Tue-08-04-2025 19:06
profe: Natalia Accomazzo Scotti
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tags: Espacios métricos
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico. Sea E ⊆ M , x ∈ E . Decimos que x es un punto interior si existe r > 0 tal que B ( x , r ) ⊆ E . El interior de E es el conjunto de los puntos interiores \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ un espacio métrico. Sea $E\subseteq M,x \in E$.}\\
\text{Decimos que $x$ es un punto interior si existe $r>0$ tal que $B(x,r)\subseteq E$.}\\
\text{El interior de $E$ es el conjunto de los puntos interiores}
\end{array} Sea ( M , d ) un espacio m e ˊ trico. Sea E ⊆ M , x ∈ E . Decimos que x es un punto interior si existe r > 0 tal que B ( x , r ) ⊆ E . El interior de E es el conjunto de los puntos interiores O b s : E ° ⊆ E Obs:E°\subseteq E O b s : E ° ⊆ E Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea A ⊆ M un subconjunto. A es abierto ⟺ A ° = A \begin{array}{l}
\text{Sea $A\subseteq M$ un subconjunto.}
\\\text{$A$ es abierto $\iff A°=A$ }
\end{array} Sea A ⊆ M un subconjunto. A es abierto ⟺ A ° = A E j e m p l o s Ejemplos E j e m pl os
E = { x 2 + y 2 < 1 } ⊆ ( R 2 , d ) E=\{ x^{2}+y^{2}<1 \}\subseteq(\mathbb{R}^{2},d) E = { x 2 + y 2 < 1 } ⊆ ( R 2 , d ) E E E ( x 0 , y 0 ) ∈ E ⟹ ∃ r > 0 ∣ B ( ( x 0 , y 0 ) , r ) ⊆ E (x_{0},y_{0})\in E\implies \:\exists\:r>0\bigm|B((x_{0},y_{0}),r)\subseteq E ( x 0 , y 0 ) ∈ E ⟹ ∃ r > 0 B (( x 0 , y 0 ) , r ) ⊆ E r = 1 − x 0 2 + y 0 2 ⏟ < 1 > 0 r=1-\underbrace{ \sqrt{ x_{0}^{2}+y_{0}^{2} } }_{ <1 }>0 r = 1 − < 1 x 0 2 + y 0 2 > 0 ( x , y ) ∈ B ( ( x 0 , y 0 ) , r ) . (x,y)\in B((x_{0},y_{0}),r). ( x , y ) ∈ B (( x 0 , y 0 ) , r ) . ( x , y ) ∈ E (x,y)\in E ( x , y ) ∈ E
( x , y ) ∈ E ⟺ x 2 + y 2 < 1 (x,y)\in E\iff \sqrt{ x^{2}+y^{2} }<1 ( x , y ) ∈ E ⟺ x 2 + y 2 < 1 d 2 ( ( x , y ) , ( 0 , 0 ) ) ≤ d 2 ( ( x , y ) , ( x 0 , y 0 ) ) + d 2 ( ( x 0 , y 0 ) , ( 0 , 0 ) ) d_{2}((x,y),(0,0))\leq d_{2}((x,y),(x_{0},y_{0}))+d_{2}((x_{0},y_{0}),(0,0)) d 2 (( x , y ) , ( 0 , 0 )) ≤ d 2 (( x , y ) , ( x 0 , y 0 )) + d 2 (( x 0 , y 0 ) , ( 0 , 0 )) < r + x 0 2 + y 0 2 = 1 − x 0 2 + y 0 2 ⏟ r + x 0 2 + y 0 2 = 1 <r+\sqrt{ x_{0}^{2}+y_{0}^{2} }=\underbrace{ 1-\sqrt{ x_{0}^{2}+y_{0}^{2} } }_{ r }+\sqrt{ x_{0}^{2}+y_{0}^{2} }=1 < r + x 0 2 + y 0 2 = r 1 − x 0 2 + y 0 2 + x 0 2 + y 0 2 = 1 ⟹ ( x , y ) ∈ B ( ( 0 , 0 ) , 1 ) = E \implies(x,y)\in B((0,0),1)=E ⟹ ( x , y ) ∈ B (( 0 , 0 ) , 1 ) = E En general, si ( M , d ) (M,d) ( M , d ) ⟹ E = B ( x , r ) \implies E=B(x,r) ⟹ E = B ( x , r )
Sea y ∈ E . y \in E. y ∈ E . ∃ r ′ > 0 ∣ B ( y , r ′ ) ⊆ B ( x , r ) \:\exists\:r'>0\bigm|B(y,r')\subseteq B(x,r) ∃ r ′ > 0 B ( y , r ′ ) ⊆ B ( x , r ) r ′ = r − d ( x , y ) > 0 r'=r-d(x,y)>0 r ′ = r − d ( x , y ) > 0
Sea z ∈ B ( y , r ′ ) z\in B(y,r') z ∈ B ( y , r ′ ) z ∈ B ( x , r ) . z \in B(x,r). z ∈ B ( x , r ) .
