Thu-29-05-2025 10:49 profe: Dario Martin Aza status: tags: Espacios Normados

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Si $(E,d_{1}),(F,d_{2})$ espacios métricos. Entonces $(E\times F,d_{1}+d_{2})$ es espacio métrico. Donde $d_{1}+d_{2}:(E\times F)\times(E\times F)\longrightarrow \mathbb{R}$

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Ejercicio 0

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uniformemente continua y sea $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$$g(x)=max\{ f(y):y \in[x-1,x+1] \}$$

Probar que $g$ es uniformemente continua.

$Dem:$ Supongamos que $g$ no es uniformemente continua. Entonces

$$\:\exists\:\mathcal{E}>0,\:\exists\:( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\bigm| |x_{n}-y_{n}|\longrightarrow 0.\:Pero\:|g(x_{n})-g(y_{n})|\geq \mathcal{E}\quad \forall n \in \mathbb{N}$$

Sean, para cada $n \in \mathbb{N}$,

$$\tilde{x}_{n}\in[x_{n}-1,x_{n}+1]$$

y

$$\tilde{y}_{n}\in[y_{n}-1,y_{n}+1]$$

tales que

$$g(x_{n})=f(\tilde{x}_{n}),\quad \quad g(y_{n})=f(\tilde{y}_{n})$$

Entonces

$$|f(\tilde{x}_{n})-f(\tilde{y}_{n})|\geq \mathcal{E}\quad \forall n \in \mathbb{N}$$

Sea $\delta>0$ tal que $|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\mathcal{E}$ Este $\delta$ existe porque $f$ es uniformemente continua. Sea $n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_{0}\implies |x_{n}-y_{n}|<\delta$
Supongamos que

$$f(\tilde{x}_{n})>f(\tilde{y}_{n})\tag{*}$$

Una forma elegante es llamar $y$ al mayor de los 2. Así consideras los dos casos a la vez.

entonces como $f(\tilde{y}_{n})\geq f(y)\quad\forall y \in[y_{n}-1,y_{n}+1]$ También se desprende que

$$f(\tilde{x}_{n})>f(y_{n}-1)$$

Tenemos que $\tilde{x}_{n}\not\in[x_{n}-1,y_{n}+1]\implies \tilde{x}_{n}\in[y_{n}+1,x_{n}+1]$

$$\implies |\tilde{x}_{n}-(y_{n}+1)|\leq |y_{n}+1-(x_{n}+1)|<\delta$$

Pero entonces $|f(y_{n}+1)-f(x_{n})|\leq\mathcal{E}$ por la continuidad de $f$.

$$f(\tilde{x}_{n})\leq f(y_{n}+1)+\mathcal{E}\leq f(\tilde{y}_{n})+\mathcal{E}$$

Y usando (*) tengo que

$$\implies |f(\tilde{x}_{n})-f(\tilde{y}_{n})|<\mathcal{E}$$

Lo cual es absurdo porque $|f(\tilde{x}_{n})-f(\tilde{y}_{n})|\geq\mathcal{E}$

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$$\text{Recuerdo:}$$

$(E,\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert)$ normado. $S\subseteq E$ se dice un hiperplano si:

1. $\:\exists\:v\not\in S,v \in E\bigm|<v>\oplus S=E$
2. $\forall v\not\in S,v \in E$ vale $<v>+\: S=E$
3. $\:\exists\:\phi:E\to \mathbb{R}$ lineal con $Ker(\phi)=S$

Son equivalentes las 3.

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Ejercicio 1

Sea

$$E=C_{(0)}=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}\bigm| \:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}:a_{n}=0\quad \forall n\geq n_{0} \}$$

con la norma

$$\lvert \lvert ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \rvert\rvert_{\infty} =\underset{ n\in\mathbb{N} }{ sup }\:\left| a_{n} \right|$$

Sea

$$S=\left\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}:\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}=0 \right\}\subseteq E$$

Probar que $S$ en denso en $E$. Es decir $\overline{S}=E$

$$\begin{array}{c} (2,-1,0,0,0,\cdots)\in S \\ (1,1,-1,0,0,\cdots)\in S \end{array}$$ $$S\text{ es un subespacio}$$

Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in S,( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in S$ entonces:

• $\lambda\cdot ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in S$ pues

$$\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot\lambda\cdot a_{n}=\lambda\cdot \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}=\lambda\cdot0=0$$

• $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}+( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in S$ pues

$$\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot(a_{n}+b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot b_{n}=0+0=0$$

