12 - Compacidad I

4 de octubre de 200320 min de lectura

Thu-03-10-2024 09:00 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Compacidad

${\color{Cyan} \text{Def. :} }$

\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$ es compacto si $\forall(a_{n})\subseteq K,\:\exists\:(a_{n_{k}})$ subsucesión con $a_{n_{k}} \underset{k\to \infty}{\to} l,\quad l \in K$.} \end{array}

$Obs:$ Todo transcurre en $K,E$ no importa.

Ejemplos:

$K=(0,1]\subseteq \mathbb{R}$ no es compacto:

Idea : Basta con encontrar una sucesión tal que tenga una subsucesión que converja fuera de $K$ . $a_{n}= \frac{1}{n}$ no tiene subsucesiones convergentes en $K:$

a_{n}\to 0 \implies a_{n_{k}}\to 0 \quad \forall(a_{n_{k}}).

En $(C([0,1]), d_{\infty}),$ sea $f_{0}=0$ . Afirmo:

$K=\overline{B}(f_{0},1)$ es cerrado y acotado pero no es compacto.

Recordar que $\overline{B}(f_{0},1)=\{ f\in C[0,1]: d_{\infty}(f,f_{0})=max_{x \in[0,1]}\lvert f-f_{0} \rvert\leq1\}$

Definimos una sucesión de funciones como en el gráfico. Con $f_{n}\left( \frac{1}{n} \right)=1$ . Sea $(f_{n})\subseteq K$ . Así, $f_{n}\left( \frac{1}{n} \right)=1, f_{m}\left( \frac{1}{n} \right)=0$ si $n\neq m.$ Luego $d_{\infty}(f_{n},f_{m})=1$

draw-compacidadI-1

Notar que $d_{\infty}(f_{n},f_{m})=1-\delta_{mn}$ (Por Kromecker). Esto está demás, no hace falta en la demo. ${\color{Red} \text{Revisar esto con otro apunte} }$ Más aún, $\forall(f_{n_{k}}):d_{\infty}(f_{n_{k}},f_{n_{l}})=1\quad si\:k\neq l$ Luego, $(f_{n_{k}})$ no converge. Más aún, no es de Cauchy.

$E$ infinito, métrica $\delta,K\subseteq E$ infinito. Entonces $K$ no es compacto.

K \text{ infinito} \implies \:\exists\:(a_{n})\subseteq K\text{ con } a_{n}=a_{m}\quad \forall n\neq m

Así, $\delta(a_{n},a_{m})=1\quad\forall n\neq m$ Y sigo como el ejercicio anterior

Notar que $K$ es cerrado y acotado.

Versión revisada del ejemplo 2 y 3

[!fail] Contraejemplo: La Bola Unitaria en Dimensión Infinita NO es Compacta Contexto: Espacio de funciones continuas $(C([0,1]), d_{\infty})$ . Afirmación: La bola cerrada unitaria $K = \overline{B}(0,1) = \{ f \in C([0,1]) : \|f\|_\infty \le 1 \}$ es cerrada y acotada, pero NO es compacta. Consecuencia: El Teorema de Heine-Borel falla en dimensión infinita.

Demostración

Para probar que no es compacta, basta exhibir una sucesión $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K$ que no admita ninguna subsucesión convergente.

1. Construcción de la sucesión ("Funciones Tienda")

Definimos la sucesión de funciones $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que cada $f_n$ tiene un "pico" de altura 1 en $x_n = \frac{1}{n}$ y soporte en $[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n-1}]$ .

Formalmente (viendo el gráfico):

f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = \frac{1}{n} \\ 0 & \text{si } x \notin (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n-1}) \\ \text{lineal} & \text{en los intervalos intermedios} \end{cases}

Claramente $\|f_n\|_\infty = 1$ , por lo que $f_n \in \overline{B}(0,1)$ .

2. Propiedad de la Distancia

Evaluemos la distancia entre dos funciones distintas $f_n$ y $f_m$ (supongamos $n \neq m$ ). Consideremos el punto $x = \frac{1}{n}$ .

$f_n(\frac{1}{n}) = 1$ (por definición).
$f_m(\frac{1}{n}) = 0$ (porque el soporte de $f_m$ no incluye el pico de $f_n$ ).

