Clase 2 - Probabilidad condicional, fórmula de Bayes e independencia

Repaso de la clase pasada

$(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

$$A_{n}\subseteq A_{n+1},\{ A_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathcal{F}$$ $$\mathbb{P}\left( \bigcup A_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}(A_{n})$$

Llamo $B_{n}=A_{n}-A_{n-1}$ $A_{0}=\emptyset$

$$\bigcup B_{n}=\bigcup A_{n}\quad \quad B_{n}\cap B_{m}=\emptyset \quad n\neq m$$ $$\mathbb{P}\left( \bigcup A_{n} \right)=\mathbb{P}\left( \bigcup B_{n} \right)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{n}-A_{a_{n}-1})=\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{n})-\mathbb{P}(A_{n-1})$$

Lo ultimo pues $A_{n}\subseteq A_{n+1}$

$$=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \sum_{n=1}^{N} \mathbb{P}(A_{n})-\mathbb{P}(A_{n-1})$$ $$=\underset{ M\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}(A_{M})-\mathbb{P}(A_{0})=\underset{ M\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}(A_{M})$$

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Ej:

$$\Omega=\{ \omega_{1},\omega_{2},\dots,\omega _{n},\dots \}$$

Para definir $\mathbb{P},$ alcanza con una sucesión $(P_{i})_{i \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}$ y que $\sum P_{i}=1$ $\mathbb{P}(\{ \omega_{i} \})=P_{i}$

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Ej:

Tomo dos dados y los sumo $A=$ "La suma es $4$ " $B=$ "El segundo es par"

$$\Omega=\{ (a,b):a,b \in \{ 1,2,\dots,6 \} \}$$

$A=\{ (1,3),(3,1),(2,2) \}$ $\mathbb{P}(A)=\frac{3}{36}$ , $\mathbb{P}(B)=\frac{1}{2}$

$B=\{ (a,b):a \in \{ 1,..,6 \},b \in \{ 2,4,6 \} \}$

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Probabilidad condicional

Dados $A$ y $B$ eventos de $\Omega$ con $\mathbb{P}(B)> 0$ . Definimos

$$\mathbb{P}(A \bigm| B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$

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Ejemplo

De una urna con 5 bolitas rojas y 4 blancas, saco 1. Además 2 de las blancas y 1 roja tienen cruz.

Defino 3 eventos

$B=$ "La bolilla es blanca" $R=$ "La bolilla es roja" $C=$"La bolilla tiene cruz"

$$\mathbb{P}(B)=\frac{4}{9}\quad \quad \mathbb{P}(B\bigm| C)= \frac{2}{3}\quad \quad \mathbb{P}(B\bigm| C^{c})= \frac{1}{3}\quad \mathbb{P}(C\bigm| R)= \frac{1}{5}\quad \mathbb{P}(C\bigm| \mathbb{R}^{c})=\frac{1}{2}$$ $$\mathbb{P}(C^{c}\bigm| R)= \frac{4}{5}$$

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$Obs:$ Si $\mathbb{P}(B)> 0$,

$$\mathbb{P}_{B}(A) :=\mathbb{P}(A\bigm| B)\text{ es una probabilidad}$$

$Obs:$ $\mathbb{P}(A\bigm|B)+\mathbb{P}(A\bigm|B^{c})$ no tiene por qué dar 1.

$Obs:$ $A\bigm|B$ no es un evento

Es una nueva función de probabilidad.

Por lo tanto $\mathbb{P}(A\bigm|B\bigm|C)$ no tiene sentido. En general, lo que están queriendo escribir es $\mathbb{P}(A\bigm|B\cap C)$

Ejemplo:

$$\mathbb{P}_{B}(A\bigm| C)=\frac{\mathbb{P}_{B}(A\cap C)}{\mathbb{P}_{B}(C)}=\frac{\mathbb{P}(A\cap C\bigm| B)}{\mathbb{P}(C\bigm| B)}$$

Ni idea que es esto. No jugar mucho con las notaciones.

$Obs:$ $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\bigm|B)\cdot \mathbb{P}(B)$ Regla de multiplicación.

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Sigamos con la misma urna:

Ahora saco 2 bolillas sin reposición. $A=$ "Las 2 bolillas que saqué son rojas" $R_{i}=$ "La i´-ésima es roja"

$A=R_{1}\cap R_{2}$ $\mathbb{P}(R_{1}\cap R_{2})=\mathbb{P}(R_{1})\cdot \mathbb{P}(R_{2}\bigm|R_{1})= \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}$ $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B\bigm|A)\cdot \mathbb{P}(C\bigm|A\cap B)$

Ejercicio: Generalizarlo a $n$ eventos

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En simultáneo: ya no hay pares sino subconjuntos.

$$\frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix} }$$

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Tengo 3 monedas, elijo una al azar(de forma uniforme) Una tiene 2 caras, el resto son comunes. Tiro la moneda y observo. La pregunta es ¿Cuál es la probabilidad que salga cara?

