Tue-08-04-2025 20:21 profe: Natalia Accomazzo Scotti - Dario Martin Aza | Pablo Herrera - Mariano Negri - Juan Garber status: tags:

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Ejercicio 1

Decimos que una sucesión $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ de números enteros es buena si existe un polinomio $p \in \mathbb{Z}[x]$ tal que $a_{n+1}=p(a_{n})$ $\forall n \in \mathbb{N}$. Calcular el cardinal del conjunto de sucesiones buenas.

-- 33:00 Queremos ver que $B=\{ \text{sucesiones buenas} \}$ es numerable. Como las sucesiones constantes son todas buenas , $B$ no es finito y entonces $\#B\geq\#\mathbb{N}$ Definimos

$$f:B\to \mathbb{Z}[x]\times \mathbb{Z}$$ $$( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\mapsto(p,a_{1})$$

donde $p$ es algún polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ tal que $p(a_{k})=a_{k+1}$. Tal polinomio existe pues $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es buena y si hay varios elijo una. Basta ver que $f$ es inyectiva. Supongamos que

$$f(( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}})=f(( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}})$$ $$(p_{a_{n}},a_{1})=(p_{b_{n}},b_{1})$$

Luego $a_{1}=b_{1}$ y además $p_{a_{n}}=p_{b_{n}}=p$. Demostremos por inducción. Hipótesis inductiva: $a_{n}=b_{n}$ . Quiero ver que $a_{n+1}=b_{n+1}$ Tengo que

$$a_{n+1}=p(a_{n})=p(b_{n})=b_{n+1}$$

esto implica que

$$a_{n}=b_{n}\quad \forall n \in \mathbb{N}$$ $$\implies ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}=( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$$

Por lo tanto $f$ es inyectiva.

$$\implies\#B\leq\#\mathbb{N}\implies B\text{ es numerable.}$$

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Ejercicio 2

Hallar el cardinal de $A=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{Q}\bigm|\underset{ n\to \infty }{ \lim }q_{n}=0\}$

Como $A\subseteq \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}=\{ \text{sucesiones de numeros racionales} \}$ Como $A\subset \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ y la inclusión es inyectiva, se sigue que $\#A\leq\#\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}=c$ Vamos a buscar una función biyectiva $f:\mathbb{R}\to A$

Vamos a tener que considerar al desarrollo decimal de un número real.

$$a=\_\:, a_{1},a_{2},a_{3},\dots$$

Luego la sucesión

$$q_{n}=\_\:,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots,a_{n},0,0,0,\dots$$

--00:00

Defino una función $f:(0,1)\to A$ de la siguiente manera: Dado $x \in(0,1),$ tomo $x=0,x_{1}\:x_{2}\:x_{3}\dots$ su desarrollo decimal que no termine en infinitos ceros.

$$f(x)=( q_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$$

Donde

$$q_{n}=0,000\dots x_{n}0000\dots$$

y

$$q_{n}=\frac{x_{n}}{10^{n}}$$

Primero que nada notemos que $( q_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in A$ pues $q_{n}= \frac{x_{n}}{10^{n}}$ con $x_{n}\in \{0, 1,\dots,9 \}$
por lo que $q_{n}\in \mathbb{Q}\quad\forall n \in \mathbb{N}$ y además $q_{n}\to0$ pues

$$0\leq \frac{x_{n}}{10^{n} }\leq \frac{9}{10^{n} }\to 0$$

Vamos a probar que $f$ es inyectiva.

-- 11:25

Supongamos que $f(x)=f(y)$ Llamemos $f(x)=( q_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ y $f(y)=( p_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ Como $f(x)=f(y)\implies q_{k}=p_{k}\quad\forall k\in \mathbb{N}$ es decir,

$$\frac{x_{k}}{10^{k} }=\frac{y_{k}}{10^{k} }\implies x_{k}=y_{k}\quad \forall k\in \mathbb{N}$$

Por lo tanto

$$x=y$$

Entonces $f$ es inyectiva.

$$\#(0,1)\leq\#A\implies c\leq \#A$$

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