Thu-22-05-2025 20:30 profe: Dario Martin Aza status: tags: Compacidad

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Ejercicio 1

$( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq(E,d)$ tal que $x_{n}\longrightarrow x.$ Entonces $\{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}\cup \{ x \}=K\subseteq E$ es un compacto

$Dem:$ Sea $\{ U_{i} \}_{i \in I}$ un cubrimiento por abiertos de $K.$ Quiero extraer un subcubrimiento finito. Sea $\tilde{i}\in I:x \in U_{\tilde{i}}$ . Entonces, como $U_{\tilde{i}}$ es un abierto $\:\exists\:r>0\bigm|B(x,r)\subseteq U_{\tilde{i}}$ y $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_{0}$

$$d(x_{n},x)<r\implies x_{n}\in B(x,r)\subseteq U_{\tilde{i}}\quad \forall n\geq n_{0}$$

Sean $i_{1},i_{2},i_{3},\dots,i_{n_{0}-1}$ tales que $x_{j}\in U_{i_{j}}$ para cada $j \in \{ 1,2,\dots,n_{0}-1 \}$

$$\implies U_{i_{1}},U_{i_{2}},\dots,U_{i_{n_{0}-1}},U_{\tilde{i}}\text{ es un subcubrimiento de }K$$

Por lo tanto, $K$ es compacto.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square$$

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Ejercicio 2

Sea $f:(E,d)\to(E',d')$ continua tal que $f ^{-1}(K)$ es compacto para todo $K\subseteq E'$ compacto. Entonces $f$ es una función cerrada. i.e. : $f(F)$ es cerrado $\forall F\subseteq E$ cerrado.

$Dem:$ Sea $F\subseteq E$ cerrado, quiero ver que $f(F)$ es cerrado. Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq f(F)$ una sucesión tal que $x_{n}\longrightarrow x,$ quiero ver que $x \in f(F)$ Como $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq f(F)\implies \:\exists\:y_{n}\in F\bigm|f(y_{n})=x_{n}.$

La sucesión $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ no necesariamente es convergente. Aprovecho la compacidad para tomar una subsucesión.

Sea $K\subseteq E'$ dado por $K=\{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}\cup \{ x \}$ , que ya vimos que es compacto. Entonces $f ^{-1}(K)$ es compacto. Observar que $\{ y_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}\subseteq f ^{-1}(K)$ compacto porque $f(y_{n})=x_{n} \in K.$

Como $\{ y_{n} \}$ es una sucesión en mi compacto $\:\exists\:y_{n_{k}}$ converge $\bigm|y_{n_{k}}\longrightarrow y$ Como $y_{n_{k}}\in F\quad\forall k \in \mathbb{N}$ entonces $y \in F$ porque $F$ es cerrado. Como $f$ es continua, $f(y_{n_{k}})=x_{n_{k}}\longrightarrow f(y)$
Como $(x_{n_{k}})$ es una subsucesión de $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x,$ por unicidad del límite, $f(y)=x \in f(F)$

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Ejercicio 3

$f:X\to X$ continua y $(X,d)$ es un espacio métrico compacto tal que $f$ cumple:

$$\begin{array}{c} d(f(x),f(y))\geq d(x,y)\quad \forall x,y \in X \\ \text{Entonces $f$ es un homeomorfismo} \end{array}$$

$Dem:$ Hay que ver que es es biyectiva, y que su inversa es continua. Sean $x,y \in X,$ si $f(x)=f(y)\implies d(f(x),f(y))=0\implies d(x,y)=0\implies x=y$ Entonces $f$ es inyectiva.

Veamos que es sobreyectiva. Supongamos que no. Sea $x \not\in f(X)=\mathrm{Im}(f)$

Consideramos la sucesión $(f^{(n)}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ Donde

$$f^{(n)} (x)=\underbrace{ f \circ f\circ \dots \circ f }_{ n\:veces }$$

Afirmo que $(f^{(n)}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ no admite subsucesiones convergentes, lo cual sería un absurdo porque es compacto. Sea $n>m$

$$d(f^{(n)} (x)-f^{(m)} (x))\geq d(f^{(n-1)} (x),f^{(m-1)} )\geq \dots\geq d(f^{n-m} (x),x)$$

Sea $\mathcal{E}=d(x,f(x))>0$

$$d(x,f(x))=\underset{ y \in f(X) }{ inf }\:d(x,y)$$

Como $f(x)$ es compacto la función

$$\begin{array}{c} d(x,-):f(x)\longrightarrow \mathbb{R} \\ \quad y \mapsto d(x,y) \end{array}$$

Alcanza un mínimo y luego $d(x,f(x))>0$ Entonces $(f(x))$ no tiene subsucesiones convergentes. Absurdo$\implies f$ sobreyectiva.

Por último, la función inversa

$$f ^{-1}:X\to X$$

también resulta continua.

Sea $F\subseteq X$ un cerrado, quiero ver que

$$(f ^{-1}) ^{-1}(F)\text{ es un cerrado}$$ $$(f ^{-1})^{-1}(F)=f(F)$$

Como $X$ es compacto entonces $F$ es compacto. $\implies f(F)$ es compacto $\implies f(F)$ es cerrado.

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