Avanzado 2025 - Práctica 7 - Espacios métricos II

Tema: Espacios métricos II

Tue-22-04-2025 20:37 profe: Juan Garber status: tags: Espacios métricos

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea l∞={(an)n∈N⊆R∣sup∣an∣<∞} ={sucesiones acotadas de R}\begin{array}{l} \text{Sea $l^{\infty}=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}\bigm|sup|a_{n}|<\infty \}$ }=\{ \text{sucesiones acotadas de }\mathbb{R} \} \end{array}

Notación: (an)n∈N:=a( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}:=a Definimos la métrica d∞(a,b)=sup∣an−bn∣d_{\infty}(a,b)=sup|a_{n}-b_{n}|

Ejemplo: 1. an=1n,a_{n}= \frac{1}{n}, y bn=0=0n  ⟹  d(a,0)=supn∈N∣1n−0∣=1b_{n}=0=0_{n}\implies d(a,0)=\underset{ n \in \mathbb{N} }{ sup }\left| \frac{1}{n}-0\right|=1 2. bn=−1nb_{n}=- \frac{1}{n}

d(a,b)=supn∈N∣1n−(−1n)∣=2d(a,b)=\underset{ n \in \mathbb{N} }{ sup }\left|\frac{1}{n}-\left( -\frac{1}{n} \right)\right|=2

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(l∞,d∞) es un espacio meˊtrico.\begin{array}{l} \text{$(l^{\infty},d_{\infty})$ es un espacio métrico.} \end{array}

Analicemos B(0,3)={a∈l∞:d(a,0)<3}B(0,3)=\{ a\in l^{\infty}:d(a,0)<3 \}

cn=3−1n∈B(0,3)c_{n}= 3-\frac{1}{n}\in B(0,3) ? Veremos que no, d(0,c)=sup∣3−1n∣≤3d(0,c)=sup\left|3 - \frac{1}{n}\right|\leq 3

cn∈l∞c_{n} \in \mathscr{l}^{\infty} pues está acotada.

Para ver que es 3, veamos que para todo ε\varepsilon existe algún elemento mayor que s−εs-\varepsilon y así cumplir la definición de supremo:

∀ε>0 ∃ n∈N∣3−1n>3−ε  ⟹  d(0,c)=3  ⟹  c∉B(0,3)\forall\varepsilon>0\:\exists\:n \in \mathbb{N}\bigm| 3-\frac{1}{n}>3-\varepsilon\implies d(0,c)=3\implies c\not\in B(0,3)

Prop.:{\color{Orange}\text{Prop.:}}

(ℓ∞,d∞) es un espacio meˊtrico.\begin{array}{l} \text{$(\ell^{\infty}, d_{\infty})$ es un espacio métrico.} \end{array}

Analicemos la bola abierta centrada en 00 de radio 33:

B(0,3)={ x∈ℓ∞:d∞(x,0)<3 }={ x∈ℓ∞:sup⁡∣xn∣<3 }.B(0,3) = \{\,x \in \ell^{\infty} : d_{\infty}(x,0) < 3\,\} = \{\,x \in \ell^{\infty} : \sup |x_n| < 3\,\}.

Sea la sucesión c=(cn)c = (c_n) definida por

cn=3−1n.c_n = 3 - \frac{1}{n}.
  • c∈ℓ∞c \in \ell^{\infty} porque es acotada.
  • Sin embargo,
sup⁡∣cn∣=sup⁡{3−1n}=3,\sup |c_n| = \sup\left\{3 - \frac{1}{n}\right\} = 3,

ya que para todo ε>0\varepsilon > 0 existe n∈Nn \in \mathbb{N} tal que:

3−1n>3−ε.3 - \frac{1}{n} > 3 - \varepsilon.

Por lo tanto:

d∞(c,0)=sup⁡∣cn∣=3⇒c∉B(0,3).d_{\infty}(c,0) = \sup |c_n| = 3 \quad\Rightarrow\quad c \notin B(0,3).

Caracterización precisa de B(0,3)B(0,3):

B(0,3)={ x∈ℓ∞:∃ ε>0  tal que  ∣xn∣<3−ε  ∀n∈N }.B(0,3) = \left\{\,x \in \ell^{\infty} : \exists\,\varepsilon > 0 \;\text{tal que}\; |x_n| < 3 - \varepsilon \;\forall n \in \mathbb{N}\,\right\}.
  • (⊆\subseteq) Sea x∈B(0,3)⇒sup⁡∣xn∣=s<3x \in B(0,3) \Rightarrow \sup |x_n| = s < 3.
    Tomamos ε=3−s2>0\varepsilon = \frac{3 - s}{2} > 0.
    Así ∣xn∣≤s+3−3=3−(3−s)=3−2⋅ε<3−ε|x_{n}|\leq s+3-3=3-(3-s)=3-2\cdot\varepsilon<3-\varepsilon Entonces:
∣xn∣≤s<3−ε∀n,|x_n| \le s < 3 - \varepsilon \quad \forall n,

lo que prueba que xx pertenece al conjunto caracterizado.

