Tue-27-05-2025 04:25 profe: Dario Martin Aza status: tags: Espacios Normados

---

Ejercicio 1

Sea $(E,\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert),A\subseteq E$ cerrado, $B\subseteq E$ compacto.

$$C:=\{ a+b\bigm| a \in A,b \in B \}\implies C\text{ es cerrado}$$

Sea $(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb{N}}\subseteq C$ con $a_{n}+b_{n}\longrightarrow c$. ($\iff \lvert \lvert a_{n}+b_{n}-c \rvert\rvert\longrightarrow 0$ )

Quiero ver que $c \in C.$ Es decir, $\:\exists\:a'\in A,b'\in B\bigm|c=a'+b'$

$( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq A,( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq B$ Como $B$ compacto $\:\exists\:(b_{n_{k}})_{k}\bigm|b_{n_{k}}\longrightarrow b \in B$ Defino $c-b \in A\implies c=c-b+b$

Sabemos

$$\begin{array}{c} a_{n}+b_{n}\longrightarrow c \\ b_{n_{k}}\longrightarrow b \\ a_{n_{k}}+b_{n_{k}}\longrightarrow c \end{array}$$

$(a_{n_{k}})_{k}\subseteq A\implies$ si $a_{n_{k}}\longrightarrow c-b,c-b \in A.$ Pues $\mathbb{R}$ es cerrado.

$$\lvert \lvert a_{n_{k}}-c+b \rvert\rvert =\lvert \lvert a_{n_{k}}+b_{n_{k}}-b_{n_{k}}-c+b \rvert\rvert \leq \lvert \lvert a_{n_{k}}+b_{n_{k}}-c \rvert\rvert +\lvert \lvert b-b_{n_{k}} \rvert\rvert$$ $$\implies \lvert \lvert a_{n_{k}}-c+b \rvert\rvert \longrightarrow 0\implies a_{n_{k}}\longrightarrow c-b\implies c-b \in A$$

Pues $A$ cerrado.

$$\implies c=\underbrace{ c-b }_{ \in A }+\underbrace{ b }_{ \in B }\implies c \in C$$

Luego $C$ cerrado.

---

$Repaso:$

• $\overline{B}(0,1)$ no siempre es compacta. Ejemplo: $\mathscr{l}^{\infty}$
• $\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert:E\to \mathbb{R}$ es continua.

---

Ejercicio 2

$(E,\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert)$ es completo $\iff S=\{ x \in E\bigm|\lvert \lvert x \rvert\rvert=1 \}$ es completo.

$Dem:$ $\implies)$

$$S=\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert^{-1}(\{ 1 \})$$

Como $\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert$ es continua y $\{ 1 \}$ es cerrado $\implies S$ cerrado.

Otra forma:

Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq S\subseteq E$ de Cauchy. Quiero ver que $\:\exists\:x\bigm|\lvert \lvert x \rvert\rvert=1$ con $x_{n}\longrightarrow x$
Como $E$ es completo, $\:\exists\:x \in X$ con $x_{n}\longrightarrow x$

---

Para el repaso: $\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert\longrightarrow\lvert \lvert x \rvert\rvert$

$$\lvert \lvert x \rvert\rvert =\lvert \lvert x-x_{n}+x_{n} \rvert\rvert \leq \lvert \lvert x-x_{n} \rvert\rvert +\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert$$ $$\implies \lvert \lvert x \rvert\rvert -\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert \leq \lvert \lvert x-x_{n} \rvert\rvert$$

Lo mismo arrancando con $x_{n}$

$$\implies \bigm| \lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert -\lvert \lvert x \rvert\rvert \bigm| \leq \lvert \lvert x_{n}-x \rvert\rvert \longrightarrow 0$$

"Si algo tiende en norma, las normas tienden"

Ahora si volvamos.

