Thu-14-11-2024 09:00
profe: Nicolás Sirolli
status:
tags: Teoria de la medida
Funciones medibles
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
E ⊆ R . Una funci o ˊ n f : E → R se dice simple si E = ⋃ ˙ i = 1 n α i . χ E i ( x ) i.e. f ( x ) = α i ∀ x ∈ E i Si E i ∈ M ∀ i , decimos que f es simple medible \begin{array}{l}
\text{$E\subseteq \mathbb{R}$. Una función $f:E\to \mathbb{R}$ se dice simple si}\\
E=\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}\alpha_{i}.\chi_{E_{i}}(x)
\text{ i.e. $f(x)=\alpha_{i}\quad\forall x\in E_{i}$ }\\
\text{Si $E_{i}\in\mathcal{M}\:\forall i$, decimos que $f$ es simple medible }
\end{array} E ⊆ R . Una funci o ˊ n f : E → R se dice simple si E = ⋃ ˙ i = 1 n α i . χ E i ( x ) i.e. f ( x ) = α i ∀ x ∈ E i Si E i ∈ M ∀ i , decimos que f es simple medible Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f es simple ⟺ I m ( f ) es finito \begin{array}{l}
\text{$f$ es simple $\iff \mathrm{Im}(f)$ es finito}
\end{array} f es simple ⟺ Im ( f ) es finito Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ⇒ ) \Rightarrow) ⇒ )
I m ( f ) = { α 1 , … , α n } Im(f)=\{ \alpha_{1},\dots,\alpha _{n} \} I m ( f ) = { α 1 , … , α n } ⇐ ) \Leftarrow) ⇐ )
I m ( f ) = { α 1 , … , α n } , c o n a i ≠ a j s i i ≠ j Im(f)=\{ \alpha_{1},\dots,\alpha _{n} \},con\:a_{i}\neq a_{j}\:si\:i\neq j I m ( f ) = { α 1 , … , α n } , co n a i = a j s i i = j Defino E i = f − 1 ( { α i } ) . E_{i}=f^{-1}(\{ \alpha_{i} \}). E i = f − 1 ({ α i }) . f ( x ) = ∑ i = 1 n α i . χ E i ( x ) f(x)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}.\chi_{E_{i}}(x) f ( x ) = ∑ i = 1 n α i . χ E i ( x ) a i ≠ a j ⟹ E i ⋂ E j = ∅ a_{i}\neq a_{j}\implies E_{i}\bigcap E_{j}=\emptyset a i = a j ⟹ E i ⋂ E j = ∅
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f , g simples. Entonces: 1. f + g simple 2. α . f simple ∀ α ∈ R \begin{array}{l}
\text{$f,g$ simples. Entonces:}\\
\text{1. $f+g$ simple}\\
\text{2. $\alpha.f$ simple $\forall \alpha \in \mathbb{R}$}
\end{array} f , g simples. Entonces: 1. f + g simple 2. α . f simple ∀ α ∈ R Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Not/Def. : {\color{Cyan} \text{Not/Def. :} } Not/Def. :
R ‾ = [ − ∞ , + ∞ ] = R ∪ { − ∞ , + ∞ } , extendemos + , . , ≤ , l i m excepto ( ± ∞ ) + ( ± ∞ ) \begin{array}{l}
\text{$\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,+\infty]=\mathbb{R}\cup \{ -\infty,+\infty \}$, extendemos $+,.,\leq,lim$ excepto $(\pm \infty)+(\pm \infty)$}
\end{array} R = [ − ∞ , + ∞ ] = R ∪ { − ∞ , + ∞ } , extendemos + , . , ≤ , l im excepto ( ± ∞ ) + ( ± ∞ ) Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
E ∈ M , f : E → R es medible si ∀ a ∈ R E ⊇ f − 1 ( [ − ∞ , a ] ) = { f ≤ a } = { x ∈ E : f ( x ) ≤ a } ∈ M \begin{array}{l}
