Thu-24-10-2024 11:49
profe: - Mauro
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Espacios normados \text{Espacios normados} Espacios normados Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
( X , ∥ . ∥ ) es un espacio normado y tambi e ˊ n un espacio vectorial: d ( f , g ) = ∥ f . g ∥ \begin{array}{l}
\text{$(X, \left\| \:. \right\|)$ es un espacio normado y también un espacio vectorial: $d(f,g)= \left\| f.g \right\|$}
\end{array} ( X , ∥ . ∥ ) es un espacio normado y tambi e ˊ n un espacio vectorial: d ( f , g ) = ∥ f . g ∥ E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o :
l ∞ = { ( a n ) ⊆ R : Sucesiones acotadas } l^{\infty}=\{ (a_{n})\subseteq \mathbb{R}: \text{Sucesiones acotadas} \} l ∞ = {( a n ) ⊆ R : Sucesiones acotadas }
∣ ∣ ( a n ) ∣ ∣ ∞ = s u p ∣ a n ∣ \lvert |(a_{n})| \rvert_{\infty}=sup|a_{n}| ∣ ∣ ( a n ) ∣ ∣ ∞ = s u p ∣ a n ∣
l 2 = { ( a n ) ⊆ R : ∑ n ∈ N ∣ a n ∣ 2 < ∞ } l^{2}=\left\{ (a_{n})\subseteq \mathbb{R} : \sum_{n\in \mathbb{N}} |a_{n}|^{2}<\infty \right\} l 2 = { ( a n ) ⊆ R : ∑ n ∈ N ∣ a n ∣ 2 < ∞ }
∥ ( a n ) n ∈ N ∥ 2 = ( ∑ n ∈ N ∣ a n ∣ 2 ) 1 2 \left\| ( a_n )_{n \in \mathbb{N} } \right\|_2 =\left( \sum_{n\in N}|a_{n} |^{2} \right)^{ \frac{1}{2}} ∥ ( a n ) n ∈ N ∥ 2 = ( n ∈ N ∑ ∣ a n ∣ 2 ) 2 1 Veamos que está todo bien con l 2 l^{2} l 2 ∑ n ∣ a n ∣ 2 < ∞ \sum_{n}|a_{n}|^{2}<\infty ∑ n ∣ a n ∣ 2 < ∞ ( ∗ ) (*) ( ∗ )
Sea S N = ∑ N ∣ a n ∣ 2 S_{N}=\sum^N |a_{n}|^{2} S N = ∑ N ∣ a n ∣ 2 ( ∗ ) (*) ( ∗ ) k > 0 k>0 k > 0 S N ≤ k ∀ N ∈ N S_{N}\leq k\quad\forall N\in \mathbb{N} S N ≤ k ∀ N ∈ N ( S N ) N ∈ N (S_{N})_{N\in \mathbb{N}} ( S N ) N ∈ N k k k
∑ n ∈ N ∣ a n ∣ 2 = ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ 2 = s u p N { S N } = lim N → ∞ S N = lim N → ∞ ∑ n = 1 N ∣ a n ∣ 2 \sum_{n\in \mathbb{N}} |a_{n}|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|^{2}=sup_{N}\{ S_{N} \}=\lim_{ N \to \infty } S_{N}=\lim_{ N \to \infty }\sum_{n=1}^{N}|a_{n}|^{2} n ∈ N ∑ ∣ a n ∣ 2 = n = 1 ∑ ∞ ∣ a n ∣ 2 = s u p N { S N } = N → ∞ lim S N = N → ∞ lim n = 1 ∑ N ∣ a n ∣ 2 --> 8:06
Y la norma es la raíz cuadrada de este límite
La suma en el espacio vectorial es sumar coordenada a coordenada.
Vamos que la suma es cerrada y que la norma cumple la desigualdad triangular.
Afirmamos , dados a , b ∈ l 2 a,b\in l^{2} a , b ∈ l 2
∀ N : ∑ n = 1 N ∣ a n + b n ∣ 2 ≤ ( ∣ ∣ a n ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ b n ∣ ∣ 2 ) 2 \forall N:\sum_{n=1}^{N} |a_{n}+b_{n}|^{2}\leq (||a_{n}||_{2}+||b_{n}||_{2})^{2} ∀ N : n = 1 ∑ N ∣ a n + b n ∣ 2 ≤ ( ∣∣ a n ∣ ∣ 2 + ∣∣ b n ∣ ∣ 2 ) 2 Fijemos N ∈ N N\in \mathbb{N} N ∈ N
( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N + b N ) ∈ R N (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots,a_{N}+b_{N})\in \mathbb{R}^N ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N + b N ) ∈ R N
La norma 2 en R N \mathbb{R}^N R N l 2 l^{2} l 2
Veamos la norma ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ||\:||_{2} ∣∣ ∣ ∣ 2 R N \mathbb{R}^N R N
