#8Espacios métricos

2025 - Teórica 8 - Espacios métricos IV

17 min de lectura

Tue-22-04-2025 18:03 profe: Natalia Accomazzo Scotti
status: tags: Espacios métricos

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea M un conjunto. Si d1 y d2 son dos meˊtricas sobre M, decimos que son equivalentes(definen la misma topologia)si ∀r>0, ∃ r1,r2>0: \begin{array}{l} \text{Sea $M$ un conjunto. Si $d_{1}$ y $d_{2}$ son dos métricas sobre $M,$ }\\ \text{decimos que son equivalentes(definen la misma topologia)}\\ \text{si $\forall r>0,\:\exists\:r_{1},r_{2}>0:$ } \end{array} Bd1(x,r1)⊆Bd2(x,r)B_{d_{1}}(x,r_{1})\subseteq B_{d_{2}}(x,r) Bd2(x,r2)⊆Bd1(x,r)∀xB_{d_{2}}(x,r_{2})\subseteq B_{d_{1}}(x,r)\quad \forall x

draw-metricosIV2025-1

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

M,d1 y d2 meˊtricas. Si existen c1,c2>0:\begin{array}{l} \text{$M,d_{1}$ y $d_{2}$ métricas. Si existen $c_{1},c_{2}>0:$} \end{array} c1⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤c2⋅d1(x,y)∀x,y∈Mc_{1}\cdot d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq c_{2}\cdot d_{1}(x,y)\quad \forall x,y \in M

Entonces d1∼d2.d_{1}\sim d_{2}. Es decir, son equivalentes.

Nota:Nota: no vale la vuelta, N,d1(n,m)=∣n−m∣,d2(n,m)=δ(n,m)\mathbb{N},d_{1}(n,m)=|n-m|,d_{2}(n,m)=\delta(n,m) d1∼d2d_{1}\sim d_{2} :Sea r>0r>0

{n}=Bd1(n,12)⊆Bd2(n,r)\{ n \}=B_{d_{1}}\left( n, \frac{1}{2} \right)\subseteq B_{d_{2}}(n,r) {n}=Bd2(n,12)⊆Bd1(n,r)  ⟹  d1∼d2\{ n \}=B_{d_{2}}\left( n, \frac{1}{2} \right)\subseteq B_{d_{1}}(n,r)\implies d_{1}\sim d_{2}

Pero a su vez

∄ C>0C⋅∣n−m∣≤δ(n,m)∀n,m∈N\not\exists\: C>0\quad C\cdot |n-m|\leq \delta(n,m)\quad \forall n,m \in \mathbb{N}

Dem.:{\color{Orange}\text{Dem.:}}

Bd1(x,r)={ y∈M:d1(x,y)<r},Bd2(x,r)={ y∈M:d2(x,y)<r}.\begin{aligned} B_{d_{1}}(x,r)&=\{\,y\in M : d_{1}(x,y)<r\},\\ B_{d_{2}}(x,r)&=\{\,y\in M : d_{2}(x,y)<r\}. \end{aligned}

Por hipótesis existen constantes c1,c2>0c_{1},c_{2}>0 tales que

c1 d1(x,y)  ≤  d2(x,y)  ≤  c2 d1(x,y)∀ x,y∈M.c_{1}\,d_{1}(x,y)\;\le\;d_{2}(x,y)\;\le\;c_{2}\,d_{1}(x,y) \quad\forall\,x,y\in M.
  1. De d1d_{1} a d2d_{2}
    Sea y∈Bd1(x,r)y\in B_{d_{1}}(x,r), es decir, d1(x,y)<rd_{1}(x,y)<r. Entonces
d2(x,y)  ≤  c2 d1(x,y)  <  c2 r    ⟹    y∈Bd2(x,c2r).d_{2}(x,y)\;\le\;c_{2}\,d_{1}(x,y)\;<\;c_{2}\,r \;\implies\; y\in B_{d_{2}}\bigl(x,c_{2}r\bigr).

