#5Espacios métricos

2025 - Teórica 5 - Espacios métricos I

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Wed-09-04-2025 22:43 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Espacios métricos

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} } Sea MM un conjunto. Una métrica en MM d:M×M→Rd:M\times M\to \mathbb{R}_{} tal que:

  1. d(x,y)≥0∀x,y∈M,d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y)\geq0\quad\forall x,y \in M \quad \quad , d(x,y)=0\iff x=y
  2. d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈Md(x,y)=d(y,x) \quad\quad\forall x,y\in M
  3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)∀x,y,z∈Md(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\quad\forall x,y,z\in M. Por desigualdad triangular.
(M,d) se llama espacio metrico(M,d)\text{ se llama espacio metrico}
d∞ es una distanciad_{\infty}\text{ es una distancia}

Definiciones de bolas abiertas, cerradas y esferas

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea (M,d) un espacio meˊtrico. Sea E⊆M.Decimos que E es acotado si  ∃ c>0 tal que d(x,y)≤c ∀x,y∈E \begin{array}{l} \text{Sea $(M,d)$ un espacio métrico. Sea $E\subseteq M$.}\\ \text{Decimos que $E$ es acotado si $\:\exists\:c>0$ tal que $d(x,y)\leq c$ $\forall x,y \in E$ } \end{array}

Equivalentemente, si  ∃ x0∈E,r>0∣E⊆B(x0,r)\:\exists\:x_{0} \in E,r>0\bigm|E\subseteq B(x_{0},r) Si E≠∅E\neq \emptyset es acotado, defino el diámetro de EE como:

diam(E)=sup{d(x,y):x,y∈E}diam(E)=sup \{ d(x,y):x,y \in E \}

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