#14Punto fijo

14 - Teorema punto fijo

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Tue-15-10-2024 08:57 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Punto fijo

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

f:X→X,x0∈X es punto fijo de f si f(x0)=x0\begin{array}{l} \text{$f:X\to X,x_{0} \in X$ es punto fijo de $f$ si $f(x_{0})=x_{0}$} \end{array}

Buscamos condiciones (X=EX=E espacio métrico) sobre ff y/o EE que demuestren existencia y/o unicidad de punto fijo. Hallarlos y/o aproximarlo.

Ejemplo:Ejemplo:

Vimos que f:[a,b]→[a,b]f:[a,b]\to[a,b] creciente tiene un punto fijo.

Es un ejercicio de la guía 1. Estaba en la 5 pero como solo necesitas supremos se puso en la 1.

--draw1

Más aún, si f(a)>a,f(a)>a, sirve x0=sup{x:f(x)>x}x_{0}=sup \{ x:f(x)>x \}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

f:E→E es contractiva si( ∃ 0≤C<1)d(f(x),f(y))≤C.d(x,y)∀x,y∈E\begin{array}{l} \text{$f:E\to E$ es contractiva si}\\ (\:\exists\:0\leq C<1)\quad d(f(x),f(y))\leq C.d(x,y)\quad \forall x,y \in E \end{array}

Es decir, ff es Lipschitz con constante menor a 11

Ejemplo:Ejemplo:

Si f:R→Rf:\mathbb{R}\to \mathbb{R} derivable con ( ∃ 0≤C<1)∣f′(x)∣≤C∀x∈R(\:\exists\:0\leq C<1)\quad |f'(x)|\leq C\quad \forall x \in \mathbb{R} entonces ff es contractiva.

Obs:Obs:

f contractiva   ⟹  f tiene a lo sumo un punto fijo. \text{$f$ contractiva $\implies f$ tiene a lo sumo un punto fijo. }

En efecto, supongo f(x0)=x0,f(x1)=x1f(x_{0})=x_{0},f(x_{1})=x_{1}. Entonces

d(x0,x1)=d(f(x0),f(x1))≤C.d(x0,x1)d(x_{0},x_{1})=d(f(x_{0}),f(x_{1}))\leq C.d(x_{0},x_{1})

Luego d(x0,x1)=0d(x_{0},x_{1})=0, pues C<1C<1

Teorema (Banach) :{\color{violet} \text{Teorema (Banach) :} }

Si E completo, f:E→E es contractiva   ⟹   f tiene un uˊnico punto fijo x0.\begin{array}{l} \text{Si $E$ completo, $f:E\to E$ es contractiva $\implies$ $f$ tiene un único punto fijo }x_{0}. \end{array}

Más aún, ∀x1∈E:(fn(x1))n∈N\forall x_{1}\in E:(f^n(x_{1}))_{n\in \mathbb{N}} converge a x0.x_{0}.

-->draw 2 --> 13:22 Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Denotemos xn=fn(x)x_{n}=f^n(x)

Supongamos que xn→x0x_{n}\to x_{0}. Entonces x0x_{0} es punto fijo, pues:

x0←∞←nxn+1=f(xn)→f continuaf(x0)∴ x0=f(x0)\begin{array}{c} x_{0}\underset{\infty\leftarrow n}{\leftarrow} x_{n+1}=f(x_{n})\underset{\text{f continua}}{\to} f(x_{0}) \\ \therefore\: x_{0}=f(x_{0}) \end{array}
  • Veamos que (xn)(x_{n}) es de Cauchy.
d(xm,xm+1)=d(f(xm−1,f(xm)))≤C.d(xm,xm−1)∀m≥1(1)d(x_{m},x_{m+1})=d(f(x_{m-1},f(x_{m})))\leq C.d(x_{m},x_{m-1})\quad \forall m\geq 1 \tag{1}

-->36:40 Así

d(xn,xn+k)≤∑i=0k−1d(xn+i,xn+i+1)≤(2)Cn−1(∑i=0k−1Ci).d(x1,x2)≤pues 0≤C<1Cn−1.11−C.d(x1,x2)→n→∞0d(x_{n},x_{n+k})\leq \sum_{i=0}^{k-1} d(x_{n+i},x_{n+i+1})\underset{(2)}{\leq } C^{n-1}\left( \sum_{i=0}^{k-1} C^i \right).d(x_{1},x_{2})\underset{pues\:0\leq C<1 }{\leq } C^{n-1}. \frac{1}{1-C}.d(x_{1},x_{2})\underset{n\to \infty}{\to }0

ya que

∑i=0k−1d(xn+i,xn+i+1)≤(1)Cn+i−1.d(x1,x2)(2)\sum_{i=0}^{k-1} d(x_{n+i},x_{n+i+1})\underset{(1)}{\leq }C^{n+i-1}.d(x_{1},x_{2})\tag{2}

Obs:Obs: Haciendo k→+∞k\to+\infty en la desigualdad hace que la sumatoria en ii sea exactamente a 11−C\frac{1}{1-C}:

d(xn,x0)≤Cn−11−C.d(x1,x2)d(x_{n},x_{0})\leq \frac{C^{n-1}}{1-C}.d(x_{1},x_{2})