  • (⊇\supseteq) Sea x∈ℓ∞x \in \ell^{\infty} tal que ∃ ε>0\exists\,\varepsilon > 0 con ∣xn∣<3−ε|x_n| < 3 - \varepsilon para todo nn.
    Entonces:
sup⁡∣xn∣≤3−ε<3  ⇒  x∈B(0,3).\sup |x_n| \le 3 - \varepsilon < 3 \;\Rightarrow\; x \in B(0,3). Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Sea

X1={a∈l∞∣∣a1∣<1}X_{1}=\{ a \in \mathscr{l}^{\infty} \bigm| |a_{1}|<1 \}

Afirmo:

X1‾={a∈l∞:∣a1∣≤1}\overline{X_{1}}=\{ a \in \mathscr{l}^{\infty} :|a_{1}|\leq 1 \}

⊆)\subseteq)

Notación: (xk)k∈N⊂l∞( x^{k} )_{k \in \mathbb{N}}\subset \mathscr{l}^{\infty} es sucesión y xk=(x1k,x2k,… )x^{k}=(x^{k}_{1},x_{2}^{k},\dots)

Supongo a∈X1‾a \in \overline{X_{1}}

  ⟹   ∃ (ak)k∈N⊂X1∣ak→a\implies \:\exists\:(a^k)_{k \in \mathbb{N}}\subset X_{1}\bigm| a^k\to a

recordar que si xk→a  ⟹  d∞(xk,a)→0x^k\to a\implies d_{\infty}(x^{k},a)\to 0 pero d∞(xk,a)=sup∣xnk−an∣→0d_{\infty}(x^{k},a)=sup|x_{n}^{k}-a_{n}|\to0 Además

∣x1k−a1∣≤d∞(xk,a1)→0|x_{1}^{k} -a_{1}|\leq d_{\infty}(x^{k} ,a_{1})\to 0

Como (x1k)k∈N⊂R(x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} y ∣x1k−a1∣→0|x_{1}^{k}-a_{1}|\to 0 entonces x1k→a1x_{1}^{k}\to a_{1}

xk∈X1  ⟹  ∣x1k∣<1∀kx^{k} \in X_{1}\implies |x_{1}^{k} |<1\quad \forall k

Por ejercicio 9 P1 entonces

∣a1∣=lim⁡k→∞∣x1k∣≤1|a_{1}|=\underset{ k\to \infty }{ \lim } |x_{1}^{k} |\leq 1

⊇)\supseteq) Podemos definir ∀k,∀n≥2,xnk=an\forall k,\forall n\geq 2,x_{n}^{k}=a_{n} Ahora busco x1k∈(−1,1)x_{1}^{k} \in(-1,1) y x1k→a1∈[−1,1]x_{1}^{k}\to a_{1}\in[-1,1]

a1∈[−1,1]=(−1,1)‾  ⟹   ∃ (x1k)⊆(−1,1),x1k→a1ka_{1}\in[-1,1]=\overline{(-1,1)}\implies \:\exists\:(x_{1}^{k} )\subseteq(-1,1),x_{1}^{k} \to a_{1}^{k}

queda ver

d∞(xk,a)=sup ∣xnk−an∣=sup {∣x1k−a1∣,∣a2−a2∣,0,0,… }=∣x1k−a1∣d_{\infty}(x^{k} ,a)=sup\:|x_{n}^{k} -a_{n}|=sup\:\{ |x_{1}^{k} -a_{1}|,|a_{2}-a_{2}|,0,0,\dots \}=|x_{1}^{k} -a_{1}|

Pero entonces

d∞(xk,a)=∣x1k−a1∣→0  ⟹  xk→0d_{\infty}(x^{k} ,a)=|x_{1}^{k}-a_{1} |\to 0\implies x^{k} \to 0

y

xk∈X1∀k  ⟹  a∈X1‾x^{k} \in X_{1}\quad \forall k\implies a \in \overline{X_{1}}

Tarea: calcular X1°X_{1}°

Citas y Comentarios

Hay una version online de la clase subida por la cátedra: link

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