Por tanto,

Bd1(x,r)  ⊆  Bd2(x,c2r).B_{d_{1}}(x,r)\;\subseteq\;B_{d_{2}}\bigl(x,c_{2}r\bigr).
  1. De d2d_{2} a d1d_{1}
    Sea y∈Bd2(x,r)y\in B_{d_{2}}(x,r), es decir, d2(x,y)<rd_{2}(x,y)<r. Usando la desigualdad inversa,
d1(x,y)  ≤  1c1 d2(x,y)  <  rc1    ⟹    y∈Bd1(x,rc1).d_{1}(x,y)\;\le\;\tfrac{1}{c_{1}}\,d_{2}(x,y)\;<\;\tfrac{r}{c_{1}} \;\implies\; y\in B_{d_{1}}\bigl(x,\tfrac{r}{c_{1}}\bigr).

Por tanto,

Bd2(x,r)  ⊆  Bd1(x,rc1).B_{d_{2}}(x,r)\;\subseteq\;B_{d_{1}}\bigl(x,\tfrac{r}{c_{1}}\bigr).

Con ambas inclusiones, concluimos que d1∼d2d_{1}\sim d_{2}, pues generan la misma topología.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square
Obs:Obs: Sea (d(xn,x))n∈N⊆R :xn→x  ⟺  d(x,xn)→0\text{Sea $(d(x_{n},x))_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ }:\quad \quad x_{n}\to x \iff d(x,x_{n})\to 0

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

M,d1,d2 dos meˊtricas equivalentes. Entonces xn→x en (M,d1)  ⟺  xn→x en (M,d2)\begin{array}{l} \text{$M,d_{1},d_{2}$ dos métricas equivalentes. }\\ \text{Entonces $x_{n}\to x$ en $(M,d_{1})\iff x_{n}\to x$ en $(M,d_{2})$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Si xn→xx_{n}\to x en (M,d1)(M,d_{1}) entonces:

∀ε>0 ∃ n0∣xn∈Bd1(x,ε)∀n≥n0\forall\varepsilon>0\:\exists\:n_{0}\bigm| x_{n}\in B_{d_{1}}(x,\varepsilon)\quad \forall n\geq n_{0}

Sea ε>0\varepsilon>0, quiero ver que:

 ∃ n0∣xn∈Bd2(x,ε)∀n≥n0\:\exists\:n_{0}\bigm| x_{n}\in B_{d_{2}}(x,\varepsilon)\quad \forall n\geq n_{0}

Como d1∼d2  ⟹   ∃ ε′>0∣d_{1}\sim d_{2}\implies \:\exists\:\varepsilon'>0\bigm|

Bd1(x,ε′)⊆Bd2(x,ε)B_{d_{1}}(x,\varepsilon')\subseteq B_{d_{2}}(x,\varepsilon)

xn→xx_{n}\to x en (M,d1)(M,d_{1})

  ⟹   ∃ n0∣xn∈Bd1(x,ε′)∀n≥n0\implies \:\exists\:n_{0}\bigm| x_{n}\in B_{d_{1}}(x,\varepsilon')\quad \forall n\geq n_{0}   ⟹  xn∈Bd2(x,ε)∀n≥n0\implies x_{n} \in B_{d_{2}}(x,\varepsilon)\quad \forall n\geq n_{0} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Nota: Este resultado me sirve también para demostrar que dos métricas no son equivalentes, si encuentro una sucesión que converge en una pero no en la otra.

Prop.:{\color{Orange}\text{Prop.:}}

Sea (M,d) un espacio meˊtrico, E⊆M y x∈M. Entonces:1.x∈E‾    ⟺    ∃ (xn)⊆E  ∣  xn→x.2.x∈E′    ⟺    ∃ (xn)⊆E∖{x}  ∣  xn→x.\begin{array}{l} \text{Sea $(M,d)$ un espacio métrico, $E\subseteq M$ y $x\in M$. Entonces:}\\[4pt] 1.\quad x \in \overline{E}\;\iff\;\exists\,(x_n)\subseteq E\;\bigl|\;x_n\to x.\\[4pt] 2.\quad x \in E'\;\iff\;\exists\,(x_n)\subseteq E\setminus\{x\}\;\bigl|\;x_n\to x. \end{array}

Dem.:{\color{Orange}\text{Dem.:}}

1. Punto de adherencia y sucesión en EE.

(⇒)(\Rightarrow) Supongamos x∈E‾x\in\overline{E}.
Entonces

∀r>0:  B(x,r)∩E≠∅.\forall r>0:\;B(x,r)\cap E\neq\emptyset.