$S$ es un hiperplano pues

$$S=ker({\Large\varphi})$$ $$\begin{array}{c} {\Large\varphi}:E\longrightarrow \mathbb{R} \\ \quad \quad \:\displaystyle ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\mapsto \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n} \end{array}$$

y ${\Large\varphi}$ es lineal ya lo siguiente se demostró cuando vimos que $S$ es subespacio :

• ${\Large\varphi}(\lambda\cdot f)=\lambda\cdot {\Large\varphi}(f)$
• ${\Large\varphi}(f+g)={\Large\varphi}(f)+{\Large\varphi}(g)$ Para ver que $S$ es denso, basta encontrar $s_{n}\in S\quad\forall n\in \mathbb{N}$ tal que $s_{n}\longrightarrow w \not\in S$
  Considero

$$s_{n}=\left( 1,0,0,\dots,0\underbrace{ , -\frac{1}{n} , }_{ \text{n-ésimo elemento} }0,\dots\right)$$

Veo que $s_{n}\longrightarrow e_{1}\not\in S$ pues

$$\lvert \lvert s_{n}-e_{1} \rvert\rvert=\left\lvert \left\lvert \left( 0,0,\dots,-\frac{1}{n},0,\dots \right) \right\rvert \right\rvert=\frac{1}{n}\longrightarrow 0$$

y $s_{n}\in S$ $\forall n\in \mathbb{N}$ Entonces $S$ no es cerrado. Por lo tanto es denso.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square$$

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Ejercicio 2

Sea

$$A=\{ f\in C([0,1],\mathbb{R})\bigm| f\:derivable,\quad f'(0)=0 \}\subseteq(C([0,1],\mathbb{R}),\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty} )$$

$A\subseteq C([0,1],\mathbb{R})$ es un subespacio. ¿ Es denso?

$A$ es un hiperplano pues $A=\ker({\Large\varphi})$ con

$$\begin{array}{c} {\Large\varphi}:C([0,1],\mathbb{R})&\longrightarrow& \mathbb{R} \\ f&\mapsto &f'(0) \end{array}$$

${\Large\varphi}$ lineal pues ${\Large\varphi}(\lambda\cdot f)=(\lambda\cdot f)'(0)=\lambda\cdot f'(0)=\lambda\cdot {\Large\varphi}(f)$ y

$${\Large\varphi}(f+g)=(f+g)'(0)=(f'+g')(0)=f'(0)+g'(0)={\Large\varphi}(f)+{\Large\varphi}(g)$$

Veamos si ${\Large\varphi}$ es continua.

Sea $f_{n}:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuas.

ACLARACION: tomar $f_{n}(x)=(1-x)^{n}$ y ver que $|{\Large\varphi}(f_{n})|=n$

$$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} }\cdot(x+1)^{n}$$

$f_{n}\in \overline{B}(0,1)$ $\forall n\in \mathbb{N}$ pero

$${\Large\varphi}(f_{n})=\frac{n}{2^{n} }\cdot(x+1)^{n-1} =\frac{n}{2^{n} }\longrightarrow 0$$

$f_{n}\in B(0,1)$ pero ${\Large\varphi}(f_{n})$ no están acotadas. $\implies {\Large\varphi}$ no es acotada $\implies {\Large\varphi}$ no es continua $\implies S$ es denso.

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Ejercicio 3

Consideramos

$$\begin{array}{c} T:(C([0,1],\mathbb{R}))&\longrightarrow& \mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R}) \\ f&\mapsto&\left( f\left( \frac{1}{n} \right) \right)_{n\in \mathbb{N}} \end{array}$$

Notar que $(C([0,1],\mathbb{R}))$ y $\mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R})$ son normados.

$T$ es operador lineal, calculamos su norma.

$$\lvert \lvert T \rvert\rvert =\underset{ f\in B(0,1) }{ sup }\:\lvert \lvert T(f) \rvert\rvert =\underset{ f\in B(0,1) }{ sup }\:\left\lvert \left\lvert f\left( \frac{1}{n} \right) \right\rvert \right\rvert =\underset{ f\in B(0,1) }{ sup }\:\quad \underset{ n\in \mathbb{N} }{ sup }\:\left| f\left( \frac{1}{n} \right) \right| \leq \underset{ f \in B(0,1) }{ sup }\:\lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty} \leq 1$$ $$\implies \lvert \lvert T \rvert\rvert \leq 1$$

Por otro lado

$$T(id)=\left( 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\dots\right)=1$$

con

$$\begin{array}{c} id:[0,1]&\longrightarrow & \mathbb{R} \\ x&\mapsto& x \end{array}$$ $$\implies \lvert \lvert T \rvert\rvert =1$$

Notar que encontré una cota y luego vi que se realiza. Esto es clave!

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