Entonces:

d_\infty(f_n, f_m) = \max_{t \in [0,1]} |f_n(t) - f_m(t)| \ge \left| f_n\left(\frac{1}{n}\right) - f_m\left(\frac{1}{n}\right) \right| = |1 - 0| = 1

Como la altura máxima de las funciones es 1, la diferencia no puede ser mayor a 1, por lo tanto:

d_\infty(f_n, f_m) = 1 \quad \forall n \neq m

3. Conclusión (Fallo de Cauchy)

Sea $(f_{n_k})$ cualquier subsucesión. Para cualquier par de índices $k \neq l$ :

d_\infty(f_{n_k}, f_{n_l}) = 1

Como la distancia nunca tiende a 0, la subsucesión no puede ser de Cauchy, y por lo tanto, no converge. $\therefore K$ no es compacto.

[!info] Analogía: Métrica Discreta El comportamiento anterior es análogo a un conjunto infinito con la métrica discreta.

Sea $(E, \delta)$ un espacio métrico discreto ( $\delta(x,y)=1$ si $x \neq y$ ). Sea $A \subseteq E$ un subconjunto infinito.

Tomamos una sucesión $(a_n) \subseteq A$ de puntos todos distintos ( $a_n \neq a_m$ si $n \neq m$ ).

La distancia entre términos es:

\delta(a_n, a_m) = 1 \quad \forall n \neq m

Al igual que con las funciones, es imposible extraer una subsucesión de Cauchy.

Resultado: En la métrica discreta, los conjuntos infinitos (aunque sean cerrados y acotados por 1) no son compactos.

${\color{green} \text{Lema } }$

\begin{array}{l} \text{$K\subseteq \mathbb{R}$ compacto. Entonces $K$ es acotado. Más aún, $\:\exists\:a,b\in K$ con $K \subseteq[a,b]$.} \end{array}

${\color{green} \text{Dem:} }$ Por absurdo, supongo que $K$ no está acotado. Luego $\:\exists\:(a_{n})\subseteq K$ con $a_{n}\to \infty$ . No tiene subsucesiones convergentes en $K$ . Así concluyo que $K$ entonces debe ser acotado.

Falta ver el "Más aún..."

Sean $a=inf(K),b=sup(K)$ Así $K\subseteq[a,b]$

a=inf(K) \implies \:\exists\:(a_{n})\subseteq K\:con\:a_{n}\to a

Tomo $(a_{n_{k}})\subseteq K$ convergente en $K$ . Así $a_{n_{k}}\to a'$ con $a'\in K$ Como $a=a',a\in K$

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

${\color{Orange} \text{Prop. :} }$

\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$ compacto. Entonces $K$ es cerrado y acotado} \end{array}

No vale la vuelta, ver ej. 2

${\color{Orange} \text{Dem:} }$

Veo que es cerrado: Ver demo anterior (de acotada).
Veo que es acotado: Elijo $x_{0}\in K$ y tomo $f:K\to \mathbb{R}\:|\:f(x)=d(x,x_{0})$ Entonces $f$ es continua. Veremos que: $f(k)\subseteq \mathbb{R}$ es compacto. Luego $\:\exists\:b\:|\:f(x)\leq b\quad\forall x$ . Así, $K\subseteq \overline{B}(x_{0},b)$ Y como $\overline{B}(x_{0},b)$ es acotado, $K$ también lo es.

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

${\color{violet} \text{Teorema :} }$

\begin{array}{l} \text{Teorema de Heine-Borel} \\ \text{En $(\mathbb{R}^n,d_{2})$ todo cerrado y acotado es compacto.} \end{array}

También sucede en $d_{1}$ y $d_{\infty}$ . Este teorema es importante porque garantiza que cualquier sucesión en un conjunto cerrado y acotado tiene una subsecuencia convergente cuyo límite también pertenece al conjunto.

${\color{violet} \text{Dem:} }$ Sea $K\subseteq \mathbb{R}^n$ cerrado y acotado. Tomo $(a_{n})\subseteq K.$ Escribimos

a_{n}=(a_{n}^{(1)},a_{n}^{(2)},\dots ,a_{n}^{(n)})\implies(a_{n}^{(j)})\subseteq \mathbb{R}\:acotado\:\forall j=1,\dots,n.

