Avanzado-Práctica 18 - Espacios normados III

Tema: Espacios normados III

Thu-31-10-2024 11:42 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags: Espacios Normados

Ejercicio 1

Definamos

E={(an)n∈N∈l∞: ∃ lim⁡n→∞an}S={(an)n∈N∈E:lim⁡n→∞an=0}\begin{array}{c} E=\{ ( a_n )_{n \in \mathbb{N} } \in l^{\infty}: \:\exists\:\lim_{ n \to \infty } a_{n} \} \\ S=\{ ( a_n )_{n \in \mathbb{N} } \in E:\lim_{ n \to \infty } a_{n} =0 \} \end{array}

Probar que SS es un hiperplano cerrado de EE.

Dem:Dem:

 ∃ v∈E∖{0} ∣ S ⊕<v>=E\:\exists\:v \in E\setminus \{ 0 \}\:|\: S\:\oplus <v> = E Fijemos v∈E ∣ v=(1,1,…,1)v\in E\:|\: v=(1,1,\dots,1) Debemos probar que dado w∈E ,∃ s∈Sw\in E\:,\exists\:s \in S y α∈R\alpha \in \mathbb{R} tal que w=s+α.vw=s+\alpha.v

Ya podemos probar que

lim⁡n→∞(an+α.bn)=lim⁡n→∞an+α.lim⁡n→∞bn\lim_{ n \to \infty } (a_{n} +\alpha.b_{n})=\lim_{ n \to \infty } a_{n} +\alpha.\lim_{ n \to \infty } b_{n}

Se deja como tarea.

Fijemos ww y hallemos ss y α\alpha.

lim⁡n→∞w=0+α.1=α\lim_{ n \to \infty } w=0+\alpha.1=\alpha

y s=w−α.vs=w-\alpha.v (Está en SS?)

lim⁡n→∞s=lim⁡n→∞w−α.lim⁡n→∞v=0\lim_{ n \to \infty } s=\lim_{ n \to \infty } w-\alpha.\lim_{ n \to \infty } v=0

y s∈Ss \in S Además, si h∈S∩<v>  ⟹  lim⁡n→∞h=0=β.lim⁡n→∞v=β=0h\in S \cap<v>\implies \lim_{ n \to \infty }h=0=\beta.\lim_{ n \to \infty }v=\beta=0 Entonces h=β.v=0.v=0h=\beta.v=0.v=0 y listo. Veamos que es cerrado. Veamos que E∖SE\setminus S es abierto. Fijemos w∈E∖Sw\in E\setminus S, necesitamos r>0 ∣ B(w,r)⊆E∖Sr>0\:|\:B(w,r)\subseteq E\setminus S Sea r=∣lim w∣2r=\frac{|lim\:w|}{2}

Sea x∈B(w,r)x \in B(w,r)

∥x−w∥∞<r∥xn−wn∥∞≤∥x−w∥∞<r∣lim x∣=∣lim⁡n→∞(x−w)+lim⁡n→∞w∣≥∣lim⁡n→∞w∣−∣lim⁡n→∞(x−w)∣<<∣lim⁡n→∞w∣−∣lim⁡n→∞w∣2=∣lim⁡n→∞w∣2>0\begin{array}{c} \left\| x-w \right\|_\infty <r \\ \left\| x_{n}-w_{n} \right\|_\infty \leq \left\| x-w \right\|_\infty <r \\ |lim\:x|=|\lim_{ n \to \infty } (x-w)+\lim_{ n \to \infty } w|\geq |\lim_{ n \to \infty } w|-|\lim_{ n \to \infty } (x-w)|< \\ <|\lim_{ n \to \infty } w|-\frac{|\lim_{ n \to \infty } w|}{2}=\frac{|\lim_{ n \to \infty } w|}{2}>0 \end{array}

Como queríamos.

Otra demo:

F:E→Rw↦lim⁡n→∞w\begin{array}{c} F:E\to \mathbb{R} \\ \quad w\mapsto \lim_{ n \to \infty } w \end{array}

bien definido. Por álgebra de límites (tarea) resulta lineal F−1(0)F^{-1}(0) es hiperplano.

Lo anterior es por la teoría

Entonces vale pues S=F−1(0)S=F^{-1}(0) Para ver que SS es cerrado basta ver que FF es continuo y basta ver que es acotado. Tomemos w∈E:w\in E:

∣F(w)∣=∣lim⁡n→∞w∣≤∥w∥∞|F(w)|=|\lim_{ n \to \infty } w|\leq \left\| w \right\|_\infty

Entonces ∥F∥≤1\left\| F \right\|\leq1 y es continua.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Citas y Comentarios

Todo lineal si es acotado es continuo

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