Tue-15-04-2025 18:08
profe: Natalia Accomazzo Scotti
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tags: Espacios métricos
Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico. F ⊆ M , F es cerrado ⟺ F c es abierto. \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ un espacio métrico.}
\\\text{$F\subseteq M$, $F$ es cerrado $\iff F^{c}$ es abierto.}
\end{array} Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico. F ⊆ M , F es cerrado ⟺ F c es abierto. Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem: ⟹ ) \implies) ⟹ ) F F F x ∈ F c ⟹ x ∉ F ‾ x \in F^{c}\implies x \not\in \overline{F} x ∈ F c ⟹ x ∈ F ⟹ ∃ r > 0 ∣ B ( x , r ) ∩ F = ∅ \implies \:\exists\:r> 0\bigm|B(x,r)\cap F=\emptyset ⟹ ∃ r > 0 B ( x , r ) ∩ F = ∅ ⟹ B ( x , r ) ⊆ F c \implies B(x,r)\subseteq F^{c} ⟹ B ( x , r ) ⊆ F c
⟸ ) \impliedby) ⟸ ) F c F^{c} F c F F F x ∈ F ‾ x \in \overline{F} x ∈ F x ∈ F c x \in F^{c} x ∈ F c ⟹ ∃ r > 0 ∣ B ( x , r ) ⊆ F c \implies \:\exists\:r>0\bigm|B(x,r)\subseteq F^{c} ⟹ ∃ r > 0 B ( x , r ) ⊆ F c ⟹ B ( x , r ) ∩ F = ∅ \implies B(x,r)\cap F=\emptyset ⟹ B ( x , r ) ∩ F = ∅ x ∈ F ‾ x \in \overline{F} x ∈ F ⟹ x ∈ F \implies x \in F ⟹ x ∈ F
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Obs: No abierto ⟹ cerrado. \begin{array}{c}
\text{Obs:} \\
\text{No abierto $\cancel{ \implies }$ cerrado.}
\end{array} Obs: No abierto ⟹ cerrado. Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
∅ , M son cerrados. \begin{array}{l}
\text{$\emptyset, M$ son cerrados.}
\end{array} ∅ , M son cerrados. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ∅ c = M \emptyset ^{c}=M ∅ c = M M c = ∅ M^{c}=\emptyset M c = ∅
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
( M , d ) espacio m e ˊ trico. 1. Si { F i } i ∈ I cerrados ⟹ F = ⋂ F i es cerrado. 2. Si { F i } i = 1 n cerrados ⟹ ⋃ i = 1 n F i es cerrado. \begin{array}{l}
\text{$(M,d)$ espacio métrico. }\\
\text{1. Si $\{ F_{i} \}_{i \in I}$ cerrados $\implies F=\bigcap F_{i}$ es cerrado.}\\
\text{2. Si $\{ F_{i} \}^{n}_{i=1}$ cerrados $\implies \bigcup_{i=1}^{n}F_{i}$ es cerrado. }
\end{array} ( M , d ) espacio m e ˊ trico. 1. Si { F i } i ∈ I cerrados ⟹ F = ⋂ F i es cerrado. 2. Si { F i } i = 1 n cerrados ⟹ ⋃ i = 1 n F i es cerrado. Demostraci o ˊ n: {\color{violet}\text{Demostración:}} Demostraci o ˊ n:
1. Intersección arbitraria de cerrados
Sea F = ⋂ i ∈ I F i F = \bigcap_{i\in I}F_i F = ⋂ i ∈ I F i F i F_i F i F i c F_i^c F i c
F c = ( ⋂ i ∈ I F i ) c = ⋃ i ∈ I F i c , F^c \;=\;\bigl(\bigcap_{i\in I}F_i\bigr)^c
\;=\;\bigcup_{i\in I}F_i^c, F c = ( i ∈ I ⋂ F i ) c = i ∈ I ⋃ F i c , y una unión (incluso infinita) de abiertos es abierta (visto en la teo anterior). Por tanto F c F^c F c F F F
2. Unión finita de cerrados
Sea G = ⋃ i = 1 n F i G = \bigcup_{i=1}^n F_i G = ⋃ i = 1 n F i F i F_i F i F i c F_i^c F i c
