Avanzado-Práctica 17 - Espacios normados II

Tue-29-10-2024 11:13 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags: Espacios Normados

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Sea $X=C([0,1])$ con ala norma $\left\| \right\|_1$ y consideremos la función $T:X\to X$ dada por $T(f)=x.f(x)$. Probar que es lineal, continua, hallar su norma y ver que no existe $f \in X$ que la realice.

Que sea lineal:

1. $T(\alpha f)=\alpha.T(f),\alpha \in \mathbb{R}$

$$T(\alpha f)=\alpha xf(x)=\alpha T(f)$$

1. $T(f+g)=T(f)+T(g)\quad f,g\in X$

Para que sea continua uso

$$T\text{ acotado}\iff T\text{ continua}$$

Fijo $f \in X$ con $\left\| \right\|_1$

$$\left\| Tf \right\|_1 =\int_{0}^1|Tf(x)|.dx=\int_{0}^1|x.f(x)|.dx=\int_{0}^1|x|.|f(x)|.dx\underset{|x|\leq 1}{\leq }\int_{0}^1 |f(x)| \, dx =\left\| f \right\|_1$$

Tomando $M=1$:

$$\left\| Tf \right\|_1 \leq M.\left\| f \right\|_1$$

Entonces $T$ acotado.

Tengo que

$$\left\| T \right\| =sup_{\left\| f \right\|_1 \neq 0}\left\{ \frac{ \left\| Tf \right\|_1}{\left\| f \right\|_1 } \right\}\leq 1$$

Veamos que $\left\| T \right\|=1$ Sea $(f_{n})_{n}\subseteq X$ donde $f_{n}(x)=x^n$ $T(f_{n})=f_{n+1}$, además

$$\left\| f_{n} \right\|_1 =\int_{0}^1 x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}|_{0}^1= \frac{1}{n+1}$$ $$\left\| T \right\| \geq \frac{\left\| T(f_{n}) \right\|_1 }{\left\| f_{n} \right\|_1 }= \frac{ \frac{1}{n+2}}{ \frac{1}{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}$$

Tomando supremo,

$$\left\| T \right\| \geq sup_{n}\left\{ \frac{n+1}{n+2} \right\}=1$$

además $\not\exists f\:|\:\frac{\left\| T(f) \right\|_1}{\left\| f \right\|_1}=1$ --> 00:00 Si existiera $f$ entonces:

$$\left\| Tf \right\|_1 =\left\| f \right\|_1 \quad \text{ con } f\neq 0$$

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$Lema:$ Sea $g \in X\:|\:g\geq0$ y $\int g(x) \, dx=0\implies g(x)=0\quad\forall x$ $Dem:$ Tarea

Consultar a Mauro si no sale con continuidad

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$$\int x|f(x)| \, dx =\left\| Tf \right\|_1=\left\| f \right\|_1 =\int 1.|f(x)| \, dx$$

Pasa restando lo de la izquierda de todo a la derecha de todo.

$$0=\int_{0}^1 (1-x)|f(x)| \, dx$$

luego $(1-x).|f(x)|=0\quad\forall x$

Usamos que si $f$ continua entonces $|f|$ es continua

Por el lema $f(x)=0\quad\forall x<1$ por continuidad, $f(1)=0$ y $f=0$

Absurdo pues $f\neq0$

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Ejercicio 2 - Tarea de la clase pasada

$$\text{$C$ convexo, entonces $C°$ también.}$$

$Dem:$

$$\text{Quiero ver que}\quad z=t.x+(1-t)y\in C°\quad \forall x,y\in C°,t\in[0,1]$$

Quiero ver que

$$\:\exists\:\mathcal{E}>0\:|\: B(z,\mathcal{E})\subseteq C$$

sabemos que existe $\mathcal{E}>0\:|\:B(x,\mathcal{E})\subseteq C\land B(y,\mathcal{E})\subseteq C$

Tomemos $w\in B(z,\mathcal{E})\:|\:\left\| w-z \right\|<\mathcal{E}$ Luego $w=z+(w-z)=t.x+(1-t)y+t(w-z)+(1-t)(w-z)=t.(x+w-z)+(1-t)(y+w-z)$

sabemos que $x+w-z\in B(x,\mathcal{E})$ pues $\left\| (x+w-z)-x \right\|=\left\| w-z \right\|<\mathcal{E}$ Luego, $y+w-z\in B(y,\mathcal{E})$ Como $C$ es convexo y $w$ resulta ser una combinación lineal convexa de dos elementos en $C$ entonces $w\in C$

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