\text{$E\in\mathcal{M},f:E\to \mathbb{R}$ es medible si $\forall a\in \mathbb{R}$}\\
\text{$E\supseteq f^{-1}([-\infty,a])=\{ f\leq a \}=\{ x \in E:f(x)\leq a \}\in\mathcal{M}$ }
\end{array} E ∈ M , f : E → R es medible si ∀ a ∈ R E ⊇ f − 1 ([ − ∞ , a ]) = { f ≤ a } = { x ∈ E : f ( x ) ≤ a } ∈ M E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os :
f : I → R f:I\to \mathbb{R} f : I → R I I I f : I → R ‾ f:I\to \overline{\mathbb{R}} f : I → R I I I
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
A ⊆ R , A ∈ M ⟺ χ A es medible. \begin{array}{l}
\text{$A\subseteq \mathbb{R},A\in\mathcal{M}\iff \chi_{A}$ es medible.}
\end{array} A ⊆ R , A ∈ M ⟺ χ A es medible. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
{ χ A ≤ a } = { R a ≥ 1 R ∖ A 0 ≤ a < 1 \{ \chi_{A}\leq a \}=\begin{cases}
\mathbb{R} & a\geq 1 \\
\mathbb{R}\setminus A & 0\leq a<1
\end{cases} { χ A ≤ a } = { R R ∖ A a ≥ 1 0 ≤ a < 1 Lema {\color{green} \text{Lema } } Lema
E ∈ M , f : E → R ‾ , son equivalentes: 1. f medible. 2. { f < a } ∈ M ∀ a ∈ R 3. { f ≥ a } ∈ M ∀ a ∈ R 4. { f > a } ∈ M ∀ a ∈ R \begin{array}{l}
\text{$E\in\mathcal{M},f:E\to \overline{\mathbb{R}}$, son equivalentes:}\\
\text{1. $f$ medible.}\\
\text{2. $\{ f<a \}\in\mathcal{M}$ $\forall a \in \mathbb{R}$ }\\
\text{3. $\{ f\geq a \}\in\mathcal{M}$ $\forall a\in \mathbb{R}$ }\\
\text{4. $\{ f>a \}\in\mathcal{M}$ $\forall a\in \mathbb{R}$ }
\end{array} E ∈ M , f : E → R , son equivalentes: 1. f medible. 2. { f < a } ∈ M ∀ a ∈ R 3. { f ≥ a } ∈ M ∀ a ∈ R 4. { f > a } ∈ M ∀ a ∈ R Dem: {\color{green} \text{Dem:} } Dem: 1 ) ⇒ 2 ) 1)\Rightarrow2) 1 ) ⇒ 2 )
{ f < a } = ⋃ n ∈ N { f ≤ a − 1 n } ⏟ ∈ M \{ f<a \}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\underset{\in\mathcal{M}}{\underbrace{\left\{ f\leq a-\frac{1}{n} \right\}}} { f < a } = n ∈ N ⋃ ∈ M { f ≤ a − n 1 } Es decir, f ( x ) < a ⟺ ∃ n ∈ N ∣ f ( x ) ≤ a − 1 n f(x)<a\iff \:\exists\:n\in \mathbb{N}\:|\:f(x)\leq a-\frac{1}{n} f ( x ) < a ⟺ ∃ n ∈ N ∣ f ( x ) ≤ a − n 1 { f < a } ∈ M \{ f<a \}\in\mathcal{M} { f < a } ∈ M
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f , g medibles. 1. f + g medible (si est a ˊ bien definida). 2. f . g medible. 3. α . f medible ∀ α ∈ R \begin{array}{l}
\text{$f,g$ medibles.}\\
\text{1. $f+g$ medible (si está bien definida).}\\
\text{2. $f.g$ medible.}\\
\text{3. $\alpha.f$ medible $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ }
\end{array} f , g medibles. 1. f + g medible (si est a ˊ bien definida). 2. f . g medible. 3. α . f medible ∀ α ∈ R Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Veamos ( 1 ) (1) ( 1 ) f , g : E → R f,g:E\to \mathbb{R} f , g : E → R a ∈ R a\in \mathbb{R} a ∈ R ¿ { f + g < a } ∈ M ? ¿\{ f+g<a \}\in\mathcal{M}? ¿ { f + g < a } ∈ M ?