Después,

$Obs:$ Dados $A$ y $B$ eventos

$$A=(A\cap B)\bigcup ^{d} (A\cap B^{c} )$$ $$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A\cap B^{c} )\text{ si } 0<\mathbb{P}(B)<1$$ $$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A\bigm| B)\cdot \mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(A\bigm| B^{c} )\cdot \mathbb{P}(B^{c} )$$

Volvamos a los eventos:

$C=$"Sale cara" $A=$ "Elijo la moneda de dos caras"

$$\mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(C\bigm| A)\cdot \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(C\bigm| A^{c} )\cdot \mathbb{P}(A^{c} )=1\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

En general, si $\{ E_{i} \}_{i \in \mathbb{N}}$ es una partición de $\Omega$.

$$\bigcup E_{i} \in \Omega \quad y\quad E_{i}\cap E_{j}=\emptyset$$ $$\mathbb{P}(A)=\sum \mathbb{P}(A\bigm| E_{i})\cdot \mathbb{P}(E_{i})$$

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Mismos eventos que antes (3 monedas, etc.) $\displaystyle\mathbb{P}(A\bigm|C)=\frac{\mathbb{P}(A\cap C)}{\mathbb{P}(C)}=\frac{\mathbb{P}(C\bigm|A)\cdot \mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(C)}= \frac{1\cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}= \frac{1}{2}$

Fórmula de Bayes

Si $A$ y $B$ son eventos. $\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)> 0.$ Entonces:

$$\mathbb{P}(A\bigm| B)= \frac{\mathbb{P}(B\bigm| A)\cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$$

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Ejemplo:

Una enfermedad afecta al 1 por mil de la población y un test para detectar la enfermedad tiene:

• Sensibilidad del 95%: La probabilidad de que dé positivo estando enfermo es 0.95.
• Especificidad del 99%: Probabilidad de que dé negativo sino estoy enfermo.

$P=$"Es test da positivo" $E=$ "Tengo la enfermedad" $\mathbb{P}(E)=0,001$ $\mathbb{P}(P\bigm|E)=0,95$ $\mathbb{P}(P^{c}\bigm|E^{c})=0,99$

$$\mathbb{P}(E\bigm|P)=\frac{\mathbb{P}(P\bigm| E)\cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(P)}=\frac{\mathbb{P}(P\bigm| E)\cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(P\bigm| E)\cdot \mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(P\bigm| E^{c} )\cdot \mathbb{P}(E^{c} )}=$$ $$=\frac{0.95\cdot{0}.001}{0.95\cdot{0}.001+0.01\cdot{0}.999}=0.087$$

Da eso porque la enfermedad es muy rara. Y la cantidad de personas sanas es mucho. Es decir, en mil personas solo 1 está enfermo. Además hay 10 falsos positivos.

Ver el problema de bibliotecarios y granjeros.

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Independencia de eventos

$A$ y $B$ son independientes si

$$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$$

Si $\mathbb{P}(B)>0$

$$\mathbb{P}(A\bigm| B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A)$$

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Ejemplo:

$A=$ "La suma es 4" $B=$ "El segundo es par" $C=$"La suma es 3"

$A$ y $B$ son independientes?

$\mathbb{P}(A)= \frac{3}{36}$ , $\mathbb{P}(B)= \frac{1}{2}$ , $\mathbb{P}(A \cap B)= \frac{1}{36} \neq \frac{3}{36} \cdot \frac{1}{2}$

$B$ y $C$ ? si.

$\mathbb{P}(C)= \frac{2}{36},\quad\mathbb{P}(C\cap B)= \frac{1}{36},\quad\mathbb{P}(C \cap B)= \frac{2}{36} \cdot \frac{1}{2}$

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$Obs:$

1. Si $A\cap B=\emptyset$. Son independientes si y solo si $\mathbb{P}(A)=0=\mathbb{P}(B)$
2. Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $B^{c}$ también.

$$\mathbb{P}(A\cap B^{c} )=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)\cdot(1-\mathbb{P}(B))=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B^{c} )$$

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Ejercicio 2:

Monedas como antes. Elijo una, la tiro 2 veces.

$C_{i}=$ "El tiro i-ésimo es cara" $C_{1}$ y $C_{2}$ son independientes? $A=$ "Elijo la moneda de dos caras"

$$\mathbb{P}(C_{1}\cap C_{2})=\mathbb{P}(C_{1}\cap C_{1}\bigm| A)\cdot \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(C_{1}\cap C_{2}\bigm| A^{c} )\cdot \mathbb{P}(A^{c} )=1\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$$

$\mathbb{P}(C_{1})= \frac{2}{3}\quad\mathbb{P}(C_{2})= \frac{2}{3}\implies$ NO

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Independencia de 3 (o más) eventos

$A,B$ y $C$ son independientes. Si $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$

$$\begin{array}{c} \mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(C) \\ \mathbb{P}(C\cap B)=\mathbb{P}(C)\cdot \mathbb{P}(B) \\ \mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C) \end{array}$$

Para $m$ eventos

$A_{1},A_{2},\dots,A_{m}$ son independientes. Si para toda elección de cualquiera cantidad de ellos la probabilidad se factoriza:

$$\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2}\cap\dots \cap A_{m})=\mathbb{P}(A_{1})\cdot \mathbb{P}(A_{2}) \dots \mathbb{P}(A_{m})$$