Clase 3 - Variables aleatorias y función de distribución acumulada

Variables aleatorias

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$Obs:$ Si $f$ es una función

$$f^{-1}(A^{c} )=f ^{-1}(A) ^{c} \quad \quad ,\quad \quad f ^{-1}\left( \bigcup A_{i} \right)=\bigcup f ^{-1}(A_{i})$$

Entonces puedo calcular $\mathbb{P}(X \in A)$ para $A=$

• $(-\infty,a]$ con $a \in \mathbb{R}$
• $(b,+\infty)$ con $b \in \mathbb{R}$
• $(b,a]$
• Si $a_{n} \longrightarrow a$ creciente. Tomo $\displaystyle\bigcup(b,a_{n}]=(b,a)$
• $(b,a]-(b,a)=\{ a \}$

Además

• Abiertos
• Cerrados
• $G_{\delta}, F_{\delta}$

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Notación, $A \subseteq \mathbb{R}$

$$\mathbb{P}(X \in A)=\mathbb{P}(X ^{-1}(A))=\mathbb{P}( \{ \omega \in \Omega\bigm| X(\omega) \in A \})$$

Si $A=(-\infty,a]$

$$\begin{array}{c} \mathbb{P}(X\leq a)=\mathbb{P}(X \in A) \\ \mathbb{P}(a\leq X\leq b)=\mathbb{P}(X \in[a,b]) \\ \mathbb{P}(X=8) \end{array}$$

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$X$ es un número del $[0,1]$ tomado de forma uniforme.

$\mathbb{P}(a\leq X\leq b)=b-a$

Una variable aleatoria $X$ induce una probabilidad en $\mathbb{R}$.

$$\mathbb{P}_{X}(A)=\mathbb{P}(X \in A)$$

La $\sigma-$álgebra es la de los Bolerianos, $B.$

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Ejemplo: Tiro un dado

$$X=\begin{cases} 0 & \text{es par} \\ 1 & \text{es impar} \end{cases}$$

$\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}_{X}(0)= \frac{1}{2}$ $\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}_{X}(1)= \frac{1}{2}$

$$P_{X}(A)=\begin{cases} 0 & 0,1 \not\in A \\ \frac{1}{2} & 0 \in A,1 \not\in A \lor0\not\in A,1 \not\in A \\ 1 & 0,1 \in A \end{cases}$$ $$Y=\begin{cases} 1 & \text{es par} \\ 0 & \text{ es impar} \end{cases}$$

$\mathbb{P}_{Y}(A)=\mathbb{P}_{X}(A)$ $\mathbb{P}(X=Y)=0$

La probabilidad que induce $X$ se llama distribución de $X$. Si $P_{X}=\mathbb{P}_{Y}$ escribimos $X \sim Y$

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Distribución acumulada de $X$

$${F}_{X}(t)=\mathbb{P}(X\leq t)$$

Ejemplo: $X$ tal que $P(X=0)=\mathbb{P}(X=1)= \frac{1}{2}$

$$F_{X}(t)=\mathbb{P}(X\leq t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ \frac{1}{2} & 0\leq t<1 \\ 1 & t\geq 1 \end{cases}$$

$F_{X}(8)=\mathbb{P}(X\leq8)=1$

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$X$ uniforme en $[0,1]$

$$F_{X}(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ t & 0\leq t<1 \\ 1 & 1\leq t \end{cases}$$

En particular es continua la función, a diferencia de la anterior.

$$(-\infty,a)=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(-\infty,a_{n}]$$

Si $a_{n} \to a$ de forma creciente. Entonces

$$\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}_{X}(-\infty,a_{n}]=\mathbb{P}_{X}(-\infty,a)$$ $$\underset{ t\to a ^{-} }{ \lim } F_{X}(t)=\mathbb{P}_{X}(-\infty,a_{n})$$ $$\mathbb{P}_{X}(\{ a \})=F_{X}(a)- \underset{ t\to a ^{-} }{ \lim } F_{X}(t)$$

Vamos a clasificar a las variables aleatorias en cuatro tipos:

• Discretas: Asignan probabilidad a puntos. $F_{X}(t)$ es escalonada.

Ejemplo:

• El resultado de un dado
• Tiro un dado hasta que salga 6 y cuento tiradas.

2. Absolutamente continuas(a veces decimos continuas) $X$ es absolutamente continua si existe $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que

$$F_{X}(t)=\int_{-\infty}^{t} f(x) \, dx$$

No le asignan probabilidad a puntos.

3. Mixtas $Y$ uniforme en $[0,1]$ . $X=min\left\{ \frac{1}{2},X \right\}$

4. Otras: otro día vemos ejemplos.

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Variables aleatorias discretas

$X$ es discreta si existe $A$, a lo sumo numerable tal que $\mathbb{P}(X \in A)=1$ El conjunto

$${R}_{X}=\{ x \in \mathbb{R}\bigm| \mathbb{P}(X=X)>0 \}$$

se llama rango de $X$

Función de probabilidad puntual

${P}_{X}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$\begin{array}{c} {P}_{X}(k)=\mathbb{P}(X=k) \end{array}$$

Si conozco $\mathbb{P}_{X},$ conozco completamente a la distribución de $X$

$$\begin{array}{c} P(X=0)=P(X=1) \\ P_{X}(0)= \frac{1}{2} \\ P_{X}(1)= \frac{1}{2} \end{array}$$

Notar que hay 3 notaciones que vimos

• $\mathbb{P}(X=k)$
• $\mathbb{P}_{X}(\{ k \})$
• $P_{X}(k)$

Una variable aleatoria que cumple $R_{X}=\{ 0,1 \}, P_{X}(1)=P$ le llamamos Bernoulli. Escribimos $X \sim Be(P)$