#22Teoria de la medida

22 - Teoría de la medida IV

21 min de lectura

Tue-19-11-2024 10:16 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Teoria de la medida

Integral de Lebesgue

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea E⊆R medible. Sea φ:E→R≥0 simple (medible),φ=∑i=1nαi⋅χEiE=⋃i=1˙nEiDenotamos I(φ)=∑i=1nαi⋅μ(Ei)⏟∈[0,+∞] \begin{array}{l} \text{Sea $E\subseteq \mathbb{R}$ medible. Sea $\varphi:E\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ simple (medible),}\\ \varphi=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\cdot \chi_{E_{i}}\quad E = \dot{\bigcup_{i=1}}^{n} E_{i} \\ \text{Denotamos $I(\varphi)=\underbrace{ \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\cdot \mu(E_{i}) }_{ \in[0,+\infty] }$ } \end{array}
Ejemplo:Ejemplo:

φ:R→[0,+∞] ∣ φ(x)=1∀x\varphi:\mathbb{R}\to[0,+\infty]\:|\:\varphi(x)=1\quad\forall x φ=1.χR=1.χ(−∞,0)+1.χ[0,+∞)\varphi=1.\chi_{\mathbb{R}}=1.\chi_{(-\infty,0)}+1.\chi_{[0,+\infty)}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

I(φ) estaˊ bien definida. Maˊs auˊn, si Im(φ)={β1,…,βm} entonces I(φ)=∑j=1mβj⋅μ(Dj), con Dj=φ−1({βj})\begin{array}{l} \text{$I(\varphi)$ está bien definida. Más aún, si $\mathrm{Im}(\varphi)=\{ \beta_{1},\dots,\beta_{m} \}$ }\\ \text{entonces $I(\varphi)=\sum_{j=1}^{m}\beta_{j}\cdot \mu(D_{j})$, con $D_{j}=\varphi ^{-1}(\{ \beta_{j} \})$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Vemos que φ=∑jβj⋅χDj\varphi=\sum_{j}\beta_{j}\cdot \chi_{D_{j}}. Así, I(φ)=∑iαi⋅μ(Ei)=(1)∑iαi.∑jμ(Ei∩Dj)=∑i∑jαiμ(Ei∩Dj)=(2)I(\varphi)=\sum_{i}\alpha_{i}\cdot \mu(E_{i})\underset{ (1) }{ = }\sum_{i}\alpha_{i}. \sum_{j}\mu(E_{i}\cap D_{j})=\sum_{i}\sum_{j}\alpha_{i}\mu(E_{i}\cap D_{j})\underset{ (2) }{ = }

=∑i∑jβj.μ(Ei∩Dj)=∑jβj∑iμ(Ei∩Dj)⏟μ(Dj)=\sum_{i}\sum_{j}\beta_{j}.\mu(E_{i}\cap D_{j})=\sum_{j}\beta_{j}\underbrace{ \sum_{i}\mu(E_{i}\cap D_{j}) }_{ \mu(D_{j}) } □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Donde:

Ei=Ei∩E=Ei∩(⋃j˙Dj)=⋃j˙(Ei∩Dj)(1)E_{i}=E_{i}\cap E=E_{i}\cap\left( \dot{\bigcup_{j}}^{} D_{j} \right)=\dot{\bigcup_{j}}^{} (E_{i}\cap D_{j})\tag{1}

y

SiEi∩Dj≠∅,φ∣Ei∩Dj≡αi≡βj(2)Si\quad E_{i}\cap D_{j}\neq \emptyset ,\varphi|_{_{E_{i}\cap D_{j}}}\equiv \alpha_{i}\equiv \beta_{j}\tag{2}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

φ,Φ simples ≥0:1. I(φ+Φ)=I(φ)+I(Φ)2. I(α.φ)=α.I(φ)∀α≥0\begin{array}{l} \text{$\varphi,\Phi$ simples $\geq 0$:} \\ \text{1. $I(\varphi+\Phi)=I(\varphi)+I(\Phi)$}\\ \text{2. $I(\alpha.\varphi)=\alpha.I(\varphi)\quad \forall \alpha\geq 0$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

  1. φ=∑αi.χEi,Φ=∑jβj.χDj\varphi=\sum \alpha_{i}.\chi_{_{E_{i}}},\Phi=\sum_{j}\beta_{j}.\chi_{_{D_{j}}} Así,
φ+Φ=Pensar∑ij(αi+βj).χEi∩Dj\varphi+\Phi\underset{ Pensar }{ = }\sum_{ij}(\alpha_{i}+\beta_{j}).\chi_{_{E_{i}\cap D_{j}}}

