in X\bigm| |a_{n}|\leq 1\quad\forall n \in \mathbb{N}\}$ es cerrado y acotado. Porque es una bola cerrada.

$K$ no es compacto Consideramos la sucesión $(x^{n})_{n\in \mathbb{N}}$ donde para todo $k\in \mathbb{N}:x^{k}\in K$ Es decir $(x^{n})_{n\in \mathbb{N}}\subseteq K$ . Veamos que no tiene ninguna subsucesión convergente.

\begin{array}{l} x^{1} =(1,0,0,\dots) \in K \\ x^{2} =(0,1,0,\dots) \in K \\ x^{n} =\left( 0,0, \dots,1 ,\dots\right) \in K \end{array}

d_{\infty}(x^{n} ,x^{m} )=\underset{ i }{ sup }\:|x_{i}^{n}-x_{i}^{m} |=1\quad n\neq m

Aca usamos que si no puede ser de Cauchy no puede converger

$\implies(x^{n})$ no tiene subsucesiones convergentes. $K$ no es compacto.

${\color{violet} \text{Teorema :} }$ Heine-Borel

\begin{array}{l} \text{Si $K\subseteq(\mathbb{R}^{m},d_{2})$ cerrado y acotado $\implies$ es compacto.} \end{array}

${\color{violet} \text{Dem:} }$ Caso $m=1$

(\mathbb{R},|\cdot|)

Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq K\subseteq \mathbb{R}$ , luego $(a_{n})$ está acotada $\implies \:\exists\:(a_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ convergente $a_{n_{k}}\to a \in \mathbb{R}$ Como $K$ cerrado entonces $a \in K.$

Caso $m$ cualquiera

(\mathbb{R}^{m} ,d_{2})

Sea $(x^{n})_{n \in \mathbb{N}}\subseteq K$

\begin{array}{l} x^{1} =(x_{1}^{1} ,x_{2}^{1},\dots,x_{m}^{1} ) \\ \vdots \\ x^{n} =(x_{1}^{n} ,x_{2}^{n},\dots,x_{m}^{n} ) \end{array}

Consideramos $( x_{1}^{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$

|x_{1}^{n} |\leq \left( \sum_{i=1}^{m} |x_{1}^{i} |^{2} \right)^{ 1/2}=d_{2}(x^{n} ,0)\leq C\quad \forall n \in \mathbb{N}

$\implies(x_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}}$ está acotada,

\:\exists\:(x_{1}^{n_{k_{1}}})\bigm|x_{1}^{n_{k_{1}}}\to x_{1} \in \mathbb{R}

$( x_{2}^{n_{k_{1}}} )_{n_{k_{1}} \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ que está acotada

\:\exists\:(x_{2}^{n_{k_{1_{k_{2}}}}})\bigm|x_{2}^{n_{k_{1_{k_{2}}}}}\to x_{2} \in \mathbb{R}

Elijo de est manera para preservvar las convergencias de las subsucesiones anteriorres.

Recursivamente construyo

$(x^{n_{k}})$ subsucesión tal que $x_{i}^{n_{k}}\to x_{i}\quad\forall i=1\dots m$

$\implies x=(x_{1},\dots,x_{m}),x^{n_{k}}\to x \in \mathbb{R}^{m}$

d_{2}(x^{n_{k}} ,x)=\left( \sum_{i=1}^{m} |x_{i}^{n_{k}} -x_{i}| \right)^{ 1/2}\leq \underset{ n\to \infty }{ \lim }\:max\:|x_{i}^{n_{k}} -x_{i}|\to 0

Como $K$ es cerrado $\implies x \in K$

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Cambia algo si pongo $d_{1}$ o $d_{\infty}$ ? No, sigue valiendo.

Si $(x^{n})\subseteq \mathbb{R}^{m}$ y $(x^{n})$ converge con $d_{2}\implies$ converge con $d_{1}$ y $d_{\infty}$

${\color{Orange} \text{Prop. :} }$

\begin{array}{l} \text{Si $K\subseteq(M,d)$ compacto y $F\subseteq K$ cerrado $\implies F$ es compacto} \end{array}

${\color{Orange} \text{Dem:} }$ Sea $(x_{n})\subseteq F$ . Como $F \subseteq K$ y $K$ es compacto, entonces $(x_n)$ tiene una subsucesión convergente $(x_{n_k})$ tal que

x_{n_{k}}\to x \in K

Como $F$ es cerrado y $x_{n_k} \in F$ para todo $k$ , entonces $x \in F$ .

