Clase 3 - Inclusión-exclusión y conteo en espacios equiprobables

Guía 1 Ejercicio 2

$\implies)$ el lado fácil

$$p_{i}=\mathbb{P}(\{ \omega _{i} \})$$

$\impliedby)$ El último ítem. Si $\{ A_{i} \}_{i \in \mathbb{N}}$ disjuntos dos a dos. Como probaría la subaditividad

$$\mathbb{P}\left( \bigcup A_{i} \right)=\sum \mathbb{P}(A_{i})$$

tengo que $p(A)=\displaystyle \sum_{i:w_{i} \in A} p_{i}$

$$\mathbb{P}\left( \bigcup A_{i} \right) =\sum_{j\bigm| w_{j}\in \bigcup A_{i}} p_{j}=\sum_{i}\sum_{j:w_{j}\in A_{i}}p_{j}=\sum_{i}\mathbb{P}(A_{i})$$

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Fórmula inclusión exclusión

$$\mathbb{P}\left( \bigcup A_{i} \right)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{j \in \{ 1,..,n \}:|j|=k}(-1)^{k+1} \mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in j}A_{i} \right)$$

veamos para el caso de 2 conjuntos:

$$\mathbb{P}(A_{1}\cup A_{2})=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2}\setminus A_{1})=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})$$

Probemos por inducción el caso general.

$$\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n+1} A_{i} \right)=\underbrace{ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \right) }_{ 1 }+\mathbb{P}(A_{n+1})-\underbrace{ \mathbb{P}\left( \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \right)\cap A_{n+1} \right) }_{ \alpha }$$ $$=\underbrace{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j \in \{ 1,\dots,n \}\bigm| |j|=k}(-1)^{k+1} \cdot\mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in j}A_{i} \right) }_{ 1 } + \dots$$ $$\alpha=\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n} (A_{i}\cap A_{n+1}) \right)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{J \in \{ 1,\dots,n \}:|J|=k} (-1)\cdot \mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in J} A_{i} \right)$$ $$=\sum_{m=2}^{n} \sum_{J \in \{ 2,\dots,n+1 \}:n+1 \in J,|J|=m} (-1)^{m} \cdot \mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in J}A_{i} \right)$$

Terminar la demo en casa.

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Ejercicio 5:

• Con reposición

$$\frac{\text{casos fav}}{\text{casos totales}}\quad \quad \frac{1}{N}$$

• Sin reposición

$$\text{casos totales}= \frac{N!}{(N-n)!}\quad ;\quad \quad \text{casos favorables}=\frac{(N-1)!}{(N-1-n+1)!}$$

$\mathbb{P}(\text{sacar la bola m en la k esima extracción})=\frac{\text{casos fav}}{\text{casos tot}}=\frac{1}{N}$

Calculemos la probabilidad de sacar $m$ en alguna extracción.

• Con reposición

$$\frac{1}{N^{n} }$$

• Sin reposición

$$=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{N}=\frac{n}{N}$$

Calculemos la probabilidad de no sacar $m$ en alguna extracción.

• Con reposición

$$\displaystyle\mathbb{P}(\text{no salga m})=\frac{(N-1)^{n}}{N^{n}}=1 - \mathbb{P}(\text{salga m})$$

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Ejercicio 6

$n$ urnas, $m$ bolillas.

$$x_{1}+\dots+x_{n}=m$$

$BE:=$ Bosse-Einstein. Las bolillas son indistinguibles

$$|\Omega_{BE}|=\begin{pmatrix} m+n-1 \\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m+n-1 \\ n-1 \end{pmatrix}$$

$MB:=$ Maxwell-Boltzmann. Las bolillas son distinguibles.

$$|\Omega_{MB}|=n^{m}$$

Item a)

• BE: $n=4,m=4$

$$\mathbb{P}_{1}=\mathbb{P}(\text{en la urna 1 hay una bolilla exacta})=\frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}}$$

• MB

$$\frac{4\cdot{3}^{3} }{4^{4} }$$

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Ejercicio 7

$r$ en $n$ con reposición

item a)

$$\mathbb{P}(\text{en la muestra no hay repetidos})= \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{n^{r} }$$

item b)

$n=365$

$$\mathbb{P}(\text{en una muestra de r no haya cumpleaños repetidos})=\frac{365!}{365^{r} \cdot(365-r)!}$$

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Fórmula para la exponencial

$$e^{x} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k} }{k!}=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^{n}$$

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Ejercicio 8

$N$ bolillas, $n$ urnas.

$$A_{i}=\{ \text{la urna i no está vacía} \}$$ $$V_{k}=\mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap\dots \cap A_{i_{k}})=\sum_{j=0}^{k} (-1)^{j} \cdot\left( 1- \frac{j}{n} \right)^{N}$$

Usaremos la herramienta de exclusión inclusión:

$$1-\mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_{i_{j}}^{c} \right)=1 - \sum_{j=1}^{k} \sum_{J\subset \{ 1,\dots,k \}:|J|=j}(-1)^{j+1} \cdot \underbrace{ \mathbb{P}\left( \bigcap_{r \in J}A_{i_{r}}^{c} \right) }_{ =\frac{(n-j)^{N} }{n^{N} } }$$ $$1 - \sum_{j=1}^{k} \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix}(-1)^{j+1} \cdot \underbrace{ \mathbb{P}\left( \bigcap_{r \in J}A_{i_{r}}^{c} \right) }_{ =\frac{(n-j)^{N} }{n^{N} } }$$ $$\sum_{j=0}^{k} \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix}(-1)^{j} \cdot \underbrace{ \mathbb{P}\left( \bigcap_{r \in J}A_{i_{r}}^{c} \right) }_{ =\frac{(n-j)^{N} }{n^{N} } }$$

item b)

$$\underset{ n,N\to \infty }{ \lim } \frac{N}{n}=\lambda$$

Probar que

$$\underset{ n,M}{ \lim }V_{k}(N,n)=(1-e^{-\lambda} )^{k}$$ $$\left( 1- \frac{j}{n} \right)^{N} =\left( \left( 1- \frac{ j}{n} \right)^{n } \right)^{\frac{N}{n}}$$

sabemos que

$$\underset{ N,n\to \infty }{ \lim } \left( 1- \frac{j}{n} \right)^{n} =e^{-j}$$

Recordar que

$$L=\underset{ n\to \infty }{ \lim } f(n)$$

si $\forall M> 0,\:\exists\:N(M):n\geq N\implies |f(n)-L|<M$

Regla:

$$f\to L>0 \land g\to M<0\implies f^{g} \longrightarrow L^{M}$$ $$\underset{ N,n\to \infty }{ \lim } \left( 1- \frac{j}{n} \right)^{N} = (e^{-j} )^{\lambda}$$