d ( z , r ) ≤ d ( z , y ) ⏟ < r ′ + d ( y , x ) < r − d ( x , y ) + d ( y , x ) = r d(z,r)\leq \underbrace{ d(z,y) }_{ <r' }+d(y,x)<r-d(x,y)+d(y,x)=r d ( z , r ) ≤ < r ′ d ( z , y ) + d ( y , x ) < r − d ( x , y ) + d ( y , x ) = r ⟹ z ∈ B ( x , r ) \implies z \in B(x,r) ⟹ z ∈ B ( x , r ) Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
( M , d ) un espacio m e ˊ trico. Entonces ∅ , M son abiertos. \begin{array}{l}
\text{$(M,d)$ un espacio métrico. Entonces $\emptyset,M$ son abiertos.}
\end{array} ( M , d ) un espacio m e ˊ trico. Entonces ∅ , M son abiertos. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
∅ = ∅ ° ⟹ ∅ \emptyset=\emptyset°\implies \emptyset ∅ = ∅° ⟹ ∅ Si x ∈ M x \in M x ∈ M B ( x , r ) ⊆ M B(x,r)\subseteq M B ( x , r ) ⊆ M ∀ r > 0 \forall r>0 ∀ r > 0
Teorema: {\color{violet} \text{Teorema:}} Teorema:
Sea { A i } i ∈ J una familia de conjuntos abiertos en un espacio m e ˊ trico ( M , d ) . Entonces, la uni o ˊ n A = ⋃ i ∈ J A i es un conjunto abierto. \begin{array}{l}
\text{Sea } \{ A_i \}_{i \in J} \text{ una familia de conjuntos abiertos en un espacio métrico } (M,d). \\
\text{Entonces, la unión } A = \bigcup_{i \in J} A_i \text{ es un conjunto abierto.}
\end{array} Sea { A i } i ∈ J una familia de conjuntos abiertos en un espacio m e ˊ trico ( M , d ) . Entonces, la uni o ˊ n A = ⋃ i ∈ J A i es un conjunto abierto. Demostraci o ˊ n: {\color{violet} \text{Demostración:}} Demostraci o ˊ n:
Sea x ∈ A x \in A x ∈ A i 0 ∈ J i_0 \in J i 0 ∈ J x ∈ A i 0 x \in A_{i_0} x ∈ A i 0
Como A i 0 A_{i_0} A i 0 r > 0 r > 0 r > 0 B ( x , r ) ⊆ A i 0 B(x, r) \subseteq A_{i_0} B ( x , r ) ⊆ A i 0
Pero como A i 0 ⊆ A A_{i_0} \subseteq A A i 0 ⊆ A
B ( x , r ) ⊆ A i 0 ⊆ A B(x, r) \subseteq A_{i_0} \subseteq A B ( x , r ) ⊆ A i 0 ⊆ A Por lo tanto, existe un entorno abierto de x x x A A A x x x A A A
Como esto vale para todo x ∈ A x \in A x ∈ A A A A
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Teorema: {\color{violet} \text{Teorema:}} Teorema:
Sean A 1 , A 2 , … , A n ⊆ ( M , d ) conjuntos abiertos. Entonces, su intersecci o ˊ n A = ⋂ i = 1 n A i tambi e ˊ n es abierta. \begin{array}{l}
\text{Sean } A_1, A_2, \dots, A_n \subseteq (M,d) \text{ conjuntos abiertos.} \\
\text{Entonces, su intersección } A =\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i \text{ también es abierta.}
\end{array} Sean A 1 , A 2 , … , A n ⊆ ( M , d ) conjuntos abiertos. Entonces, su intersecci o ˊ n A = i = 1 ⋂ n A i tambi e ˊ n es abierta. Demostraci o ˊ n: {\color{violet} \text{Demostración:}} Demostraci o ˊ n: x ∈ A x \in A x ∈ A x ∈ A i x \in A_i x ∈ A i i = 1 , … , n i = 1, \dots, n i = 1 , … , n
Como cada A i A_i A i r i > 0 r_i > 0 r i > 0
B ( x , r i ) ⊆ A i B(x, r_i) \subseteq A_i B ( x , r i ) ⊆ A i Sea ahora:
r = min { r 1 , r 2 , … , r n } r = \min\{ r_1, r_2, \dots, r_n \} r = min { r 1 , r 2 , … , r n } Entonces:
B ( x , r ) ⊆ B ( x , r i ) ⊆ A i para todo i = 1 , … , n B(x, r) \subseteq B(x, r_i) \subseteq A_i \quad \text{para todo } i = 1, \dots, n B ( x , r ) ⊆ B ( x , r i ) ⊆ A i para todo i = 1 , … , n Por lo tanto:
B ( x , r ) ⊆ ⋂ i = 1 n A i = A B(x, r) \subseteq \bigcap_{i=1}^n A_i = A B ( x , r ) ⊆ i = 1 ⋂ n A i = A Hemos mostrado que existe un entorno abierto de x x x A A A x ∈ A ∘ x \in A^\circ x ∈ A ∘