Por lo tanto, toda sucesión en $F$ tiene una subsucesión convergente cuyo límite está en $F$ , lo que implica que $F$ es compacto.

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

${\color{Orange} \text{Prop. :} }$

\begin{array}{l} \text{Sea $\{ X_{i} \}$ familia de compactos $\subseteq M$ } \end{array}

La unión finita $\displaystyle \bigcup_{i=1}^m K_i$ es compacta.
La intersección arbitraria $\displaystyle \bigcap_{i \in I} K_i$ es compacta.

${\color{Orange} \text{Dem:} }$

Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \displaystyle\bigcup_{i=1}^m K_i$ una sucesión cualquiera.

Como la unión es finita, existe algún $K_{i_0}$ tal que infinitos términos de la sucesión están en $K_{i_0}$ .
Es decir, existe una subsucesión $(x_{n_k}) \subseteq K_{i_0}$ .

Como $K_{i_0}$ es compacto, esta subsucesión tiene una subsucesión convergente $(x_{n_{k_j}})$ que converge a algún punto $x \in K_{i_0} \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^m K_i$ .

Por lo tanto, toda sucesión en $\displaystyle\bigcup_{i=1}^m K_i$ tiene una subsucesión convergente cuyo límite está en la unión, lo que implica que la unión es compacta.

( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \bigcup_{i=1}^{m} K_{i}

\implies \:\exists\:K_{i}\bigm| K_{i}\text{ tiene infinitos $x_{n}$ }

\begin{array}{c} x_{n} \in K_{i}\iff \:\exists\:(x_{n_{k}})\subseteq K_{i} \\ \:\exists\:(x_{n_{k_{j}}})\text{ subsucesion convergente} \end{array}

$K_{i}$ compacto $\implies K_{i}$ cerrado para todo $i \in I$

\implies \bigcap_{i \in I}K_{i}\text{ es cerrado}

$\bigcap_{i \in I}K_{i}\subseteq K_{i_{0}}$ es compacto $\implies \bigcap K_{i}$ es compacto.

Explicación: Sea $\{K_i\}_{i \in I}$ una familia de compactos.

La intersección $\displaystyle \bigcap_{i \in I} K_i$ es subconjunto de cada $K_i$ , y por lo tanto es cerrado en cada uno (ya que cada $K_i$ es cerrado en $M$ ).

Además, como intersección arbitraria de cerrados, es cerrado.

Para mostrar que la intersección es compacta, en espacios métricos esto no es siempre cierto para intersecciones arbitrarias, salvo que la familia sea decreciente y no vacía.

Si la familia $\{K_i\}$ es una cadena decreciente no vacía, entonces

K_1 \supseteq K_2 \supseteq K_3 \supseteq \cdots

y como cada $K_i$ es compacto y no vacío, entonces

\bigcap_{i=1}^\infty K_i \neq \emptyset

y es compacto.

PREGUNTAR si hace falta pedir que sea familia decreciente de compactos. Acá usamos que subconjunto cerrado de un compacto es compacto.

[!infobox] Propiedades de Conjuntos Compactos Contexto: Espacios Métricos $(M, d)$ . Definición usada: Compacidad Secuencial (Toda sucesión tiene una subsucesión convergente al conjunto).

Proposición

Sea $\{ K_{i} \}_{i \in I}$ una familia de subconjuntos compactos de $M$ .

Unión Finita: Si $I$ es finito ( $i=1, \dots, m$ ), entonces $\displaystyle K = \bigcup_{i=1}^m K_i$ es compacto.
Intersección Arbitraria: Para cualquier conjunto de índices $I$ (finito o infinito), $\displaystyle K = \bigcap_{i \in I} K_i$ es compacto (siempre que la intersección no sea vacía).

Demostración

1. La Unión Finita ( $\cup$ )

[!abstract] Idea Clave Usamos el Principio del Palomar (Pigeonhole Principle). Si tienes infinitos términos de una sucesión repartidos en una cantidad finita de "cajas" (los conjuntos $K_i$ ), al menos una caja debe contener infinitos términos.

Paso 1: Selección de la subsucesión Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \bigcup_{i=1}^m K_i$ una sucesión cualquiera. Como el conjunto de índices $\{1, \dots, m\}$ es finito y la sucesión tiene infinitos términos, debe existir al menos un índice fijo $j \in \{1, \dots, m\}$ tal que el conjunto $K_j$ contenga infinitos términos de la sucesión.

