Clase 5 - Transformación de variables aleatorias y vectores aleatorios

Si $g'<0:$

$$f_{y}(Y)=\frac{f_{x}(g'(y))}{|g'(g'(y))|} \mathbb{1}_{\mathrm{Im}(g)}(y)$$

Ej: $y=ax+b$

con $a,b \in \mathbb{R}$

$$f_{y}(y)=f_{x}\left( \frac{y-b}{a} \right) \cdot \frac{1}{|a|}\quad \quad ;g'(x)=\frac{y-b}{a}$$

---

$obs:$ Si $X \sim N(0,1)$

$$f_{x}=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}$$

$y=ax+b$

$$f_{y}(y)= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi a^{2} }}\cdot e ^{- \frac{(y-b)^{2}}{2a^{2}}}$$ $$X \sim N(0,a^{2})$$

Además, $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma},\quad \quad z \sim N(0,1)$$ $$\mathbb{P}(x\leq t)=\mathbb{P}\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\leq \frac{t-\mu}{\sigma} \right)$$

Si $g$ es cualquiera puede pasar cualquier cosa.

Ej:

$$X \sim \mathcal{U}[-1,1] \quad \quad Y=X^{2}$$ $$\mathbb{P}(X\leq t)=\mathbb{P}(X^{2}\leq t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\\dots \\ 1 & 1\leq 1 \end{cases}$$ $$\mathbb{P}(X^{2}\leq t)=\mathbb{P}(|X|\leq \sqrt{ t })=\mathbb{P}(-\sqrt{ t }\leq X \leq \sqrt{ t })=2 \sqrt{ t }$$

$f_{Y}(Y)=\frac{1}{2\sqrt{ Y }}$ Para que valores de $Y$ esto tiene sentido?

Por lo tanto agrego la indicadora

$$f_{Y}(Y)=\frac{1}{2\sqrt{ Y }} \Large\mathbb{1}_{(0,1)}(X)$$

• Aclaración:

$$\mathbb{P}(-\sqrt{ 2 }\leq X \leq \sqrt{ 2 })=\sqrt{ 2 }$$ $$f_{X}= \frac{1}{2}\cdot \large\mathbb{1}_{[-1,1]}$$

---

Vectores aleatorios

$\overline{X}$ es una variable aleatoria si es una función $\overline{X}:\Omega\to \mathbb{R}^{n}$ tal que $\overline{X}=(X_{1},\dots,X_{n})$ con $X_{i}$ una variable aleatoria.

Ejemplo:

Tiro dos dados: $\overline{X}=(X_{1},X_{2})$ . Cada coordenada del vector es un resultado del dado correspondiente.

$\overline{Y}=(X_{1},X_{1}+X_{2})$

Otro ejemplo:

Tomo un punto al azar en

$$D=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}\bigm| || (x,y) || \leq 1 \}$$ $$F_{\overline{X}}(\overline{t})=\mathbb{P}(x_{1}\leq t_{1},\dots,x_{n}\leq t_{n})$$

Cumple 3 propiedades: monótona, a $-\infty$ tiende a cero,

$$\mathbb{P}(\overline{X} \in(a,b)\times(c,d])$$

Esto último es poco práctico:

---

Dado un vector $\overline{X}$ las distribuciones de $X_{1},\dots X_{n}$ se llaman distribuciones marginales de $\overline{X}$

$Obs:$

$$\overline{X}=(X_{1},X_{2})$$ $$\underset{ t_{2}\to +\infty }{ \lim } F_{\overline{X}}(t_{1},t_{2})=F_{X_{1}}(t_{1})$$

---

Ejemplo discreto

Tiro una moneda 3 veces

$$X=\begin{cases} 1 & \text{cara en el primer tiro} \\ 0 & \text{ceca en el primer tiro} \end{cases}$$

$Y=$ cantidad de caras

$$\overline{X}=(X,Y)$$

Y \ X	0	1
0	$\frac{1}{8}$	0
1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
2	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$
3	0	$\frac{1}{4}$
A la función $P_{\overline{X}}(t_{1},t_{2})=P(X\leq t_{1} \land Y\leq t_{2})$
La llamamos probabilidad conjunta del vector $\overline{X}$
d

$$P(X=0)=P(X=0\land Y=0) + P(X=0\land Y=1)+P(X=0\land Y=2)+P(X=0\land Y=3)$$

---

$Obs:$ $X$ un vector aleatorio discreto.

$$R_{\overline{X}}\subseteq R_{X_{1}}\times R_{X_{2}}\times\dots \times R_{X_{n}}$$

$\overline{X}$ discreto. $X_{1},\dots,X_{n}$ son discretas.

$\overline{X}=(X,Y)$

$$\sum_{X \in R_{X}} \sum_{Y \in R_{Y}} P_{X,Y}(X,Y)=1$$ $$P_{X}(k)=\sum_{X \in R_{X}}P_{\underbrace{ X,Y }_{ \overline{X} }} (k,Y)$$

---

$\overline{X}$ se dice absolutamente continuo, si existe

$$f_{\overline{X}}:\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}_{ \geq 0}$$

$A \subseteq \mathbb{R}^{n}$

$$\mathbb{P}(\overline{X}\in A)=\int_{A} f_{\overline{X}}(\overline{X}) \:dX_{1}\dots dX_{n}$$

Ejemplo: $(X,Y)$ con

$$f_{X,Y}=\begin{cases} e^{-Y} & 0\leq X\leq Y \\ 0 & cc \end{cases}=e^{-Y}\cdot \Large\mathbb{1}_{(0,Y) }(X)$$ $$e^{-Y}\cdot \Large\mathbb{1}_{\{0\leq X\leq Y \}}(X,Y)$$ $$=e^{-Y}\cdot \Large\mathbb{1}_{(0,+\infty)}(X)\cdot\Large\mathbb{1}_{(X,+\infty)}(Y)$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(X,Y) \, dX \, dY =\int_{0}^{+\infty} \int_{X}^{+\infty} e^{-Y} \, dY \, dX=$$ $$\int_{0}^{+\infty} (-e^{-Y} \bigm| _{0}^{+\infty} \, dX = \int_{0}^{+\infty} e^{-X} \, dx =1$$

---

$$\mathbb{P}(2\leq Y\leq 3 \land X \leq 8)=\int_{A} e^{-Y} dXdY$$ $$\mathbb{P}(X\leq t)=\mathbb{P}(X \leq t \land X \in \mathbb{R})=\int_{-\infty}^{t} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY} \, dX \, dY$$ $$f_{Y}(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(X,Y) \, dX = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-Y}\cdot\mathbb{1}_{(0,+\infty)}(X) \cdot\mathbb{1}_{(X,+\infty)}(Y) \, dx$$ $$=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-Y}\cdot\mathbb{1}_{(0,+\infty)}(X) \cdot\mathbb{1}_{(0,X)}(X) \, dX$$ $$=\int_{0}^{Y} e^{-Y} \cdot \mathbb{1}_{(0,+\infty)} (Y)\cdot \, dX = Y \cdot e^{-Y}\cdot \mathbb{1}_{(0,+\infty)}$$