---

$$\underbrace{ \lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }_{ =1 } \longrightarrow \lvert \lvert x \rvert\rvert ,\quad \bigm|\underbrace{ \lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }_{ =1 } -\lvert \lvert x \rvert\rvert \bigm|=\bigm|1-\lvert \lvert x \rvert\rvert \bigm|\longrightarrow 0$$ $$\implies \lvert \lvert x \rvert\rvert =1$$

$\implies S$ es cerrado $\implies S$ es completo. Pues $S\subseteq E,$ y $E$ completo.

$\impliedby)$ $S$ completo $\implies E$ completo. Saco $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq E$ de Cauchy.

$$\bigm|\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert -\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert \bigm|\leq \lvert \lvert x_{n}-x_{m} \rvert\rvert <\mathcal{E}$$

Entonces $(\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ es de Cauchy ($\implies$ converge).

2 casos:

• Si $\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert\longrightarrow\lambda=0\implies x_{n}\longrightarrow0_{_{E}}$

$$\lvert \lvert x_{n}-0_{_{E}} \rvert\rvert \leq \lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert \longrightarrow 0\implies x_{n}\longrightarrow 0_{_{E}}$$ $$\implies(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}\text{ converge, particularmente a }0_{_{E}}$$

• Si $\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert\longrightarrow\lambda>0$ Tomemos $\displaystyle\left( \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert} \right)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq S\implies$ quiero ver que es de Cauchy.

$$\left\lvert \left\lvert \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }-\frac{x_{m}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert } \right\rvert\right\rvert=\left\lvert\left \lvert \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }-\frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert }+\frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert }-\frac{x_{m}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert } \right\rvert\right\rvert$$ $$\leq \left\lvert\left \lvert \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }-\frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert }\right\rvert\right\rvert+\left\lvert\left\lvert\frac{x_{n}-x_{m}}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert }\right\rvert\right\rvert=\left| \underbrace{ \frac{1}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert } }_{ \longrightarrow \frac{1}{\lambda} }-\underbrace{ \frac{1}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert } }_{ \longrightarrow \frac{1}{\lambda} } \right|\cdot \underbrace{ \lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }_{ \underset{ (\text{Acotado por $\lambda+1$)}) }{ \longrightarrow \lambda>0 } } \underbrace{ +\frac{1}{\lvert \lvert x_{m} \rvert\rvert } }_{ \longrightarrow \frac{1}{\lambda} }\cdot \underbrace{ \lvert \lvert x_{n}-x_{m} \rvert\rvert }_{ \underset{ \longrightarrow 0 }{ <\mathcal{E} } }\to 0$$

$\implies\left( \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert} \right)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq S$ es de Cauchy.

$$\therefore\: \:\exists\:\in S\bigm| \frac{x_{n}}{\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert }\longrightarrow x\quad \text{Pues $S$ completo}$$

Sabemos que $\lvert \lvert x_{n} \rvert\rvert\longrightarrow\lambda$ $\implies$ Veamos que $x_{n}\longrightarrow\lambda\cdot x$

$$\lvert \lvert \lambda x-x_{n} \rvert\rvert =|\lambda|\cdot \left\lvert \left\lvert x-\frac{x_{n}}{\lambda} \right\rvert \right\rvert \cdot||x||=|\lambda|\cdot \left|\left| x-\frac{x_{n}}{|| x_{n} || }+\frac{x_{n}}{|| x_{n} || }-\frac{x_{n}}{\lambda} \right|\right|$$ $$\leq |\lambda|\cdot\left( \underbrace{ \left| \left| x-\frac{x_{n}}{|| x_{n} || } \right|\right| }_{ \longrightarrow 0 }+\underbrace{ \left| \left| \frac{x_{n}}{|| x_{n} || }-\frac{x_{n}}{\lambda} \right|\right| }_{ =|| x_{n} || \cdot \left| \frac{1}{|| x_{n} || }-\frac{1}{\lambda} \right| \longrightarrow 0 } \right)\longrightarrow 0\implies x_{n}\longrightarrow \lambda\cdot x$$

$\implies E$ es completo

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square$$

---

Citas y Comentarios