Para cada n∈Nn\in\mathbb{N}, tome

xn∈B(x,1n)∩E.x_n\in B\bigl(x,\tfrac1n\bigr)\cap E.

Entonces (xn)⊆E(x_n)\subseteq E y

d(xn,x)<1n  ⟶  0,d(x_n,x)<\tfrac1n\;\longrightarrow\;0,

por lo que xn→xx_n\to x.

(⇐)(\Leftarrow) Sea (xn)⊆E(x_n)\subseteq E con xn→xx_n\to x.
Dado r>0r>0, existe NN tal que

n≥N    ⟹    d(xn,x)<r  ⟹  xn∈B(x,r)∩E≠∅.n\ge N\;\implies\;d(x_n,x)<r \;\Longrightarrow\; x_n\in B(x,r)\cap E\neq\emptyset.

Por definición, x∈E‾x\in\overline{E}.

2. Punto de acumulación y sucesión distinta de xx.

(⇒)(\Rightarrow) Si x∈E′x\in E', entonces

∀r>0:  (B(x,r)∖{x})∩E≠∅.\forall r>0:\;(B(x,r)\setminus\{x\})\cap E\neq\emptyset.

Análogamente al caso anterior, para cada nn elija

xn∈(B(x,1n)∖{x})∩E.x_n\in\bigl(B(x,\tfrac1n)\setminus\{x\}\bigr)\cap E.

Por construcción xn≠xx_n\neq x, (xn)⊆E∖{x}(x_n)\subseteq E\setminus\{x\} y

d(xn,x)<1n  ⟶  0,d(x_n,x)<\tfrac1n\;\longrightarrow\;0,

es decir, xn→xx_n\to x.

(⇐)(\Leftarrow) Sea (xn)⊆E∖{x}(x_n)\subseteq E\setminus\{x\} con xn→xx_n\to x.
Entonces para todo r>0r>0 existe NN tal que para n≥Nn\ge N,

d(xn,x)<r  ⟹  xn∈B(x,r)∖{x},d(x_n,x)<r \;\Longrightarrow\; x_n\in B(x,r)\setminus\{x\},

y como xn∈Ex_n\in E,

(B(x,r)∖{x})∩E≠∅.(B(x,r)\setminus\{x\})\cap E\neq\emptyset.

Por definición, x∈E′x\in E'.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea (M,d) espacio meˊtrico, X⊆M. Se dice denso si X‾=M\begin{array}{l} \text{Sea $(M,d)$ espacio métrico, $X\subseteq M.$ Se dice denso si $\overline{X}=M$} \end{array}

Obs:Obs: ∀x∈M ∃ (xn)n∈N⊆X\forall x \in M\:\exists\:( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq X tal que xn→x  ⟺  Xx_{n}\to x \iff X es denso.

Corolario :{\color{Red} \text{Corolario }:}

E⊆M es cerrado si y solo si ∀(xn)⊆E con xn→x  ⟹  x∈E \begin{array}{l} \text{$E\subseteq M$ es cerrado si y solo si $\forall(x_{n})\subseteq E$ con $x_{n}\to x\implies x \in E$ } \end{array}
Ejemplos:Ejemplos:

En (R,∣⋅∣)(\mathbb{R},|\cdot|), Q⊆R\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R} es denso. I=R∖Q⊆R\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R} es denso. En Rn,Qn\mathbb{R}^{n},\mathbb{Q}^{n} es denso con d1,d2d_{1},d_{2} y d∞d_{\infty}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Una sucesioˊn (xn)n∈N⊆M se dice acotada si {xn:n∈N}⊆M es acotado.\begin{array}{l} \text{Una sucesión $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M$ se dice acotada si $\{ x_{n}:n \in \mathbb{N} \}\subseteq M$ es acotado.} \end{array}

Es decir,  ∃ x,r∣xn∈B(x,r)∀n∈N\:\exists\:x,r\bigm|x_{n}\in B(x,r)\quad\forall n \in \mathbb{N}

Ejemplo:Ejemplo:

Si (xn)n∈N⊆M( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M es convergente entonces es acotada.

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