G c = ( ⋃ i = 1 n F i ) c = ⋂ i = 1 n F i c , G^c \;=\;\bigl(\bigcup_{i=1}^n F_i\bigr)^c
\;=\;\bigcap_{i=1}^n F_i^c, G c = ( i = 1 ⋃ n F i ) c = i = 1 ⋂ n F i c , y una intersección finita de abiertos es abierta (visto en la teo anterior). Por tanto G c G^c G c G G G
E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o :
( M , d ) (M,d) ( M , d ) F = { x } F=\{ x \} F = { x } y ∈ F ‾ y \in \overline{F} y ∈ F ⟹ ∀ r > 0 ∣ B ( y , r ) ∩ F ≠ ∅ \implies \forall r>0\bigm|B(y,r)\cap F\neq \emptyset ⟹ ∀ r > 0 B ( y , r ) ∩ F = ∅ ⟹ ∀ r > 0 ∣ x ∈ B ( y , r ) ⟹ ∀ r > 0 : d ( x , y ) < r \implies \forall r>0\bigm|x \in {B(y,r)}\implies \forall r>0:d(x,y)<r ⟹ ∀ r > 0 x ∈ B ( y , r ) ⟹ ∀ r > 0 : d ( x , y ) < r ⟹ x = y \implies x=y ⟹ x = y
F = { x 1 , … , x n } ⊆ ( M , d ) F=\{ x_{1},\dots,x_{n} \}\subseteq(M,d) F = { x 1 , … , x n } ⊆ ( M , d ) ⟹ F \implies F ⟹ F
F = ⋃ { x i } F=\bigcup \{ x_{i} \} F = ⋃ { x i } E j e r c i c i o s : Ejercicios: E j er c i c i os :
Si E ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣ ) E\subseteq(\mathbb{R},\lvert \cdot \rvert) E ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣) ⟹ s u p ( E ) , i n f ( E ) ∈ E ‾ \implies sup(E),inf(E)\in \overline{E} ⟹ s u p ( E ) , in f ( E ) ∈ E
B [ x , r ] ⊆ ( M , d ) B[x,r]\subseteq(M,d) B [ x , r ] ⊆ ( M , d )
Ejercicio 1: {\color{violet}\text{Ejercicio 1:}} Ejercicio 1:
Sea E ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣ ) acotado y no vac ı ˊ o. Demostrar que sup ( E ) , inf ( E ) ∈ E ‾ . \begin{array}{l}
\text{Sea }E\subseteq(\mathbb{R},|\cdot|)\text{ acotado y no vacío.}\\
\text{Demostrar que }\sup(E),\,\inf(E)\in\overline{E}.
\end{array} Sea E ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣ ) acotado y no vac ı ˊ o. Demostrar que sup ( E ) , inf ( E ) ∈ E . Soluci o ˊ n: {\color{violet}\text{Solución:}} Soluci o ˊ n:
Sea M = sup ( E ) M = \sup(E) M = sup ( E ) E E E M M M M ∈ E ‾ M\in\overline{E} M ∈ E ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
B ( M , ε ) ∩ E ≠ ∅ . B(M,\varepsilon)\;\cap\;E\;\neq\;\emptyset. B ( M , ε ) ∩ E = ∅. Por definición de supremo, para cada ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 x ∈ E x\in E x ∈ E
M − ε < x ≤ M . M - \varepsilon < x \le M. M − ε < x ≤ M . Entonces x ∈ B ( M , ε ) x\in B(M,\varepsilon) x ∈ B ( M , ε ) x ∈ E x\in E x ∈ E B ( M , ε ) ∩ E ≠ ∅ B(M,\varepsilon)\cap E\neq\emptyset B ( M , ε ) ∩ E = ∅ M M M E E E M ∈ E ‾ M\in\overline{E} M ∈ E
De forma análoga, sea m = inf ( E ) m = \inf(E) m = inf ( E ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 y ∈ E y\in E y ∈ E
m ≤ y < m + ε , m \le y < m + \varepsilon, m ≤ y < m + ε , luego y ∈ B ( m , ε ) ∩ E ≠ ∅ y\in B(m,\varepsilon)\cap E\neq\emptyset y ∈ B ( m , ε ) ∩ E = ∅ m ∈ E ‾ m\in\overline{E} m ∈ E
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Ejercicio 2: {\color{violet}\text{Ejercicio 2:}} Ejercicio 2:
Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico, x ∈ M y r > 0. Demostrar que la bola cerrada B [ x , r ] = { y ∈ M : d ( x , y ) ≤ r } es cerrada. \begin{array}{l}
\text{Sea }(M,d)\text{ un espacio métrico, }x\in M\text{ y }r>0.\\
\text{Demostrar que la bola cerrada }B[x,r]=\{\,y\in M:d(x,y)\le r\}\text{ es cerrada.}
\end{array} Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico, x ∈ M y r > 0. Demostrar que la bola cerrada B [ x , r ] = { y ∈ M : d ( x , y ) ≤ r } es cerrada. Demostraci o ˊ n: {\color{violet}\text{Demostración:}} Demostraci o ˊ n:
Para probar que B [ x , r ] B[x,r] B [ x , r ]
Sea
U = ( B [ x , r ] ) c = { y ∈ M : d ( x , y ) > r } . U \;=\; \bigl(B[x,r]\bigr)^{c}
\;=\;\{\,y\in M: d(x,y)>r\}. U = ( B [ x , r ] ) c = { y ∈ M : d ( x , y ) > r } . Tomemos y ∈ U y\in U y ∈ U d ( x , y ) > r d(x,y)>r d ( x , y ) > r
ε = d ( x , y ) − r > 0. \varepsilon \;=\; d(x,y) - r \;>\; 0. ε = d ( x , y ) − r > 0. Consideremos la bola abierta B ( y , ε ) B(y,\varepsilon) B ( y , ε ) z ∈ B ( y , ε ) z\in B(y,\varepsilon) z ∈ B ( y , ε )
d ( x , z ) ≥ d ( x , y ) − d ( y , z ) > d ( x , y ) − ε = r . d(x,z)\;\ge\;d(x,y)-d(y,z)\;>\;d(x,y)-\varepsilon\;=\;r. d ( x , z ) ≥ d ( x , y ) − d ( y , z ) > d ( x , y ) − ε = r . Así, d ( x , z ) > r d(x,z)>r d ( x , z ) > r z ∉ B [ x , r ] z\notin B[x,r] z ∈ / B [ x , r ]
B ( y , ε ) ⊆ U . B(y,\varepsilon)\;\subseteq\;U. B ( y , ε ) ⊆ U . Esto muestra que todo punto de U U U U U U U U U ( B [ x , r ] ) c \bigl(B[x,r]\bigr)^{c} ( B [ x , r ] ) c B [ x , r ] B[x,r] B [ x , r ]
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M x ∈ M es un punto de acumulaci o ˊ n de E si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ y B ( x , r ) ∩ E ≠ { x } : \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ espacio métrico, $E\subseteq M$ }\\
\text{$x \in M$ es un punto de acumulación de $E$ si $\forall r>0:B(x,r)\cap E\neq \emptyset$ }\\
\text{y $B(x,r)\cap E\neq \{ x \}:$}
\end{array} Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M x ∈ M es un punto de acumulaci o ˊ n de E si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E = ∅ y B ( x , r ) ∩ E = { x } : Equivalentemente:
B ( x , r ) ∩ ( E ∖ { x } ) ≠ ∅ B(x,r)\cap(E\setminus \{ x \})\neq \emptyset B ( x , r ) ∩ ( E ∖ { x }) = ∅ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
E ‾ = E ∪ E ′ \begin{array}{l}
\text{$\overline{E}=E\cup E'$}
\end{array} E = E ∪ E ′ Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: E ⊆ E ‾ E\subseteq \overline{E} E ⊆ E E ′ ⊆ E ‾ E'\subseteq \overline{E} E ′ ⊆ E x ∈ E ‾ x \in \overline{E} x ∈ E x ∉ E , ∀ r > 0 : x\not\in E,\forall r>0: x ∈ E , ∀ r > 0 :
B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ B(x,r)\cap E\neq \emptyset B ( x , r ) ∩ E = ∅ porque x ∈ E ‾ x \in \overline{E} x ∈ E
B ( x , r ) ∩ E ≠ { x } B(x,r)\cap E\neq \{ x \} B ( x , r ) ∩ E = { x } porque x ∉ E x \not\in E x ∈ E