Como esto vale para todo x ∈ A x \in A x ∈ A A A A
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os : A n = ( − 1 n , 1 n ) ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣ ) A_{n}=\left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)\subseteq(\mathbb{R},\lvert \cdot \rvert) A n = ( − n 1 , n 1 ) ⊆ ( R , ∣ ⋅ ∣)
A n A_{n} A n ⋂ A i = { 0 } \bigcap A_{i}=\{ 0 \} ⋂ A i = { 0 } { 0 } \{ 0 \} { 0 } ∀ r , B ( 0 , r ) ⊆ { 0 } \forall r,B(0,r)\cancel{ \subseteq }\{ 0 \} ∀ r , B ( 0 , r ) ⊆ { 0 }
B ( 0 , r ) = ( − r , r ) ⟹ r 2 ∈ B ( 0 , r ) , r 2 ≠ 0 B(0,r)=(-r,r)\implies \frac{r}{2}\in B(0,r), \frac{r}{2}\neq 0 B ( 0 , r ) = ( − r , r ) ⟹ 2 r ∈ B ( 0 , r ) , 2 r = 0 Otro ejemplo, A n = [ 0 , 1 n ) A_{n}=\left[ 0, \frac{1}{n} \right) A n = [ 0 , n 1 ) ( R 0 , ∣ ⋅ ∣ ) (\mathbb{R}_{0},|\cdot|) ( R 0 , ∣ ⋅ ∣ )
A n = [ 0 , 1 n ) A_{n}=\left[ 0, \frac{1}{n} \right) A n = [ 0 , n 1 ) ( R ≥ 0 , ∣ ⋅ ∣ ) (\mathbb{R}_{\geq0},|\cdot|) ( R ≥ 0 , ∣ ⋅ ∣ )
A n A_{n} A n Sea x ∈ A n = [ 0 , 1 n ) x \in A_{n}=\left[ 0, \frac{1}{n} \right) x ∈ A n = [ 0 , n 1 ) r = 1 n − x r= \frac{1}{n}-x r = n 1 − x
B ( x , y ) = { y ≥ 0 : ∣ x − y ∣ < r } ⊆ [ 0 , 1 n ) B(x,y)=\{ y\geq 0:|x-y|<r \}\subseteq\left[ 0, \frac{1}{n} \right) B ( x , y ) = { y ≥ 0 : ∣ x − y ∣ < r } ⊆ [ 0 , n 1 ) ⟹ A = ⋂ n = 1 ∞ A n = { 0 } \implies A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}=\{ 0 \} ⟹ A = n = 1 ⋂ ∞ A n = { 0 } y esto no es abierto.
En ( R , δ ) (\mathbb{R},\delta) ( R , δ ) { x } \{ x \} { x }
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sea E ⊆ M . Sea A ⊆ E abierto. Entonces A ⊆ E ° . Es decir, E ° es el abierto m a ˊ s grande adentro de E . \begin{array}{l}
\text{Sea $E\subseteq M$. Sea $A\subseteq E$ abierto. Entonces $A\subseteq E°.$ }\\
\text{Es decir, $E°$ es el abierto más grande adentro de $E$.}
\end{array} Sea E ⊆ M . Sea A ⊆ E abierto. Entonces A ⊆ E °. Es decir, E ° es el abierto m a ˊ s grande adentro de E . Dem.: {\color{Orange}\text{Dem.:}} Dem.: x ∈ A x\in A x ∈ A A A A r > 0 r>0 r > 0
B ( x , r ) ⊆ A . B(x,r)\;\subseteq\;A. B ( x , r ) ⊆ A . Pero además A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E
B ( x , r ) ⊆ A ⊆ E . B(x,r)\;\subseteq\;A\;\subseteq\;E. B ( x , r ) ⊆ A ⊆ E . Por definición de interior, eso significa que x x x E E E x ∈ E ∘ x\in E^\circ x ∈ E ∘ x x x
A ⊆ E ∘ . A\;\subseteq\;E^\circ. A ⊆ E ∘ . y con ello que E ∘ E^\circ E ∘ E E E
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □
No se si esto alcanza para decir que es el más grande. Solo sirve para decir que está incluido en el interior de E E E
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, x ∈ M , E ⊆ M . Decimos que x es punto de adherencia de E si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E ≠ ∅ \begin{array}{l}
\text{Sea $(M,d)$ espacio métrico, $x \in M,E\subseteq M.$ }\\
\text{Decimos que $x$ es punto de adherencia de $E$ si $\forall r>0\::$}\\
\text{$B(x,r)\cap E\neq \emptyset$}
\end{array} Sea ( M , d ) espacio m e ˊ trico, x ∈ M , E ⊆ M . Decimos que x es punto de adherencia de E si ∀ r > 0 : B ( x , r ) ∩ E = ∅ O b s : Obs: O b s :
E ⊆ E ‾ E\subseteq \overline{E} E ⊆ E En general no es cierto que
B ( x , r ) ‾ = B [ x , r ] \overline{B(x,r)}=B[x,r] B ( x , r ) = B [ x , r ] Citas y Comentarios
Todos los detalles o demos faltantes están en link
Sino: link