Luego

I(φ+Φ)=∑ij(αi+βj).μ(Ei∩Dj)=∑iαi(∑jμ(Ei∩Dj))⏟μ(Ei)+∑jβj(∑iμ(Ei∩Dj))⏟μ(DJ)=I(\varphi+\Phi)=\sum_{ij}(\alpha_{i}+\beta_{j}).\mu(E_{i}\cap D_{j})=\sum_{i}\alpha_{i}\underbrace{ \left( \sum_{j}\mu(E_{i}\cap D_{j}) \right) }_{ \mu(E_{i}) }+\sum_{j}\beta_{j}\underbrace{ \left( \sum_{i}\mu(E_{i}\cap D_{j}) \right) }_{ \mu(D_{J}) }= =I(φ)+I(Φ)=I(\varphi)+I(\Phi) □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

f:E→[0,+∞] medible. La integral de Lebesgue de f es \begin{array}{l} \text{$f:E\to[0,+\infty]$ medible. La integral de Lebesgue de $f$ es } \end{array} ∫Ef=∫Ef dμ=∫Ef(x) dμ(x)=sup{I(φ):0≤φ≤f,φ simple medida}∈[0,+∞]\int_{E}f=\int_{E}f\:d\mu=\int_{E}f(x)\:d\mu(x)=sup \{ I(\varphi):0\leq \varphi\leq f,\varphi\:simple\:medida \}\in[0,+\infty]

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Si φ≥0 es simple, ∫Eφ=I(φ)("sup=max") \begin{array}{l} \text{Si $\varphi\geq 0$ es simple, $\int_{E} \varphi=I(\varphi)\quad(\text{"sup=max"})$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Se deja como ejercicio, ver que si 0≤Φ≤φ0\leq \Phi\leq \varphi simple, I(Φ)≤I(φ)I(\Phi)\leq I(\varphi)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

E nulo. Entonces ∫Ef=0∀f≥0 medible en E.\begin{array}{l} \text{$E$ nulo. Entonces $\int_{E}f=0\quad\forall f\geq0$ medible en $E$.} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Es en este caso I(φ)=0∀φI(\varphi)=0\quad\forall \varphi

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

0≤f≤g medibles. Entonces \begin{array}{l} \text{$0\leq f\leq g$ medibles. Entonces } \end{array} ∫Ef≤∫Eg(monotonia)\int_{E}f\leq \int_{E}g\quad (\text{monotonia})

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Si 0≤φ≤f0\leq \varphi\leq f es simple, entonces φ≤g\varphi\leq g es simple. Así,

{I(φ):0≤φ≤f simple}⊆{I(Φ):0≤Φ≤g simple}\{ I(\varphi):0\leq \varphi\leq f\:simple \}\subseteq \{ I(\Phi):0\leq \Phi\leq g \:simple \} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

f:E→[0,+∞] medible, A⊆E medible, entonces:\begin{array}{l} \text{$f:E\to[0,+\infty]$ medible, $A\subseteq E$ medible, entonces:} \end{array} ∫Af∣A=∫AfA=∫Ef⋅χA⏟≤f≤∫Ef\int_{A}f|_{_{A}}=\int_{A}f_{A}=\int_{E}\underbrace{ f\cdot \chi_{_{A}} }_{ \leq f }\leq \int_{E}f

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Basta ver que

{I(φ):0≤φ≤f∣A simple en A}={I(Φ):0≤Φ≤f.χA simple en E}\{ I(\varphi):0\leq \varphi\leq f|_{_{A}}\:\text{simple en A}\}=\{ I(\Phi):0\leq \Phi\leq f.\chi_{_{A}}\text{ simple en E} \}

Defino para φ≥0\varphi\geq0 en AA, φ∣E=φ+0.χE∖A\varphi|^{^{E}}=\varphi+0.\chi_{_{E\setminus A}} Así, I(φ)=I(φ∣E)I(\varphi)=I(\varphi|^{^{E}}) Defino para Φ≥0\Phi\geq 0 en E:Φ∣A=φE:\Phi|_{_{A}}=\varphi. Así, I(φ)=I(Φ)I(\varphi)=I(\Phi) pues Φ∣E∖A=0\Phi|_{_{E\setminus A}}=0

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Sean fn:E→[0,+∞]f_{n}:E\to[0,+\infty] medibles, con fn(x)≤fn+1(x)∀x∈E,∀n≥1f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\quad\forall x \in E,\forall n\geq 1 Sea f:E→[0,+∞] ∣ f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f:E\to[0,+\infty]\:|\:f(x)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n}(x) medible (Jueves)

Lema {\color{green} \text{Lema } }

0≤φ≤f simple. Entonces \begin{array}{l} \text{$0\leq \varphi\leq f$ simple. Entonces } \end{array} I(φ)≤lim⁡n→∞∫EfnI(\varphi)\leq \underset{ n\to \infty }{ \lim }\int_{E}f_{n}

Dem:{\color{green} \text{Dem:} } Escribamos:

φ=∑i=1nαi⋅χEi\varphi=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\cdot \chi_{E_{i}}

con 0≤α1<α2<⋯<αn0\leq \alpha_{1}<\alpha_{2}<\dots<\alpha_{n} Basta probarlo si alpa1>0:alpa_{1}>0: dado φ\varphi con α1=0\alpha_{1}=0 ,

∫Eφ==∑i=2αi.μ(Ei)I(φ)=∫E∖E1φ∣E∖E1≤α2>0lim⁡n→∞∫E∖E1fn≤lim⁡n→∞∫Efn\int_{E}\varphi\underset{ =\sum_{i=2} \alpha_{i}.\mu(E_{i}) }{ = }I(\varphi)=\int_{E\setminus E_{1}}\varphi|_{E\setminus E_{1}}\underset{ \alpha_{2}>0 }{ \leq }\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E\setminus E_{1}}f_{n}\leq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E}f_{n}

Supongamos α1>0\alpha_{1}>0 Tomo 0<2<α10<2<\alpha_{1}. Sean

En={x∈E:fn(x)≥φ(x)−E}E_{n}=\{ x \in E:f_{n}(x)\geq \varphi(x)-\mathcal{E} \}

draw-medidaI Así,

  1. En∈M⊆En+1\underset{ \in\mathcal{M} }{ E_{n} }\subseteq E_{n+1} pues fn(x)≤fn+1(x)f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)
  2. ⋃n∈NEn=E\bigcup_{n \in \mathbb{N}}E_{n}=E, pues φ≤f,fn(x)→f(x)\varphi\leq f,f_{n}(x)\to f(x)

Podemos suponer μ(E)<+∞\mu(E)<+\infty Si μ(E)=+∞\mu(E)=+\infty, por (2)(2):

μ(E)=lim⁡n→∞μ(En)\mu(E)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(E_{n})

Así,

∫Efn≤∫Enfn≥∫Enφ−E⏟≥α1−E≥(α1−E).μ(En)→n→+∞+∞\int_{E}f_{n}\leq \int_{E_{n}}f_{n}\geq \int_{E_{n}}\underbrace{ \varphi-\mathcal{E} }_{ \geq \alpha_{1}-\mathcal{E} }\geq (\alpha_{1}-\mathcal{E}).\mu(E_{n})\underset{ n\to +\infty }{ \to } +\infty

Luego,

lim⁡n→∞∫Efn=+∞≥I(φ)\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E}f_{n}=+\infty\geq I(\varphi)

Supongo μ(E)<+∞\mu(E)<+\infty Luego μ(E∖En)→0(se deja como ejercicio)\mu(E\setminus E_{n})\to0\quad(\text{se deja como ejercicio}) Así,

∫Efn≥∫Enφ−E=∫Enφ−E+∫E∖Enφ−E−∫E∖Enφ−E=∫E(φ−E)−∫E∖En(φ−E)\int_{E}f_{n}\geq \int_{E_{n}}\varphi-\mathcal{E}=\int_{E_{n}}\varphi-\mathcal{E}+\int_{E\setminus E_{n}}\varphi-\mathcal{E}-\int_{E\setminus E_{n}}\varphi-\mathcal{E}=\int_{E}(\varphi-\mathcal{E})-\int_{E\setminus E_{n}}(\varphi-\mathcal{E}) ≥I(φ)−E.μ(E)−(αm−E)⋅μ(E∖En)⏟→0\geq I(\varphi)-\mathcal{E}. \mu(E)-(\alpha_{m}-\mathcal{E})\cdot \underbrace{ \mu(E\setminus E_{n}) }_{ \to 0 }

Haciendo n→∞n\to \infty

lim⁡n→∞∫f≥I(φ)−E.μ(E)\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int f\geq I(\varphi)-\mathcal{E}. \mu(E)

Haciendo E→0\mathcal{E}\to0

lim⁡n→∞∫Efn≥I(φ)\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E}f_{n}\geq I(\varphi) □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Convergencia monoˊtona\begin{array}{l} \textbf{Convergencia monótona} \\ \end{array} ∫Ef⏟lim⁡fn=lim⁡∫Efn\int_{E}\underbrace{ f }_{ \lim f_{n} }=\lim\int_{E}f_{n}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

fn≤f  ⟹  ∫Efnmonotona≤∫Eff_{n}\leq f\implies \underset{ monotona }{ \int_{E}f_{n} }\leq \int_{E}f   ⟹  lim⁡n→∞∫Efn≤∫Ef\implies \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E}f_{n}\leq \int_{E}f

Por otro lado,

∫Ef=sup{I(φ):0≤φ≤f simple}≤lim⁡n→∞∫Efn\int_{E}f=sup \{ I(\varphi):0\leq \varphi\leq f\:simple \}\leq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E}f_{n} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

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