#13Compacidad

13 - Compacidad II

16 min de lectura

Tue-08-10-2024 09:16 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Compacidad

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

f:E→E′ continua, K⊆E compacto. Entonces f es uniformemente continua en K.\begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ continua, $K\subseteq E$ compacto. Entonces $f$ es uniformemente continua en $K$.} \end{array}

Ejemplo:Ejemplo: f(x)=xf(x)=\sqrt{ x } es unif. continua en [0,1][0,1], pero no es lipschitz.

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Si ff no es unif. continua en KK.

Acá se uso una prop. mostrada en teórica pandemia- Continuidad 2:

Sea f:E→E′f:E\to E'. Entonces ff no es uniformemente continua   ⟺   ∃ E0≥0\iff \:\exists\:\mathcal{E}_{0}\geq0 y sucesiones (xn)(x_{n}) y (yn)(y_{n}) tales que:

d(xn,yn)→0perod′(f(xn),f(yn))≥Ed(x_{n},y_{n})\to 0\quad pero\quad d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \mathcal{E}

--

 ∃ (xn),(yn)⊆K, ∃ E>0 ∣ d(xn,yn)→0,d′(f(xn),f(yn))≥E\:\exists\:(x_{n}),(y_{n})\subseteq K,\:\exists\:\mathcal{E}>0\:|\:d(x_{n},y_{n})\to0,d'(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq\mathcal{E} Como KK es compacto,  ∃ (xnk)\:\exists\:(x_{n_{k}}) con xnk→x∈Kx_{n_{k}}\to x \in K Como d(xnk,ynk)→0:ynk→xd(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\to0:y_{n_{k}}\to x Como ff continua en EE, en particular lo es para x∈E.x \in E. Luego

f(xnk)→f(x)∧f(ynk)→f(x)  ⟹  d′(f(xnk),f(ynk))→0f(x_{n_{k}})\to f(x) \land f(y_{n_{k}})\to f(x)\implies d'(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\to 0

Absurdo pues teníamos que

d′(f(xn),f(yn))≥Ed'(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \mathcal{E}

Por lo tanto, ff debe ser uniformemente continua en EE.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

f:E→E′ continua. Entonces f(K)⊆E′ es compacto ∀K⊆E compacto. \begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ continua. Entonces $f(K)\subseteq E'$ es compacto $\forall K\subseteq E$ compacto. } \end{array}

Una función continua manda compactos en compactos.

Dem :{\color{Orange} \text{Dem :} } Tomo (yn)⊆f(K)(y_{n})\subseteq f(K). Escribamos yn=f(xn)y_{n}=f(x_{n}), con xn∈Kx_{n}\in K. Como KK es compacto,  ∃ (xnk)⊆K\:\exists\:(x_{n_{k}})\subseteq K con xnk→x∈Kx_{n_{k}}\to x \in K Como ff es continua(manda sucesiones convergentes a sucesiones convergentes), ynk=f(xnk)→f(x)∈f(K)y_{n_{k}}=f(x_{n_{k}})\to f(x) \in f(K)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Corolario :{\color{Red} \text{Corolario }:}

f:E→R continuaEntonces ∀K⊆E compacto, f es acotado en K. Maˊs auˊn, alcanza un maˊximo y un mıˊnimo.\begin{array}{l} \text{$f:E\to \mathbb{R}$ continua}\\ \text{Entonces $\forall K\subseteq E$ compacto, $f$ es acotado en $K$. Más aún, alcanza un máximo y un mínimo.} \end{array}

Dem:{\color{Red} \text{Dem}:} f(K)⊆Rf(K)\subseteq \mathbb{R} es compacto. Luego  ∃ a,b∈f(K)\:\exists\:a,b \in f(K) con f(K)⊆[a,b]f(K)\subseteq[a,b]

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Ejercicio:Ejercicio: Probar que todo espacio métrico compacto es completo.

Cubrimientos

-->15.06

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

G⊆P(E) es un cubrimiento por abiertos de K si:1. G es abierto de E ∀G∈G2. K⊆⋃G∈GG. (i.e.,∀k∈K ∃ G∈G con k∈G)\begin{array}{l} \text{$\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(E)$ es un cubrimiento por abiertos de $K$ si:}\\ \text{1. $G$ es abierto de $E\:\forall G\in\mathcal{G}$}\\ \text{2. $K\subseteq \bigcup_{G\in\mathcal{G}}G$. (i.e.,$\forall k \in K\:\exists\:G\in\mathcal{G}$ con $k \in G$)} \end{array}
Ejemplos:Ejemplos:
  1. K=(0,1)K=(0,1) draw-CompacidadII-1
G={(1n,1):n∈N}\mathcal{G}=\left\{ \left( \frac{1}{n},1 \right):n\in \mathbb{N} \right\}
  1. KK cualquiera. Fijado E>0\mathcal{E}>0 --> 22.23
GE={B(x,E):x∈K}\mathcal{G}_{\mathcal{E}} =\{ B(x,\mathcal{E}):x \in K \}

Podemos comparar los cardinales: #GE≤#K\# \mathcal{G}_{\mathcal{E}}\leq\#K

  1. K={1n:n∈N}K=\left\{ \frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} \right\} draw-CompacidadII-2
G={Bn=B(1n,1n−1n+1):n∈N}\mathcal{G} =\left\{ B_{n}= B\left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} \right):n\in \mathbb{N} \right\}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

K⊆E. Son equivalentes:1. K es compacto.2. ∀A⊆K infinito,A′⋂K≠∅. Con A′ el conj. de ptos. de acumulacioˊn de A.3. ∀G cubrimiento por abiertos de K,  ∃ F⊆G finito con F cubrimiento de K.\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$. Son equivalentes:}\\ \text{1. $K$ es compacto.}\\ \text{2. $\forall A\subseteq K\: infinito,A'\bigcap K\neq \emptyset$. Con $A'$ el conj. de ptos. de acumulación de $A$.}\\ \text{3. $\forall\mathcal{G}$ cubrimiento por abiertos de $K$, $\:\exists\:\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ finito con $\mathcal{F}$ cubrimiento de $K$.} \end{array}

-->38.30

Esto me da una caracterización de compacidad mediante cubrimientos.

