Clase 7 - Distribución normal, mezcla de normales y Bayes

Estandarización:

$$X \sim N(\mu, \sigma^{2}) \quad \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$ $$D_{0} \sim N(53, 5^{2}) \quad \text{ comunes}$$ $$D_{1} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) \quad \text{falladas}$$ $$C = \{ \text{la pila es comun } \} \quad \quad F= \{ \text{La pila es fallada} \}$$ $$0.82688 =P(D\geq 47)$$

Con $D=$ Duración de una pila random

$$P(D\geq 47) = P(D \geq 47\bigm| C) \cdot \underbrace{ P(C) }_{ \text{=0.7} }+ P(D \geq 47 \bigm| F) \cdot \underbrace{ P (F) }_{ 0.3 }$$ $$0.05746 = P(D \geq 60)= P(D \geq 60 \bigm| C) \cdot 0.7+P(D \geq 60\bigm| F) \cdot 0.3$$

Ahora tendríamos que hacer normalización.

$$P(D\geq 47\bigm| C) = P\left( Z \geq \frac{47-53}{5} \right)$$ $$=P(Z \geq -1,2)$$

Como la distribución es simétrica y viendo la tabla:

$$=P(Z \leq 1,2) = 0.8849$$

Resulta ser útil recordar que $P(Z> 1.25)=1 - P(Z\leq1.25)$ $P(-1 \leq Z \leq2)=P(Z\leq 2) - P(Z\leq 1)$

Aplicando el mismo truco

$$P(D\geq 60\bigm| C)= 0.08076$$ $$P(D \ge 60) = P(D \ge 60 \mid C)P(C) + P(D \ge 60 \mid F)P(F) = 0.05746$$

Primero, calculamos las probabilidades correspondientes a las pilas comunes estandarizando con $Z \sim N(0, 1)$: Primero, calculamos las probabilidades correspondientes a las pilas comunes estandarizando con $Z \sim N(0, 1)$:

$$\begin{aligned} P(D \ge 47 \mid C) &= P\left(Z \ge \frac{47 - 53}{5}\right) \\ &= P(Z \ge -1.2) = P(Z \le 1.2) \\ &= 0.88493 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P(D \ge 60 \mid C) &= P\left(Z \ge \frac{60 - 53}{5}\right) \\ &= P(Z \ge 1.4) = 1 - P(Z \le 1.4) \\ &= 1 - 0.91924 = 0.08076 \end{aligned}$$

Sustituimos estos valores en nuestras ecuaciones de probabilidad total para aislar la población fallada:

$$\begin{aligned} 0.7 \cdot (0.88493) + 0.3 \cdot P(D_1 \ge 47) &= 0.82688 \\ \implies 0.3 \cdot P(D_1 \ge 47) &= 0.207429 \\ \implies P(D_1 \ge 47) &= 0.69143 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 0.7 \cdot (0.08076) + 0.3 \cdot P(D_1 \ge 60) &= 0.05746 \\ \implies 0.3 \cdot P(D_1 \ge 60) &= 0.000928 \\ \implies P(D_1 \ge 60) &= 0.003093 \end{aligned}$$

Ahora estandarizamos la variable de las pilas falladas $D_1$ para hallar $\mu_1$ y $\sigma_1$:

$$\begin{aligned} P\left(Z \ge \frac{47 - \mu_1}{\sigma_1}\right) &= 0.69143 \\ \implies P\left(Z \le \frac{\mu_1 - 47}{\sigma_1}\right) &= 0.69143 \\ \implies \frac{47 - \mu_1}{\sigma_1} &= -0.50 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P\left(Z \ge \frac{60 - \mu_1}{\sigma_1}\right) &= 0.003093 \\ \implies P\left(Z \le \frac{60 - \mu_1}{\sigma_1}\right) &= 0.996907 \\ \implies \frac{60 - \mu_1}{\sigma_1} &= 2.75 \end{aligned}$$

Tenemos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$\begin{aligned} 47 - \mu_1 &= -0.50\sigma_1 \implies \mu_1 = 47 + 0.50\sigma_1 \\ 60 - \mu_1 &= 2.75\sigma_1 \end{aligned}$$

Restando ambas expresiones:

$$\begin{aligned} 13 &= 3.25\sigma_1 \\ \implies \sigma_1 &= 4 \implies \sigma_1^2 = 16. \end{aligned}$$

Sustituyendo el valor de $\sigma_1$: $\mu_1 = 47 + 0.50(4) = 49$.

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b) Tenemos que $F_D(x) = F_{D|C}(x)P(C) + F_{D|F}(x)P(F)$. Derivando respecto de $x$,

$$f_D(x) = f_{D|C}(x)P(C) + f_{D|F}(x)P(F)$$ $$\begin{aligned} f_D(x) &= \frac{0.7}{\sqrt{2\pi \cdot 25}} e^{-\frac{(x-53)^2}{2\cdot 25}} \\ &\quad + \frac{0.3}{\sqrt{2\pi \cdot 16}} e^{-\frac{(x-49)^2}{2\cdot 16}} \end{aligned}$$

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c) Nos piden hallar la probabilidad condicional $P(F \mid D > 51)$. Aplicamos la regla de Bayes:

$$P(F \mid D > 51) = \frac{P(D > 51 \mid F)P(F)}{P(D > 51 \mid C)P(C) + P(D > 51 \mid F)P(F)}$$

Calculamos las probabilidades de los componentes estandarizando:

$$\begin{aligned} P(D > 51 \mid F) &= P\left(Z > \frac{51 - 49}{4}\right) \\ &= P(Z > 0.5) = 1 - 0.69146 \\ &= 0.30854 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P(D > 51 \mid C) &= P\left(Z > \frac{51 - 53}{5}\right) \\ &= P(Z > -0.4) = P(Z < 0.4) \\ &= 0.65542 \end{aligned}$$

Reemplazamos en la fórmula de Bayes:

$$\begin{aligned} P(F \mid D > 51) &= \frac{0.30854 \cdot 0.3}{0.65542 \cdot 0.7 + 0.30854 \cdot 0.3} \\ &= \frac{0.092562}{0.458794 + 0.092562} \\ &= \frac{0.092562}{0.551356} \\ &\approx 0.1679 \end{aligned}$$