∑ n = 1 N ∣ a n + b n ∣ 2 = ∣ ∣ ( a 1 + b 1 , … , a N + b N ) ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ ( a 1 , … , a N ) ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ ( b 1 , … , b N ) ∣ ∣ = \sqrt{ \sum_{n=1}^{N} |a_{n}+b_{n}|^{2} }=||(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{N}+b_{N})||_{2}\leq ||(a_{1},\dots,a_{N})||_{2}+||(b_{1},\dots,b_{N})||= n = 1 ∑ N ∣ a n + b n ∣ 2 = ∣∣ ( a 1 + b 1 , … , a N + b N ) ∣ ∣ 2 ≤ ∣∣ ( a 1 , … , a N ) ∣ ∣ 2 + ∣∣ ( b 1 , … , b N ) ∣∣ = = ∑ n = 1 N ∣ a n ∣ 2 + ∑ n = 1 N ∣ b n ∣ 2 ≤ ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 Como queriamos =\sqrt{ \sum_{n=1}^{N} |a_{n}|^{2} }+\sqrt{ \sum_{n=1}^{N} |b_{n}|^{2} }\leq ||a||_{2}+||b||_{2}\quad \text{Como queriamos} = n = 1 ∑ N ∣ a n ∣ 2 + n = 1 ∑ N ∣ b n ∣ 2 ≤ ∣∣ a ∣ ∣ 2 + ∣∣ b ∣ ∣ 2 Como queriamos
-->Para que hicimos esto? : 22:00
Tarea: ver que α . a ∈ l 2 ( α ∈ R ) \alpha.a\in l^{2}(\alpha \in \mathbb{R}) α . a ∈ l 2 ( α ∈ R ) ∣ ∣ α . a ∣ ∣ 2 = ∣ α ∣ . ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 \lvert \lvert \alpha .a \rvert \rvert_{2}=|\alpha|.\lvert \lvert a \rvert \rvert_{2} ∣∣ α . a ∣ ∣ 2 = ∣ α ∣. ∣∣ a ∣ ∣ 2
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ T : C ( [ 0 , 1 ] ) → R l i n e a l f ↦ f ( 0 ) \begin{array}{c}
T:C([0,1])\to \mathbb{R}\quad lineal \\
\quad \quad f\mapsto f(0)
\end{array} T : C ([ 0 , 1 ]) → R l in e a l f ↦ f ( 0 ) y pensemos a C ( [ 0 , 1 ] ) C([0,1]) C ([ 0 , 1 ]) ∣ ∣ . ∣ ∣ 1 ||\:.||_{1} ∣∣ .∣ ∣ 1
Podemos resolverlo además con que es continua y entnces acotado. Pero no es la resolución que teniamos en mente.
Agarremos ( f n ) n ⊆ C ( [ 0 , 1 ] ) (f_{n})_{n}\subseteq C([0,1]) ( f n ) n ⊆ C ([ 0 , 1 ]) B ‾ ( 0 , 1 ) \overline{B}(0,1) B ( 0 , 1 ) ( T ( f n ) ) n ∈ N (T(f_{n}))_{n\in \mathbb{N}} ( T ( f n ) ) n ∈ N
-->33:00
Definamos
f n ( x ) = { n x = 0 2 n − 2 n 2 x x < 1 n 0 c c f_{n}(x)=\begin{cases}
n & x=0 \\
2n-2n^{2}x & x< \frac{1}{n} \\
0 & cc
\end{cases} f n ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ n 2 n − 2 n 2 x 0 x = 0 x < n 1 cc f n f_{n} f n ∣ ∣ f n ∣ ∣ 1 ||f_{n}||_{1} ∣∣ f n ∣ ∣ 1 ( T ( f n ) ) n (T(f_{n}))_{n} ( T ( f n ) ) n
T ( f n ) = f n ( 0 ) = 2 n T(f_{n})=f_{n}(0)=2n T ( f n ) = f n ( 0 ) = 2 n que no está acotado. Además
∣ ∣ f n ∣ ∣ 1 = ∫ 0 1 ∣ f n ( x ) ∣ d x = f ( x ) = 0 ∀ x > 1 n ∫ 0 1 / n 2 n − 2 n 2 x d x = ( 2 n x − n 2 x 2 ∣ 0 1 / n = 2 − 1 = 1 ||f_{n}||_{1}=\int_{0}^1 |f_{n}(x)| \, dx \underset{f(x)=0\:\forall x> \frac{1}{n}}{=}\int_{0}^{ 1/n} 2n-2n^{2}x \, dx =(2nx-n^{2}x^{2}|_{0}^{ 1/n}=2-1=1 ∣∣ f n ∣ ∣ 1 = ∫ 0 1 ∣ f n ( x ) ∣ d x f ( x ) = 0 ∀ x > n 1 = ∫ 0 1/ n 2 n − 2 n 2 x d x = ( 2 n x − n 2 x 2 ∣ 0 1/ n = 2 − 1 = 1 Recordar la def. de acotado:
Si existe k > 0 ∣ ∣ T ( x ) ∣ < k ∀ x ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < 1 k>0\:|\:|T(x)|<k\quad\forall x\:|\:||x||<1 k > 0 ∣ ∣ T ( x ) ∣ < k ∀ x ∣ ∣∣ x ∣∣ < 1
∣ ∣ T ∣ ∣ = s u p x ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≤ 1 { ∣ T ( x ) ∣ } ||T||=sup_{x\:|\: ||x||\leq 1}\{ |T(x)| \} ∣∣ T ∣∣ = s u p x ∣ ∣∣ x ∣∣ ≤ 1 { ∣ T ( x ) ∣ } Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Dado C ⊆ V C\subseteq V C ⊆ V C C C
t . x + ( 1 − t ) . y ∈ C ∀ x , y ∈ C , t ∈ [ 0 , 1 ] t.x+(1-t).y\in C\quad \forall x,y\in C,t \in[0,1] t . x + ( 1 − t ) . y ∈ C ∀ x , y ∈ C , t ∈ [ 0 , 1 ] Tarea: Si C 0 C_{0} C 0 C C C
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