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

-->P2 18:45

ii→i){\color{violet} \text{}ii\to i) } Sea (xn)⊆K(x_{n})\subseteq K. Tomo A={xn}A=\{ x_{n} \}.

  • Si AA es finito: Entonces  ∃ (xnk)\:\exists\:(x_{n_{k}}) subsucesión constante.
  • Si AA es infinito:

Uso que AA tiene un punto de acumulación en KK.

Así, tengo x∈K∩A′x \in K\cap A'. Luego  ∃ xn1∈B(x,1)\:\exists\:x_{n_{1}}\in B(x,1) Como B(x,12)∩AB\left( x, \frac{1}{2} \right)\cap A es infinito.  ∃ n2>n1:xn2∈B(x,12)\:\exists\:n_{2}>n_{1}:x_{n_{2}}\in B\left( x, \frac{1}{2} \right)

…\dots

Como B(x,1k)B\left( x, \frac{1}{k} \right) es infinito.  ∃ nk+1>nk:xnk+1∈B(x,1k+1)\:\exists\: n_{k+1}>n_{k}:x_{n_{k+1}}\in B\left( x, \frac{1}{k+1} \right) Así, xnk→x∈Kx_{n_{k}}\to x \in K

Como encontré una subsucesión que converge a un x∈Kx \in K, concluyo que KK es compacto.

iii→ii){\color{violet} \text{}iii\to ii) } Sea A⊆KA\subseteq K infinito. Supongo A′∩K=∅:∀x∈K, ∃ rx>0A'\cap K=\emptyset:\forall x \in K,\:\exists\:r_{x}>0 con B(x,rx)∩AB(x, r_{x})\cap A finito. Tenemos K⊆⋃x∈KB(x,rx)K\subseteq \bigcup_{x \in K}B(x, r_{x}) Luego,  ∃ x1,…,xn∈K\:\exists\:x_{1},\dots,x_{n}\in K con K⊆⋃i=1nB(xi,rxi)K\subseteq \bigcup_{i=1}^nB(x_{i},r_{x_{i}}) Así, A=K∩A⊆⋃i=1nB(xi,rxi)∩AA=K\cap A\subseteq \bigcup_{i=1}^n B(x_{i},r_{x_{i}})\cap A Absurdo, pues AA es infinito. y tenia que :

  • B(x,rx)∩AB(x, r_{x})\cap A finito.
  • ⋃B(xi,rxi)∩A\bigcup B(x_{i},r_{x_{i}})\cap A es finito.

i→iii)i\to iii)

Se ve en cálculo avanzado. No la vemos acá.

Ejemplos:Ejemplos:
  1. ∀F⊆G\forall\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G} finito, F\mathcal{F} no cubre a KK. Tomo n0=max{n∈N:(1n,1)∈F}n_{0}=max\left\{ n\in \mathbb{N} :\left( \frac{1}{n},1 \right)\in\mathcal{F} \right\}. Entonces ⋃F∈FF=(1n0,1)⊉K\bigcup_{F \in\mathcal{F}}F=\left( \frac{1}{n_{0}},1 \right)\not\supseteq K

Esto se cumple siempre que F\mathcal{F} sea no vacío. Recordar que el vacío es compacto.

  1. K=[a,b]K=[a,b]

draw-CompacidadII-3

Dado E>0\mathcal{E}>0, tomo nn con 1n<E\frac{1}{n}<\mathcal{E} Tomo mm con a+mn>ba + \frac{m}{n}>b, mínimo. Así, [a,b]⊆⋃i=0m−1B(a+in,ϵ)[a,b]\subseteq \bigcup_{i=0}^{m-1}B\left( a+ \frac{i}{n},\epsilon \right)

-->10:20

Hasta ahora solo verificamos el cubrimiento finito. Todo finito es compacto.

  1. ∀F⊂G,F\forall\mathcal{F}\subset\mathcal{G},\mathcal{F} no cubre a KK: si Bn∉FB_{n}\not\in\mathcal{F}, entonces 1n∉⋃F∈FF\frac{1}{n}\not\in\bigcup_{F\in\mathcal{F}}F
Aplicaciones:Aplicaciones:

--> 37:40

  1. Finito   ⟹  \implies compacto.
  2. Sea (xn)⊆E,(x_{n})\subseteq E, con xn→xx_{n}\to x. Entonces K={x}∪{xn:n∈N}K=\{ x \}\cup \{ x_{n}:n \in \mathbb{N} \} es compacto.

Dem.1:Dem.1: En efecto, sea G\mathcal{G} cubrimiento por abiertos de KK. draw-CompacidadII-4 Tomo Gn0∈GG_{n_{0}}\in\mathcal{G} con x∈Gxx \in G_{x}. Como xn→xx_{n}\to x

( ∃ n0)xn∈Gn0∀n≥n0(\:\exists\:n_{0})\quad x_{n}\in G_{n_{0}}\quad \forall n\geq n_{0}

Para 1≤n<n01\leq n< n_{0}, tomo xn∈Gnx_{n}\in G_{n} Así, K⊆⋃n=1n0GnK\subseteq \bigcup_{n=1}^{n_{0}}G_{n}

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Ejercicio: Probar que f(K)f(K) es compacto. ∀f\forall f continua, KK compacto. Usando cubrimientos.

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