Clase 5 - Función de distribución y distribuciones discretas

$Def:$ Variable aleatoria es una función $X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que

$$X ^{-1}((-\infty,a]) = \{ \omega \in \Omega:X(\omega)\leq a \} \forall a \in \mathbb{R}$$

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$Def:$

$$F_{X}:\mathbb{R} \longrightarrow [0,1]$$ $$F_{X}(t)=\mathbb{P}(X\leq t)=\mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega:X(\omega)\leq t \})=\mathbb{P}(X ^{-1}((-\infty,t]))$$

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$Obs:$ $X$ variable aleatoria si

$$\mathbb{R}_{X}=\{ t \in \mathbb{R} \bigm| \mathbb{P}(X =t)> 0\}$$

$|\mathbb{R}_{X}|\leq \aleph_0$

Probabilidad puntual:

$$P_{X}(t)=\mathbb{P}(X=t)=F(t)- F(t^{-} )$$

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Sea $X$ variable aleatoria.

$$F_{X}(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 0.3 & 0\leq t<1 \\ 0.8 & 1 \leq t<2 \\ 1 & 2\leq t \end{cases}\quad \quad X \in \{ 0,1,2 \}$$ $$\mathbb{P}(X \in (1,2])= \mathbb{P}(X=2)=F(2)-F(2^{-} ) = 1 - 0.8=0.2$$ $$\mathbb{P}(X \in (1,2)) = 0$$ $$\mathbb{P}(X \in[1,2))=\mathbb{P}(X=1)= 0.5=F(2^{-} )-F(1^{-} )$$ $$\mathbb{P}(X \in[1,2])=\mathbb{P}(X=1 \lor X=2)= 0.7$$ $$1- \mathbb{P}(X \in(-\infty ,1))$$

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$$\left[ 1, \frac{3}{2} \right]=[1,2)=\bigcup_{n \geq 0} \left( \frac{3}{2}, 2 - \frac{1}{n} \right)= A_{1}$$ $$A_{2}=\bigcup ^{d} \bigcap_{ n\geq 0}\left( 1 - \frac{1}{n}, \frac{3}{2} \right)$$ $$\mathbb{P}(X \in [1,2))= \mathbb{P}(X \in A_{1}) + \mathbb{P}(X \in A_{2})=$$ $$\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}\left( X \in \left( \frac{3}{2}, 2 - \frac{1}{n} \right] \right) + \underset{ n\to \infty }{ \lim } \mathbb{P}\left( X \in \left( 1 - \frac{1}{n}, \frac{3}{2} \right] \right)$$ $$\underset{ n\to \infty }{ \lim } \underbrace{ F\left( 2 - \frac{1}{n} \right) }_{ F(2^{-} ) } - \underbrace{ F\left( \frac{3}{2}^{+} \right) }_{ 0.8 } +\underset{ n\to \infty }{ \lim } \underbrace{ F\left( \frac{3}{2} \right) }_{ 0.8 } - \underbrace{ F\left( \left( 1- \frac{1}{n} \right)^{+} \right) }_{ F\left( 1- \frac{1}{n} \right) }$$ $$=F(2^{-} )-0.8 + 0.8 - F(1 ^{-} )$$ $$P_{X}(2)=\mathbb{P}(X \in[1,2]) - \mathbb{P}(X \in[1,2) = 0.7 - 0.5 = 0.2$$ $$P_{X}(1)=\mathbb{P}(X \in[1,2]) - \mathbb{P}(X \in (1,2]) = 0.7 - 0.2 = 0.5$$ $$\mathbb{P}_{X}(0) = 1 - \mathbb{P} (X \in[1,2]) = 1 - 0.7 = 0.3$$ $$P_{X}(t)=\begin{cases} 0.3 & t=0 \\ 0.5 & t=1 \\ 0.2 & t=2 \end{cases}$$

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$X=$ Cantidad de huevos que pone un pato $\mathbb{P}(\text{Un huevo se desarrolla})=0.6$

• $\mathbb{P}(\text{A=Ningún huevo se desarrolla})$

$$\begin{array}{c} \displaystyle = \mathbb{P}(A\bigm| X=0)\cdot \mathbb{P}(X=0)+ \mathbb{P}(A\bigm| X=1) \cdot \mathbb{P}(X=1) +\\ + \underbrace{ \mathbb{P}(A\bigm| X =2) }_{ \mathbb{P}(\overline{H})=0 }\cdot \mathbb{P}(X=2) \end{array}$$ $$H_{i}=\begin{cases} 1 & \text{si el huevo nace} \\ 0 & cc \end{cases}$$

$H_{i}\sim Be(0.6)$

$$\overline{H}\sim Bi(2,0.6)$$

Tengo que

$$\mathbb{P}(A\bigm| X =2)=\mathbb{P}(H_{1}=0 \land H_{2}=0)$$

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$Be(p)$ moneda cargada según $p$ $X \sim Be(p)$

$$P_{X}(1)=p\quad \quad ;\quad \quad P_{X}(0)=1-p$$ $$Bi(\underbrace{ n }_{ \text{La cantidad de Be(p)} },p)\sim X$$

$X$ nos va a decir la cantidad de caras que salieron

$$X=\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \quad \quad ;\quad \quad Y_{i}\sim Be(p) \text{ independientes}$$ $$Ge(p) \sim X\implies X\text{ modela cuantas monedas tengo que tirara para salga}$$ $$P_{X}(k)=(1-p)^{k-1} \cdot p$$

Cumple la propiedad de falta de memoria.

$$\mathbb{P}(X \geq t+s\bigm| X \geq 5)=\mathbb{P}(X \geq t)$$