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea E compacto, f:E→E tal que d(f(x),f(y))<d(x,y)∀x,y∈E,x≠yEntonces f tiene un uˊnico punto fijo\begin{array}{l} \text{Sea $E$ compacto, $f:E\to E$ tal que }\\ d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad\forall x,y\in E,x\neq y\\ \text{Entonces $f$ tiene un único punto fijo} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

  • Unicidad: queda como ejercicio
  • Existencia: Sea ϕ:E→R≥0\phi:E\to \mathbb{R}_{\geq0}, ϕ(x)=d(x,f(x))\phi(x)=d(x,f(x)) Como ϕ\phi es continua (queda como ejercicio, es porque ff es continua y la distancia se porta bien) y EE es compacto.  ∃ x0∈E\:\exists\:x_{0}\in E con ϕ(x0)\phi(x_{0}) mínimo. Si 0=ϕ(x0)=d(x0,f(x0)),f(x0)=x00=\phi(x_{0})=d(x_{0},f(x_{0})),f(x_{0})=x_{0} y listo. Si no, i.e. f(x0)≠x0f(x_{0})\neq x_{0}:
ϕ(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))<x0≠f(x0)d(x0,f(x0))=ϕ(x0)\phi(f(x_{0}))=d(f(x_{0}),f(f(x_{0})))\underset{x_{0}\neq f(x_{0})}{<}d(x_{0},f(x_{0}))=\phi(x_{0})

Absurdo. Entonces x0=f(x0)x_{0}=f(x_{0}). Luego existe punto fijo.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Aplicaciones

Sea F:U⊆R2→RF:U\subseteq \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}. Queremos resolver :

{y′=F(x,y)y(x0)=y0(1)\begin{cases} y'=F(x,y) \\ y(x_{0})=y_{0} \end{cases}\tag{1}

Es decir, hallar y:I→Ry:I\to \mathbb{R} derivable, x0∈Ix_{0}\in I Integrando:

y(x)=y0+∫x0xF(t,y(t)) dt(2)y(x)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x} F(t,y(t)) \, dt \tag{2}

(1)(1) y (2)(2) son equivalentes.

Definimos

f(y)(x)=y0+∫x0xF(t,y(t)) dtf(y)(x)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x} F(t,y(t)) \, dt

Así, yy es solución sii f(y)=yf(y)=y --> 18:42 Para δ>0\delta>0 consideramos Iδ=[x0−δ,x0+δ]I_{\delta}=[x_{0}-\delta,x_{0}+\delta], y∈C(Iδ)=Eδ,f:Eδ→Eδy\in C(I_{\delta})=E_{\delta},f:E_{\delta}\to E_{\delta}. Consideramos la distancia d∞d_{\infty}. Vale: EδE_{\delta} es completo. ∴ \therefore\: Basta ver que ff es contracción.

∣f(y)(x)−f(z)(x)∣≤∫x0x∣F(t,y(t))−F(t,z(t))∣ dt|f(y)(x)-f(z)(x)|\leq \int_{x_{0}}^x \left|F(t,y(t))-F(t,z(t))\right| \, dt

Hipótesis(sobre FF):  ∃ M≥0\:\exists\:M\geq0 con

∣F(t,y)−F(t,z)∣≤M.∣y−z∣∀y,z,t cerca de x0|F(t,y)-F(t,z)|\leq M.|y-z|\quad \forall y,z,t \text{ cerca de }x_{0}

FF localmente Lipschitz en la 1ra variable.

Así,

∣f(y)(x)−f(z)(x)∣≤M.∫x0x∣y(t)−z(t)∣ dt≤(+)M.∣x−x0∣.d∞(y,z)|f(y)(x)-f(z)(x)|\leq M.\int_{x_{0}}^x |y(t)-z(t)| \, dt \underset{(+)}{\leq} M.|x-x_{0}|.d_{\infty}(y,z)

Usé que

∣y(t)−z(t)∣≤d∞(y,z)(+)|y(t)-z(t)|\leq d_{\infty}(y,z)\tag{+}

y que

∣x−x0∣≤δ|x-x_{0}|\leq \delta

Y un teorema de análisis 2: ( ∃ !\:\exists\:! de solución para EDO)

Si F es localmente Lipschitz en su 1er variable, (1) tiene una uˊnica solucioˊn en [x0−δ,x0+δ], si δ es suficientemente chico.\begin{array}{c} \text{Si $F$ es localmente Lipschitz en su 1er variable, $(1)$ tiene una única solución }\\ \text{en $[x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta]$, si $\delta$ es suficientemente chico.} \end{array}

Siguiendo con la demo:

∴ d∞(f(y),f(z))≤M.δ.d∞(y,z)\therefore\: d_{\infty}(f(y),f(z))\leq M.\delta.d_{\infty}(y,z)

Citas y Comentarios

Compacto implica completo. Próxima clase espacios normados, son espacios vectoriales con una distancia.

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