f ( x ) + g ( x ) < a ⟺ f ( x ) < a − g ( x ) ⟺ ( ∃ q ∈ Q ) f ( x ) < q y q < a − g ( x ) f(x)+g(x)<a\iff f(x)<a-g(x)\iff(\:\exists\:q\in \mathbb{Q})\quad f(x)<q\quad y\quad q<a-g(x) f ( x ) + g ( x ) < a ⟺ f ( x ) < a − g ( x ) ⟺ ( ∃ q ∈ Q ) f ( x ) < q y q < a − g ( x ) Así,
{ f + g < a } = ⋃ q ∈ Q ( { f < q } ⏟ ∈ M ∩ { g < a − q } ⏟ ∈ M ) ∈ M \{ f+g<a \}=\bigcup_{q\in \mathbb{Q}}\left( \underset{\in\mathcal{M}}{\underbrace{\{ f<q \}}} \cap \underset{\in \mathcal{M}}{\underbrace{\{ g<a-q \}}} \right)\in\mathcal{M} { f + g < a } = q ∈ Q ⋃ ∈ M { f < q } ∩ ∈ M { g < a − q } ∈ M □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Corolario : {\color{Red} \text{Corolario }:} Corolario :
Toda funci o ˊ n simple medible es medible. \begin{array}{l}
\text{Toda función simple medible es medible.}
\end{array} Toda funci o ˊ n simple medible es medible. E j e m p l o s ( c o n t i n u a c i o n ) : Ejemplos\: (continuacion): E j e m pl os ( co n t in u a c i o n ) :
χ C \chi_{C} χ C C C C χ V \chi_{V} χ V V V V
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
f n : E → R ‾ , f : E → R ‾ . Si las f n son medibles y f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) entonces f es medible. \begin{array}{l}
\text{$f_{n}:E\to \overline{\mathbb{R}},f:E\to \overline{\mathbb{R}}$. Si las $f_{n}$ son medibles y $f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$ entonces $f$ es medible.}
\end{array} f n : E → R , f : E → R . Si las f n son medibles y f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) entonces f es medible. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Sea x ∈ E x \in E x ∈ E f ( x ) > a f(x)>a f ( x ) > a f n ( x ) → f ( x ) , ∃ m , N ∈ N ∣ f n ( X ) > a + 1 m ∀ n ≥ N f_{n}(x)\to f(x),\:\exists\:m,N\in \mathbb{N}\:|\:f_{n}(X)>a+\frac{1}{m}\quad\forall n\geq N f n ( x ) → f ( x ) , ∃ m , N ∈ N ∣ f n ( X ) > a + m 1 ∀ n ≥ N
{ f > a } = ⋃ m ⋃ N ⋂ n ≥ N { f n > a + 1 n } ⏟ ∈ M ⏟ ∈ M ⏟ ∈ M \{ f>a \}=\underset{\in\mathcal{M}}{\underbrace{\bigcup_{m}\underset{\in\mathcal{M}}{\underbrace{\bigcup_{N}\bigcap_{n\geq N}\underset{\in\mathcal{M}}{\underbrace{\left\{ f_{n}>a+\frac{1}{n} \right\}}} }} }} { f > a } = ∈ M m ⋃ ∈ M N ⋃ n ≥ N ⋂ ∈ M { f n > a + n 1 } Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
f : E → [ 0 , + ∞ ] medible. ∃ f n : E → [ 0 , + ∞ ) simples medibles con f n ↗ conv. crec. f . i.e. f n ( x ) → f ( x ) , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) M a ˊ s a u ˊ n, si f es acotada se tiene converge uniformemente. \begin{array}{l}
\text{$f:E\to[0,+\infty]$ medible. $\:\exists\:f_{n}:E\to[0,+\infty)$ simples medibles con $f_{n}\underset{\text{conv. crec.}}{\nearrow} f$ . }\\
\text{i.e. $f_{n}(x)\to f(x),f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ }\\
\text{Más aún, si $f$ es acotada se tiene converge uniformemente.}
\end{array} f : E → [ 0 , + ∞ ] medible. ∃ f n : E → [ 0 , + ∞ ) simples medibles con f n conv. crec. ↗ f . i.e. f n ( x ) → f ( x ) , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) M a ˊ s a u ˊ n, si f es acotada se tiene converge uniformemente. Citas y Comentarios