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M x ∈ M es un punto frontera si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ y B ( x , r ) ∩ E c ≠ ∅ \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ espacio métrico, $E\subseteq M$ }\\
\text{$x \in M$ es un punto frontera si}\\
\text{$\forall r>0:B(x,r)\cap E\neq \emptyset$ y $B(x,r)\cap E^{c}\neq \emptyset$ }
\end{array} Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M x ∈ M es un punto frontera si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E = ∅ y B ( x , r ) ∩ E c = ∅ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
E ‾ = E ∪ ∂ E \begin{array}{l}
\text{$\overline{E}=E\cup \partial E$ }
\end{array} E = E ∪ ∂ E Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Por definición:
E ∪ ∂ E ⊆ E ‾ E\cup\partial E\subseteq \overline{E} E ∪ ∂ E ⊆ E Sea x ∈ E ‾ . x \in \overline{E}. x ∈ E . x ∉ E , ∀ r > 0 x \not\in E,\forall r>0 x ∈ E , ∀ r > 0
B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ ( x ∈ E ‾ ) B(x,r)\cap E\neq \emptyset \quad (x \in \overline{E}) B ( x , r ) ∩ E = ∅ ( x ∈ E ) B ( x , r ) ∩ E c ≠ ∅ ( x ∉ E ⟹ x ∈ E c ) B(x,r)\cap E^{c} \neq \emptyset \quad (x \not\in E\implies x \in E^{c} ) B ( x , r ) ∩ E c = ∅ ( x ∈ E ⟹ x ∈ E c ) ⟹ x ∈ ∂ E \implies x \in \partial E ⟹ x ∈ ∂ E □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Pregunta: E ‾ = E ∪ E ′ = E ∪ ∂ E . \overline{E}=E\cup E'=E\cup \partial E. E = E ∪ E ′ = E ∪ ∂ E . E ′ E' E ′ ∂ E \partial E ∂ E E ′ = ∂ E E'=\partial E E ′ = ∂ E
E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os : Considero ( R , ∣ ⋅ ∣ ) (\mathbb{R},|\cdot|) ( R , ∣ ⋅ ∣ )
E = Z E=\mathbb{Z} E = Z
E ‾ = Z \overline{E}=\mathbb{Z} E = Z x ∉ Z , n < x < n + 1 ⟹ ∃ r > 0 ∣ ( x − r , x + r ) ∩ Z = ∅ x \not\in \mathbb{Z},n<x<n+1\implies \:\exists\:r>0\bigm|(x-r,x+r)\cap \mathbb{Z}=\emptyset x ∈ Z , n < x < n + 1 ⟹ ∃ r > 0 ( x − r , x + r ) ∩ Z = ∅ E ′ = ∅ E'=\emptyset E ′ = ∅ n ∈ Z , 0 < r < 1 n\in \mathbb{Z},0<r<1 n ∈ Z , 0 < r < 1
B ( n , r ) = ( n − r , n + r ) ∩ Z = { n } B(n,r)=(n-r,n+r)\cap \mathbb{Z}=\{ n \} B ( n , r ) = ( n − r , n + r ) ∩ Z = { n } ∂ E = Z \partial E=\mathbb{Z} ∂ E = Z
∀ r > 0 , B ( x , r ) ∩ Z ≠ ∅ \forall r>0,B(x,r)\cap \mathbb{Z}\neq \emptyset ∀ r > 0 , B ( x , r ) ∩ Z = ∅ y
b ( x , r ) ∩ Z c ≠ ∅ b(x,r)\cap \mathbb{Z}^{c}\neq \emptyset b ( x , r ) ∩ Z c = ∅
E = ( 0 , 1 ) E=(0,1) E = ( 0 , 1 ) E ‾ = [ 0 , 1 ] \overline{E}=[0,1] E = [ 0 , 1 ] E ′ = [ 0 , 1 ] E'=[0,1] E ′ = [ 0 , 1 ] ∂ E = { 0 , 1 } \partial E=\{ 0,1 \} ∂ E = { 0 , 1 }
E = Q E=\mathbb{Q} E = Q E ‾ = R , E ′ = R \overline{E}=\mathbb{R},E'=\mathbb{R} E = R , E ′ = R x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R ( x − r , x + r ) (x-r,x+r) ( x − r , x + r )
Veamos que x ∉ Z ⟹ x ∉ Z ‾ x\not\in \mathbb{Z}\implies x \not\in \overline{\mathbb{Z}} x ∈ Z ⟹ x ∈ Z
