Tue-15-04-2025 20:59 profe: Pablo Herrera
status: tags: Espacios métricos

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No copie la clase, los ejercicios están aquí, Sil god: link

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$$\text{$B(x,r)$ es abierto}$$

$Dem:$ Tomar $\mathcal{E}=r-d(x,y)$ Y ver que la bola $B(y,\mathcal{E})\subseteq B(x,r)$

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$$\text{$\{ A_{i} \}_{i \in I}$ familia de abiertos con $A_{i}$ abierto $\implies \bigcup A_{i}$ es abierto }$$

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$$\text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$ abierto, entonces $A$ es una unión de intervalos.}$$

$Dem:$ Considero $A=\underset{ x \in A }{ \bigcup } B(x,r_{x})$

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Ejercicio

Sea $M=(\mathbb{R},|\cdot|)$ espacio métrico y la distancia

$$d(x,y)=\begin{cases} 0 & x=y \\ 1 & x,y \in \mathbb{Q}\lor x,y \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \\ 2 & x \in \mathbb{Q},y \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\lor y \in \mathbb{Q},x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$ $$\text{$B_{|\cdot|}(0,1)$ es abierto en $M$ ?}$$

Dado $x \in(-1,1)$, definimos

$$B_{d}(x,r)=\begin{cases} x & r\leq 1 \\ \mathbb{Q} & 1\leq r\leq 2 \\ \mathbb{R} & r\geq 2 \end{cases}$$

Toda bola abierta en $d$ es una bola abierta en $M'=(\mathbb{R},|\cdot|)$ ? No, porque encontrariamos una bola abierta en $d$ que no lo es en $M'$.

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