Tue-03-06-2025 17:46 profe: Natalia Accomazzo Scotti - Dario Martin Aza | Pablo Herrera - Mariano Negri - Juan Garber status: tags: Espacios Normados

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Ejercicio 1

Calcular $|| T ||$ con

$$\begin{array}{c} T:(C[0,1],\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty} )&\longrightarrow &(C[0,1],\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty} ) \\ f&\mapsto&x^{2}\cdot f(0) \end{array}$$

Veamos que es lineal.

$$\begin{array}{c} T((\lambda\cdot f+g)(x))=x^{2}\cdot(\lambda\cdot f+g)(0)=x^{2}\cdot(\lambda\cdot f(0)+g(0))=\\ \lambda \cdot x^{2}\cdot f(0)+x^{2}\cdot g(0)=\lambda\cdot T(f)+T(g) \end{array}$$

Luego como

$$|| T || =\underset{ f \in B(0,1) }{ sup }\:\lvert \lvert T(f) \rvert\rvert_{\infty}$$

y

$$\lvert \lvert T(f) \rvert\rvert_{\infty} =\underset{ x \in [0,1] }{ sup }\:\left| x^{2}\cdot f(0) \right|$$

Por otro lado

$$|x^{2}\cdot f(0)|\leq |x^{2}|\cdot |f(0)|\leq |x^{2}|\cdot \underset{ x \in[0,1] }{ \sup }|f(x)|=|x^{2}|\cdot \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty}$$ $$\implies \lvert \lvert T(f) \rvert\rvert_{\infty} \leq \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty}$$

Si tomo supremo con $f \in B(0,1)$. Es decir, $|| f ||_{\infty}=1$

$$\underset{ f \in B(0,1) }{ sup }\:\lvert \lvert T(f) \rvert\rvert_{\infty} \leq 1$$ $$\implies || T || \leq 1$$

Por ahora solo acoté la norma buscada, faltaría encontrar un elemento donde la norma efectivamente valga 1. O bien hallar una sucesión que tienda a 1.

Una forma era suponer que $\:\exists\:f\in B(0,1),( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq B(0,1)\bigm||| T(f) ||=1,|| T(f_{n}) ||\longrightarrow 1\implies || T ||=1$

Pero mejor hallemos una $f$ particular. Tomo $f=1$. La función que vale constantemente 1. $|| f ||_{\infty}=1$

$$|| T(f) || =\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| x^{2}\cdot f(0) \right|=\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| x^{2} \right|=1$$

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Ejercicio 2

$$\begin{array}{c} T:(C[0,1],|| \cdot ||_{\infty} )&\longrightarrow &(C[0,1],|| \cdot ||_{\infty} ) \\ \displaystyle f&\mapsto& \displaystyle \int_{0}^{x} (x-t)\cdot f(t) \, dt \end{array}$$

Claramente $T$ es lineal. No vamos a probarlo.

$$|| T(f) ||_{\infty} =\underset{ x \in[0,1] }{ \sup }\:\left| \int_{0}^{x} (x-t)\cdot f(t) \, dt \right|$$ $$\left| \int_{0}^{x} (x-t)\cdot f(t) \, dt \right| \leq \int_{0}^{x} |x-t|\cdot |f(t)| \, dt \leq || f ||_{\infty} \cdot \int_{0}^{x} |x-t| \, dt$$

Acá usé esto: $\displaystyle\underset{ t \in[0,x] }{ \sup }\:\left| f(t) \right|\leq \underset{ t \in[0,1] }{ \sup }\:\left| f(t) \right|$ . Además $|x-t|=(x-t)$ y entonces resuelvo la integral.

$$\int_{0}^{x} (x-t) \, dt=\frac{x^{2}}{2}$$

Luego

$$|| Tf ||_{\infty} =\underset{ x \in[0,1] }{ \sup }\:\left| Tf(x) \right|\leq \underset{ x \in[0,1] }{ \sup }\:\left| |f| \right|_{\infty}\cdot \frac{x^{2}}{2}$$ $$|| Tf ||_{\infty} \leq \frac{|| f ||_{\infty}}{2}$$

Tomo supremo en $B(0,1)$ y así $|| f ||_{\infty}\leq 1$

$$|| T || =\underset{ f \in B(0,1) }{ \sup }\:\left| | Tf | \right| _{\infty}\leq \frac{1}{2}$$ $$|| T || \leq \frac{1}{2}$$

Sea $f\equiv1$. Calculo $|| Tf ||_{\infty}=\displaystyle\underset{ x \in[0,1] }{ \sup }\:\left| \int_{0}^{x}(x-t)\:dt \right|$ y me va a dar $\frac{1}{2}$. Es hacer una cuenta.

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Ejercicio 3

$$f_{n}(x)=\begin{cases} 0 & x\geq \frac{1}{n} \\ n\cdot x^{2} & x\leq \frac{1}{2n} \\ -n\left( x-\frac{1}{n} \right) & \frac{1}{2n}<x<\frac{1}{n} \end{cases}$$ $$f_{n}(x)\overset{ ? }{ \underset{ \text{puntualmente} }{ \longrightarrow } } f\equiv 0$$

Sea $x \in[0,1]$ Si $x=0,f_{n}(0)=0\quad\forall n\in \mathbb{N}$ Si $x\neq0,f_{n}(0)\longrightarrow 0$

$$f_{n}(x)\longrightarrow f(x)\equiv 0$$ $$f_{n}(x)\overset{ ? }{ \rightrightarrows } f(x)$$

Si dado $\mathcal{E}>0\:\exists\:n_{0}\bigm|f,f_{n}:X\to X'\quad d(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad\forall x \in X$

$$\begin{array}{c} d_{1}(f_{n},f)\longrightarrow 0 \\ d_{\infty}(f_{n},f) \cancel{ \longrightarrow } 0 \end{array}$$

La distancia infinito es para la convergencia uniforme.

Vimos que

$$f_{n}\underset{ d_{1} }{ \longrightarrow }f$$

Para ver si $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ quiero ver que $|f_{n}(x)-f(x)|<\mathcal{E}\quad\forall x \in[0,1]$ Pensar (Lo retomamos la clase que viene):

$$f_{n}(x)=\frac{x}{1+x^{2}}-\frac{x^{3} }{1+n\cdot x^{2}}$$

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