Ahora usamos el teorema de B-W(enunciado y demostrado más abajo) :

El teorema de Bolzano-Weierstrass (B-W) nos dice que toda sucesión acotada en $\mathbb{R}$ tiene una subsecuencia convergente. Como $(a_n)$ es una sucesión en $K$ y $K$ es acotado, cada subsecuencia $(a_n^{(j)})$ de las coordenadas $j$ -ésimas también está acotada en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, podemos aplicar Bolzano-Weierstrass a cada subsecuencia.

$(a_{n}^{(1)})\subseteq \mathbb{R}\:acotado\: \underset{\text{por B-W}}{\implies}\:\exists\:(a_{n_{k}}^{(1)})\text{ con }a_{n_{k}}^{(1)}\to a^{(1)}\quad{\color{green} \text{que es } a^{(1)}?}$

$a^{(1)}$ es un límite, solo sé que existe y que está en $\mathbb{R}$ .

$(a_{n_{k}}^{(2)})\subseteq \mathbb{R}\:acotado\: \underset{\text{por B-W}}{\implies}\:\exists\:(a_{n_{k_{l}}}^{(2)})\text{ con }a_{n_{k_{l}}}^{(2)}\to a^{(2)}$

También $a_{n_{k_{l}}}^{(1)}\to a^{(1)}$ . Pues si una sucesión converge a $l$ , entonces toda subsucesión converge a $l$ .

Así siguiendo, tengo que $(a_{n_{k_{l_{._{._{._{z}}}}}}})\subseteq K$ con $a_{n_{k_{l_{._{._{._{z}}}}}}}^{(j)}\underset{z\to \infty}{\to} a^{(j)}$

Acá construyo tantas subsucesiones como coordenadas tenga $a_{n}$ .

Así, $(a_{n_{k_{l_{._{._{._{z}}}}}}})\to a=(a^{(1)},\dots,a^{(n)})$ Como $K$ es cerrado, $a\in K$

Usamos fuertemente de que si un conjunto es cerrado, toda sucesión convergente en $K$ tiene límite en $K$ . Teórica 9- Espacios Métricos V. Recordar que una sucesión en $K$ que converge, converge en $\overline{K}$ siempre.

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

${\color{violet} \text{Teorema :} }$

\begin{array}{l} \text{Teorema de Bolzano-Weierstrass} \\ \text{Toda sucesión $(a_{n})\subseteq \mathbb{R}$ acotada tiene una subsucesión convergente.} \end{array}

${\color{violet} \text{Dem:} }$

Primero necesitamos una definición:

Decimos que $m\in \mathbb{N}$ es punto panorámico si $a_{n}<a_{m}\quad\forall n>m$

draw-compacidadI-2

Acá usaremos el ej. 11 Práctica 1: Toda sucesión en $\mathbb{R}$ acotado y decreciente converge.

Caso 1: $(a_{n})$ tiene infinitos puntos panorámicos.

n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots

Así:

a_{n_{1}}>a_{n_{2}}>a_{n_{3}}>\dots

Es decir, $(a_{n_{k}})$ es (estrictamente) decreciente. Como es acotada, converge (pues tiene cota inferior).

Caso 2: $(a_{n})$ tiene finitos puntos panorámicos.

La clave acá es que elegir $m'$ tal que sea el último punto panorámico(existe pues son finitos). Entonces todos los demás en la sucesión son no panorámicos. Luego, como son no panorámicos existe un elemento en la sucesión tal que lo hace ser no panorámico al anterior que elegimos. Y así construir una sucesión creciente.

\:\exists\:m':m>m'\implies m\text{ no es panorámico}

$\:\exists\:n_{1}>m$ con $n_{1}$ no panorámico. $\:\exists\:n_{2}>n_{1}$ con $a_{n_{2}}\geq a_{n_{1}}$ Como $n_{2}$ no es panorámico $\:\exists\:n_{3}>n_{2}$ con $a_{n_{3}}\geq a_{n_{2}}\dots$ Así tengo que $(a_{n_{k}})$ es creciente. Y como es acotada, converge.

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Recapitulando

draw-compacidadI-3