⟹ ∃ n ∈ Z ∣ n < x < n + 1 \implies \:\exists\:n \in \mathbb{Z}\bigm| n<x<n+1 ⟹ ∃ n ∈ Z n < x < n + 1 Elijo r = m i n { x − n , n + 1 − x } > 0 r=min\{ x-n,n+1-x \}>0 r = min { x − n , n + 1 − x } > 0
n ∉ ( x − r , x + r ) n < x − r ⟺ r < x − n n + 1 ∉ ( x − r , x + r ) n + 1 > x + r ⟺ r < n + 1 − x ⟹ ( x − r , x + r ) ∩ Z = ∅ \begin{array}{c}
n \not\in(x-r,x+r) \\
n<x-r\iff r<x-n \\
n +1\not\in(x-r,x+r) \\
n+1>x+r\iff r<n+1-x \\
\implies(x-r,x+r)\cap \mathbb{Z}=\emptyset
\end{array} n ∈ ( x − r , x + r ) n < x − r ⟺ r < x − n n + 1 ∈ ( x − r , x + r ) n + 1 > x + r ⟺ r < n + 1 − x ⟹ ( x − r , x + r ) ∩ Z = ∅ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M . x ∈ E se dice punto aislado de E si: ∃ r > 0 ∣ B ( x , r ) ∩ E = { x } \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ espacio métrico, $E\subseteq M.x \in E$ se dice punto aislado de $E$ si:}\\
\text{$\:\exists\:r>0\bigm|B(x,r)\cap E=\{ x \}$}
\end{array} Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, E ⊆ M . x ∈ E se dice punto aislado de E si: ∃ r > 0 B ( x , r ) ∩ E = { x } E j e r c i c i o : Ejercicio: E j er c i c i o : ( M , d ) (M,d) ( M , d ) E ⊆ M . E\subseteq M. E ⊆ M . x ∈ E ‾ ⟹ x ∈ E ′ x \in \overline{E}\implies x \in E' x ∈ E ⟹ x ∈ E ′ x x x
Ejercicio: {\color{violet}\text{Ejercicio:}} Ejercicio:
Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico y E ⊆ M . Demostrar que si x ∈ E ‾ entonces x ∈ E ′ o x es aislado. \begin{array}{l}
\text{Sea }(M,d)\text{ un espacio métrico y }E\subseteq M.\\
\text{Demostrar que si }x\in\overline{E}\text{ entonces }x\in E'\text{ o }x\text{ es aislado.}
\end{array} Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico y E ⊆ M . Demostrar que si x ∈ E entonces x ∈ E ′ o x es aislado. Demostraci o ˊ n: {\color{violet}\text{Demostración:}} Demostraci o ˊ n:
Sea x ∈ E ‾ x\in\overline{E} x ∈ E
∀ r > 0 , B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ . \forall r>0,\quad B(x,r)\cap E\neq\emptyset. ∀ r > 0 , B ( x , r ) ∩ E = ∅. Consideramos dos casos:
x x x r > 0 r>0 r > 0 y ∈ E y\in E y ∈ E y ≠ x y\neq x y = x d ( x , y ) < r d(x,y)<r d ( x , y ) < r
x ∈ E ′ x\in E' x ∈ E ′ por definición de conjunto derivado.
2. x x x r 0 > 0 r_{0}>0 r 0 > 0
B ( x , r 0 ) ∩ ( E ∖ { x } ) = ∅ . B(x,r_{0})\cap\bigl(E\setminus\{x\}\bigr)=\emptyset. B ( x , r 0 ) ∩ ( E ∖ { x } ) = ∅. Pero como $x\in\overline{E}$, también
B ( x , r 0 ) ∩ E ≠ ∅ , B(x,r_{0})\cap E\neq\emptyset, B ( x , r 0 ) ∩ E = ∅ , de donde
B ( x , r 0 ) ∩ E = { x } . B(x,r_{0})\cap E=\{x\}. B ( x , r 0 ) ∩ E = { x } . Esto significa que $x\in E$ y ningún otro punto de $E$ está en esa bola, es decir, $x$ es un punto aislado de $E$.
En ambos casos, queda demostrado que
x ∈ E ′ o bien x es aislado. x\in E'\quad\text{o bien}\quad x\text{ es aislado.} x ∈ E ′ o bien x es aislado. Citas y Comentarios