Definimos una subsucesión $(x_{n_k})$ tal que todos sus términos estén contenidos en ese conjunto específico $K_j$ :

(x_{n_k}) \subseteq K_j

Paso 2: Aplicar compacidad local Como $K_j$ es compacto por hipótesis, la subsucesión $(x_{n_k})$ admite a su vez una subsucesión convergente $(x_{n_{k_p}})$ tal que:

x_{n_{k_p}} \to x \quad \text{donde } x \in K_j

Paso 3: Conclusión Como $x \in K_j$ , por definición de unión, $x \in \bigcup_{i=1}^m K_i$ . Hemos encontrado una subsucesión convergente dentro del conjunto total. $\therefore$ La unión finita es compacta.

2. La Intersección Arbitraria ( $\cap$ )

[!abstract] Idea Clave Usamos la propiedad de que en espacios métricos, todo compacto es cerrado. El límite de una sucesión dentro de un cerrado debe quedarse "atrapado" en el cerrado.

Paso 1: Extracción del candidato a límite Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \bigcap_{i \in I} K_i$ una sucesión cualquiera. Tomamos un índice cualquiera $i_0 \in I$ . Claramente, la sucesión está contenida en $K_{i_0}$ (porque está en la intersección de todos).

(x_n) \subseteq K_{i_0}

Como $K_{i_0}$ es compacto, existe una subsucesión $(x_{n_k})$ que converge a un punto $x \in K_{i_0}$ .

Paso 2: Verificar que el límite está en TODOS los conjuntos Sea un índice arbitrario $j \in I$ . Sabemos que la sucesión original $(x_n)$ vive en $\bigcap K_i$ , por lo tanto, la subsucesión $(x_{n_k})$ también vive en $K_j$ .

(x_{n_k}) \subseteq K_j

Como $K_j$ es compacto, es un conjunto cerrado. Una propiedad fundamental de los conjuntos cerrados es que si una sucesión convergente está dentro del conjunto, su límite también debe estarlo.

\text{Como } x_{n_k} \to x \implies x \in K_j

Paso 3: Conclusión Como $x \in K_j$ para todo $j \in I$ , entonces:

x \in \bigcap_{i \in I} K_i

$\therefore$ La intersección arbitraria es compacta.

[!done] Q.E.D.

Demo con cubrimientos

[!proof] Demostración: $K = \{0\} \cup \{1/n\}$ es Compacto (Vía Heine-Borel) Objetivo: Probar que todo cubrimiento por abiertos de $K$ admite un subcubrimiento finito. Estrategia: Usar la propiedad de que el abierto que cubre al límite ( $0$ ) absorbe a casi toda la sucesión.

Sea $\mathcal{U} = \{ U_\alpha \}_{\alpha \in I}$ un cubrimiento abierto arbitrario de $K$ .

1. Cubriendo el límite (El paso clave) Como $0 \in K$ , debe existir algún abierto en el cubrimiento, llamémoslo $U_0 \in \mathcal{U}$ , tal que $0 \in U_0$ .

Como $U_0$ es un conjunto abierto, existe un radio $\epsilon > 0$ tal que la bola $B(0, \epsilon) \subseteq U_0$ .

2. Uso de la convergencia Sabemos que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . Por definición de límite, existe un índice $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ :

\frac{1}{n} \in B(0, \epsilon) \subseteq U_0

Esto implica que el conjunto $U_0$ cubre por sí solo al $0$ y a todos los términos de la sucesión a partir de $N$ .

\{ 0, \frac{1}{N}, \frac{1}{N+1}, \dots \} \subseteq U_0

3. Cubriendo los términos restantes (Finitos) Los únicos puntos de $K$ que podrían NO estar en $U_0$ son los primeros $N-1$ términos:

S_{resto} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{N-1} \right\}

Este es un conjunto finito. Para cada punto $\frac{1}{k} \in S_{resto}$ , elegimos un abierto $U_k \in \mathcal{U}$ que lo contenga.

4. Construcción del Subcubrimiento Consideramos la familia finita de conjuntos:

\mathcal{F} = \{ U_0, U_1, U_2, \dots, U_{N-1} \}

$U_0$ cubre el $0$ y la cola infinita.
Los otros $U_k$ cubren la parte finita inicial.

Por lo tanto, $\mathcal{F}$ es un subcubrimiento finito de $\mathcal{U}$ que cubre todo $K$ . $\therefore K$ es compacto.

Proposición

Demostración

1. La Unión Finita (∪\cup∪)

2. La Intersección Arbitraria (∩\cap∩)

Temas relacionados

1. La Unión Finita ( $\cup$ )

2. La Intersección Arbitraria ( $\cap$ )